磁流变阻尼器MNS模型参数不确定性分析

2020-01-17彭长乐侯和涛

工程力学 2020年1期

彭长乐，陈城，侯和涛

(山东大学土建与水利学院，山东，济南 250000)

结构控制的概念在土木工程领域提出以来，经过多年来的研究发展，在减小结构的动力荷载响应方面显示出了巨大的潜力[1-2]，其中磁流变阻尼器因为其低能耗、出力大、响应快、性能可靠等优点备受研究者们关注[3-4]。特别是自Lord公司研制出最大出力200 kN可用于土木工程领域的足尺阻尼器以来，磁流变阻尼器更成为结构控制领域的热点。要使磁流变阻尼器的控制性能得到充分的发挥，获取一个准确的数值模型是十分必要的。迄今为止，许多磁流变阻尼器的模型相继被提出来，其中包括Bouc-Wen 模型[5]、Viscous-Dahl模型[6]，Hyperbolic Tangent模型[7]和Maxwell Nonlinear Slider (MNS)模型[8]等。这些模型的参数多以进化算法设计目标函数，基于一系列的正弦位移识别试验，通过优化计算出最优参数[9]。

然而由于在建模情况中所做的简化假设，以及有限的观测数据，传统的确定性参数现象学模型很难考虑由于环境因素、模型误差以及测量误差带来的不确定性，从而导致数值模型的出力结果与实验结果存在不同程度的差异。这些差异可能使得数值模拟中的结构在地震响应下响应结果与实际实验不符合，也会一定程度影响磁流变阻尼器的控制算法效果。Caicedo等[10]证明使用模型参数的概率表征方式有助于更真实的模拟预测。

MNS模型利用Hershel-Bulkley粘塑性来描述阻尼器中发生的MR流体的后屈服非牛顿流体行为，即剪切稀化和增稠行为[8]。MNS模型能比较准确描述阻尼器的位移与出力、速度与出力的非线性滞回行为。但由于MNS模型本身属于现象学模型的一种，阻尼器的复杂非线性行为使得建模仍存在偏差，因此单一的确定性模型并不能完全满足预测的要求。而不确定性参数能帮助克服参数优化时出现“异参同效”的影响，最为有效地利用阻尼器模型的预测能力。

本文运用马尔可夫蒙特卡洛方法对磁流变阻尼器的MNS模型进行了不确定性分析。通过选择合适的似然函数生成模型参数的后验分布，并对参数分布形式，参数之间的内在相关性进行分析。在此基础上进一步与确定性参数在正弦位移曲线实验和实时混合模拟实验下的出力误差、耗能预测方面进行对比总结，分析不确定性模型的特点。

1 MNS确定性模型介绍

磁流变阻尼器的MNS模型由屈服前和屈服后两部分组成[9], 如图1所示。

1.1 屈服前模式

屈服前的阻尼器行为由Maxwell单元描述，由一个系数为c的阻尼元件与一个刚度为k的弹簧元件串联而成。其阻尼力f为：

图1 MNS模型示意图Fig.1 Schematic diagram of MNS model

式中：y表示弹簧元件与阻尼元件的总位移；z表示阻尼元件的位移。当阻尼器处于屈服前模式，阻尼元件与弹簧元件的总速度与实际阻尼器速度相等。在阻尼器初始状态时y与x相等，直到阻尼器出现第1次屈服。在屈服后模式下，y与z需要通过式(1)的变式，并利用式(2)计算的屈服后出力f值持续更新。

当最终模式从屈服后返回屈服前，这时的y=x+σ，并且在此后的屈服前计算中σ恒定不变。

1.2 屈服后模式

当阻尼器行为模式从预屈服变为屈服后，阻尼力的斜率发生改变，阻尼力通常随着速度的增加而增加。在屈服后模式下，MNS模型通过运用非线性滑块(nonlinear slider)来描述阻尼器出力与速度之间的关系，将正负向出力分开两组表示，从而有利于提高阻尼器不对称下的预测。正向阻尼器出力的数学表达式如下：

第1部分基于Herschel-Bulkley粘塑性理论，包括、a、b、n这4个参数。第2部分是与Herschel-Bulkley粘塑性理论定义的切线。负向阻尼器出力可以类似公式表达，因此同样也包含4个负向出力参数。从加载、卸载路径上来看，磁流变阻尼器的出力也存在差异，可以利用增加式(6)的方式模拟不同阶段下的出力。

1.3 模式改变判别

当阻尼器出力从Maxwell单元达到屈服后曲线，模型从屈服前转换屈服后。数学上这种状态可以表达为：

当模型从屈服后回到屈服前，只需要速度满足:式(8)就会出现：

式中，y可以利用式(1)的变形计算：

2 试验数据

本文使用的试验数据基于科罗拉多大学智能结构技术实验室完成的足尺磁流变阻尼器性能测试试验[10]。由于篇幅的限制，本文主要考虑阻尼器在最大电流2.5A下，即为Passive-On模式下的不确定性研究。表1列出了本文选取的6组正弦位移加载实验的频率幅值，每组都在2.5 A的电流输入下进行10次往复加载。

表1 正弦试验参数Table 1 Sinusoidal test parameters

通过利用粒子群算法[9]，设计最小均方根误差为目标函数，经过多次迭代，计算出模型与试验相对误差最小的确定性MNS模型参数值列于表2中。

表2 MNS模型参数信息统计结果Table 2 Statistics of MNS model parameter

3 马尔可夫链蒙特卡洛方法

马尔科夫链蒙特卡洛算法可以获得参数后验分布的一系列样本，适用于非标准分布不独立的多变量分布模拟[11]。其基本步骤如下：

1) 建立先验分布：由于对于本文模型没有任何先验信息。因此本文的所有参数的先验分布Prior都假设为在区间内的均匀分布。

2) 初始点：合适的参数初始值可以减少达到收敛所需的计算时间，提高运算效率。本文中选择已有文献中的确定性参数作为初始点。

3) 计算似然值：每组参数值会生成对应的阻尼力模型输出，通过计算与试验输出的相对误差，得到模型拟合程度的函数如下：

假设似然函数符合均值为0，标准差为ε的高斯分布。ε的选值直接影响后验参数的范围，过小的ε会使参数收敛到一个狭窄的区域，不确定性太小。过大的ε则会使得参数范围太大，导致不确定分析的结果过度偏离试验结果。

4) 计算后验概率：

5) 生成新样本：加上随机增量会新生成一组参数，新参数计算的后验如果满足式(13)则认为可以接受：

其中，γ服从[0，1]的均匀分布。重复步骤3)~步骤5)，生成长度为N的马尔科夫链。选择收敛后的链长M为参数样本进行不确定性分析。

4 参数分析结果

通过选取ε值为0.5%，设定抽样长度为十万，得到了相应的后验分布参数样本。本文利用Gelman-Rubin原则[12]，通过分析多个马尔可夫链之间的差异来评估MCMC收敛。通过比较每个模型参数的估计的链间和链内方差，确定MCMC的结果在50000次后基本达到收敛。最终选择收敛后的马尔科夫链作为合理近似参数样本。

图2做出不确定参数分布与粒子群算法得到最优确定性参数的对比。可以发现所有参数都为单峰分布。其中c与k呈现正态分布，其他参数则表现出对数正态分布的趋势。从图2中还可以发现MNS模型的确定性参数值都处在不确定性参数的分布之中，并且大部分都位于概率密度函数的峰值附近，却不一定恰好出现在顶峰位置。这主要是因为参数之间出现一些相关性，导致最优的参数组合不一定都处于各自参数的最可能出现的点，这也从侧面反映了参数之间的相互影响会导致确定性参数的取值，单组参数并不能完全发挥出模型的预测能力。表2列出了对各参数的统计信息进行分析得到的前3阶矩。

图2 不确定性参数分布与确定性参数对比Fig.2 Comparison of probabilistic parameter distribution and deterministic parameters

图3 MNS模型参数变异系数Fig.3 Coefficient of variation for MNS model parameters

图3使用变异系数来具体定量分析参数本身的不确定性大小。从图3中可以观测到，在由马尔可夫链蒙特卡洛方法得到的不确定性参数中，不同参数分布的变异系数不尽相同。对于有明显物理意义的参数，描述阻尼器在未屈服状态下的阻尼系数c与刚度系数k的变异系数明显要小于其他参数。而用于拟合阻尼器在屈服后Hershel-Bulkley曲线的模型参数，则显示出较强的不确定性。这说明对于有较强客观物理意义的参数，其识别能力更强，不确定性更小。对于现象学模型中的参数，由于其本身没有明显物理意义，一般为拟合曲线而设计，所存在的参数组合可能性更多，不确定性更大。

为考虑参数相关性的影响，本文对参数组合间的相关系数矩阵进行分析计算，参数之间的某些较强相关性说明参数相互间是多余的，可以为模型简化提供指导。图4可视化出参数之间的相关性大小，从中明显可以看出：描述屈服前的参数阻尼系数c与刚度系数k存在较强的相关性，为0.5左右；描述屈服后的模式a，b，n之间同样存在很强相关性，大致为0.6~0.9，并且仅仅出现在相同正负的方向中；其余的参数之间相关性不强，几乎在-0.2到0.2之间，可以基本忽略相关性而认为这些参数是相互独立的。

图4 MNS模型参数相关系数Fig.4 Correlation between MNS model parameters

5 基于不确定性模型的试验预测

模型参数不确定性分析的最终目的是利用模型参数对真实物理模型的响应进行有效的预测。本节分别从试验的阻尼力输出和耗能预测两个指标，对不确定性模型和确定性模型进行对比评估。以表1中25.4 mm，1 Hz正弦位移加载试验为例，图5给出了磁流变阻尼器阻尼力输出时程比较，其中实线为不确定性参数模拟的95%预测区间以及预测均值，虚线为确定性模型预测曲线，点划线为试验值。可以看到确定性参数预测曲线几乎与不确定性曲线的均值预测重合。另外试验观测值大部分都处于95%的预测区间之内，表明不确定性模型具有良好的预测能力。值得指出，试验值仍有处于预测之外的值，这主要受限制于模型本身的精确程度，参数的不确定性分析，并不能完全补偿模型误差的影响。

图5 磁流变阻尼器输出力比较Fig.5 Comparison of force outputs

为定量分析，本文使用归一化均方根(Root Mean Square, RMS)误差作为评价模型参数优劣的目标函数。

式中：ERMS越小，模型预测与实际输入的差距越小；当ERMS=0时，表示模型与试验结果完全一致。对于表1中的六组模型识别试验，图6比较了MNS 模型对应确定性和不确定性参数的ERMS。

图6 模型误差分布比较Fig.6 Comparison of RMS error

从图6可以发现，本文中得到的不确定性参数的误差基本处在3%~4%之间，而确定性算法得到一组参数值的误差接近不确定性模型的误差最小值处。在参数识别过程中，不确定性模型适当放宽了接受参数的范围，而非仅仅接受最优的一组参数。使用这些参数的组合可以在合理范围内拓宽模型的预测区间，从而提高模型的预测性能。

为了进一步检验对MNS模型参数不确定性分析的预测效果，本文采用了Chen等[13]进行的实时混合模拟试验结果。该系列混合模拟试验选用了1999年Chi-Chi地震在TCU105站点观测到的地震运动加速度并缩放到Design Basis Earthquake (DBE)和Maximum Considered Earthquake (MCE)两种情况。磁流变阻尼器在DBE和MCE下实时混合模拟试验(RTHS)的最大位移分别在50 mm和70 mm左右，对应的磁流变阻尼器速度-出力曲线如图7和图8所示。

对应不同情况下阻尼器的出力情况，计算出的均方根误差ERMS分布如图9和图10所示。对于这两组混合模拟试验结果，确定性参数的阻尼力输出误差不再处于不确定性参数模型的误差最小点。这说明对于不同的实验，最优参数并不是唯一的，这也同时说明了不确定性分析的重要性。完全靠一组参数值是很难做到在实验情况出现变化时仍保证较高预测精度的。而在控制不确定性大小合适的情况下，可以弥补确定性参数的不足，从而提高MNS模型对不同试验的预测能力。

图7 实时混合模拟试验DBE下速度与出力的关系Fig.7 Velocity-force curve of RTHS with DBE

图8 实时混合模拟试验MCE下速度与出力的关系Fig.8 Velocity-force curve of RTHS with MCE

图9 实时混合模拟试验中震下ERMSFig.9 ERMS for real time hybrid simulation with DBE

图10 实时混合模拟试验大震下ERMSFig.10 ERMS of real time hybrid simulation test with MCE

从图9和图10进一步可以看出不确定模型在正弦位移加载方式下的误差基本处于3%~4%之间，而在实时混合模拟试验的位移响应下的误差增加至7%~11%。这说明了MNS模型在有规律正弦位移加载方式下的预测能力要强于模型对于实时混合模拟试验的预测。这提醒我们在参数优化过程中，过分依赖使用有规律的位移加载方法会低估模型在真实结构位移中的误差。

磁流变阻尼器作为建筑结构中的控制装置，主要起耗散能量的作用。因此在用模型预测与实际出力的误差来衡量参数优劣外，本文进一步用耗能预测来检验模型不确定性分析的预测效果。

首先对正弦位移识别实验本身进行耗能预测，图11对不确定性参数预测的耗能分布与正弦位移

图11 不同频率、幅值下耗能预测(直方图为不确定性模型耗能预测，虚线为确定性模型预测耗能，点划线为试验耗能)Fig.11 Energy dissipation prediction under different frequencies and amplitudes (The histogram is the uncertainty prediction, the dashed line is the deterministic prediction, and the dotted line is the experimental energy consumption)

实验实际耗能预测结果进行对比。从图中可以观测到：使用不确定性参数模型得到的耗能分布基本上都处于近似正态分布；确定性模型预测一般都接近于不确定性模型预测的均值处。并且试验得到的实际耗能都处于不确定性模型预测区间内部，这说明使用这组不确定性参数组合预测这6组试验是完全可行的。

图12对图7和图8中实时混合模拟试验进行耗能预测分析。确定性参数预测仍接近不确定性模型预测均值附近，并且不确定性参数的预测耗能区间依然将试验耗能包络其中。但是值得注意的是，相对于正弦位移识别试验。实时混合模拟下的试验耗能，处于耗能预测的更边缘位置，这说明模型的耗能预测能力下降，但是仍处于5%~95%预测范围区间之内。这与使用ERMS分析得到的结论类似，即正弦位移下MSN模型预测比实时混合模拟下的结构响应出力要更准确。

图12 不同地震水平下磁流变阻尼器耗能预测(直方图为不确定性模型耗能预测，虚线为确定性模型预测耗能，点划线为试验耗能)Fig.12 Energy dissipation prediction of MR damper for real-time hybrid simulation under difterent seismic levers (The histogram is the uncertainty prediction, the dashed line is the deterministic prediction, and the dotted line is the experimental energy consumption)