同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究

贾冬梅

（中北大学信息商务学院 山西省晋中市 030600）

简谐振动是机械振动中最简单、最基本的振动形式，任何复杂的振动都可以看作是简谐振动的合成[1]。而同方向同频率的简谐振动的合成又是简谐振动的合成中最简单最重要的形式，它为波干涉和衍射现象的分析奠定了理论基础，因此研究同方向同频率简谐振动的合成有着十分重要的意义。寻求一种高效便捷的求解简谐振动合振动的振动的方法成为了解决同方向同频率简谐振动的合成的关键[2-4]。对于同方向同频率简谐振动的合成问题，大学物理教材中常使用旋转矢量法和解析法来进行讨论分析[5-6]。下面分别运用解析法和旋转矢量法来求解同方向同频率简谐振动合成问题，分析总结它们各自的特点，为这类问题的分析和求解提供一些参考和借鉴。

1 两个同方向同频率简谐振动的合成

设两个简谐振动都沿着x 轴方向振动，平衡位置都为坐标原点，它们振动的角频率ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，它们的振动方程分别为：

x1=A1cos(ωt+φ1)

x2=A2cos(ωt+φ2)

求这两个解析振动的合振动。

1.1 解析法

由于两个简谐振动都沿着x 轴方向振动，所以这两个简谐振动在任一时刻合振动的位移也应在x 轴方向上，且合振动的位移x 等于这两个分振动位移的代数和，即：x=x1+x2

将分振动的方程x1和x2代入上式展开整理：

令A cosφ=A1cosφ1+A2cosφ2A sinφ=A1sinφ1+A2sinφ2

得到x=A cosφ cosωt-A sinφ sinωt=A cos(ωt+φ)

这一结果表明：两个同方向同频率简谐振动的合振动依旧是一个简谐振动，且合振动的频率与分振动的频率相同都等于ω，合振动的振幅和初相可以表示为：

1.2 旋转矢量法

如图1所示，和 分别为两个分振动的旋转矢量，它们以相同的角速度绕o 点做逆时针转动，t=0s 时它们与x 轴正向的夹角分别为φ1和φ2。根据平行四边形法则，两个简谐振动旋转矢量的合矢量为。由于旋转矢量的大小不变，且以相同的角速度ω 绕O 点做逆时针旋转，它们的夹角在旋转过程中也保持不变，所以合矢量在旋转的过程中大小也保持不变，并以相同的角速度ω 绕O 点做逆时针旋转，说明合矢量在坐标轴上的投影仍为简谐振动。设任一时刻和在x 轴上的投影分别为x1和x2，合矢量在x 轴上的投影为x，由图中几何关系可以得出x=x1+x2，故合矢量即为合振动所对应的旋转矢量，合振动的运动方程为：x=A cos(ωt+φ)量与ox轴的夹角为合振动的初相。通过图中旋转矢量的几何关系也可以得出合振动的振幅和初相的表达式分别为：

图1：旋转矢量示意图

图2：例1 旋转矢量图

图3：简谐振动曲线

图4：例2 旋转矢量图

图5：例3 旋转矢量图

图6：例4 旋转矢量图

运用解析法和旋转矢量法分析两个同方向同频率简谐振动合振动得到了完全相同的结果。其中，解析法是运用三角函数关系化简整理得到合振动的振动方程及合振动与分振动之间的数学关系。旋转矢量法是通过画旋转矢量图来分析合振动的振动特征，并且从旋转矢量图中可以直观地给出合振动与分振动之间的数学关系。

2 同方向同频率简谐振动合成问题解析

例1 两个同方向、同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

求它们的合振动的振幅和初相。

解法一（解析法）。

解：由已知条件得：

将其代入合振动的振幅公式得：

解法二（旋转矢量法）

解：根据已知条件得知初始时刻两个简谐振动的旋转矢量图，从图中可以看出振动的振幅为：

2.1 求合振动的初相位

例2 如图3所示是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为？[6]

解法一（解析法）

解：由简谐振动的运动曲线得：

将其代入合振动相位公式得：

故合振动的初相为：φ=0

解法二（旋转矢量法）

解：根据简谐振动的振动曲线画出它们初始时刻的旋转矢量图如图4所示。t=0s 时，叠加后简谐振动的旋转矢量沿着x 轴的正方向，与轴的夹角为零，故合振动的初相φ=0。

2.2 求合振动的振动方程

例3：两个同方向、同频率的，其振动表达式分别为：

求其合振动的振动方程。[5]

解法一（解析法）

最后，小编还是要提醒一下，食品药监总局给予贝因美爱加幼儿配方奶粉“0001号”的殊荣和肯定，再加上价格定位都在300元左右主流价格带，相信在高品质的保证下，以这个价位，未来母婴店选择贝因美爱加定能取得不错的销售成绩。

解：两个同方向同频率简谐振动的合振动依旧是简谐振动，故设合振动的振动方程为：

合振动的振动方程为：

解法二（旋转矢量法）

解：根据已知条件得知初始时刻两个简谐振动所对应的旋转矢量如图5所示。由图中几何关系可得合振动的振幅和初相分别为：

例4 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为：

求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若另有一个同方向同频率的简谐振动则φ3为多少时x1+x2+x3的合振动振幅最大？为多少时x1+x2+x3的合振动振幅最小？

解法一（解析法）

解：（1）由已知条件得：

解法二（旋转矢量法）

解：（1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图如图6所示。

故简谐振动合振动振幅为：

（2）由简谐振动合成的旋转矢量图可以看出，要使的振幅最大，简谐振动x3的旋转矢量应与简谐振动的x1，x2合振动的旋转矢量同，故：要使的振幅最小，简谐振动x3的旋转矢量应与简谐振动的x1，x2合振动的旋转矢量反相，故：

通过对以上例题的分析可以看出：在一些特殊情形下，即当两个分振动的的相位差为时，运用解析法和运用旋转矢量法求合振动的振幅是等效的，但是运用解析法需要理解记忆合振动的振幅公式，而运用旋转矢量法则不需要记公式，只需要画出两个分振动的旋转矢量图，就可看出合振动的振幅与两个分振动振幅之间的数学关系。特别是对于合振动初相位的确定，运用旋转矢量法比解析法更为直观、便捷和有效。但对于一般情形下同方向同频简谐振动的合成，运用解析法来求合振动更为有效。

3 结论

运用解析法和旋转矢量法分别从代数和几何的角度来分析同方向同频率简谐振动合成，并得到完全相同的结。比起解析法复杂数学计算过程，旋转矢量法这种简单的几何图形的方法更加直观、便捷。因此，在教学过程中，教师在讲解同方向同频率简谐振动的合成时，运用旋转矢量法来分析比用解析法分析更加便于学生的理解和掌握。

对于同方向同频率的简谐振动合成问题的求解，运用解析法所使用的数学过程和函数图像知识比较复杂，计算难度较大，而且还需要理解和记忆相关物理公式，这些都使得学生掌握简谐振动的合成问题难度增大。而运用旋转矢量法可以避免学生对物理公式的记忆和复杂的数学计算,特别是对于合振动初相的确定，旋转矢量法更加直观、有效和便捷。