非零Gauss曲率Bonnet曲面的存在性及其相关性质*

王珂，吴英毅

(中国科学院大学数学科学学院, 北京 100049)

Bonnet曲面是指三维欧氏空间E3中一张可定向曲面，并且上面存在一个保主曲率且保定向的非平凡(即不是E3中的刚体运动在曲面上的限制)单参数等距变换族。Bonnet曲面的概念最初由Bonnet[1]提出，他证明E3中的常平均曲率曲面一定是Bonnet曲面。Bonnet之后，一直有数学家对Bonnet曲面进行研究，比如：Graustein，Hazzidakis，Cartan等。近二三十年，Bonnet曲面的研究取得了很大进展。Chern[2]利用活动标架法，给出非常平均曲率Bonnet曲面满足的充要条件，并利用该条件得到非常平均曲率Bonnet曲面的一些重要性质，包括非常平均曲率Bonnet曲面一定是W-曲面，即满足dH∧dK=0的曲面。Colares和Kenmotsu[3]系统地研究Gauss曲率为零的非常平均曲率Bonnet曲面，并且给出分类和等距族。Chen和Peng[4]在文献[2]的基础上进一步得到非常平均曲率Bonnet曲面的一些重要性质，并最终得到非常平均曲率Bonnet曲面的分类，以及非常平均曲率Bonnet曲面的平均曲率满足的常微分方程，这个方程与Hazzidakis在文献[5]中的结果等价。Peng与Lu[6]研究文献[4]中前两类Bonnet曲面的极限曲面。Bobenko和Eitner[7]用可积系统的方法，得到非常平均曲率Bonnet曲面平均曲率与Painlevé方程解之间的关系，并利用Painlevé方程的解表示出非常平均曲率Bonnet曲面的平均曲率。在文献[8]中，Chen和Li得到在空间形式3(c)中的Bonnet曲面和在中类空Bonnet曲面的分类定理。

为方便叙述，下文中讨论的Bonnet曲面都是指非常平均曲率Bonnet曲面并且曲面上没有脐点，又假设在该曲面上dH≠0，并且文中提到的等距皆为保定向的等距。

在文献[4]中，作者提出一个问题，是否存在Gauss曲率不恒为0的Bonnet曲面。在本文中，通过研究Bonnet曲面平均曲率满足的微分方程，得到上述问题的肯定回答，即

定理A存在Gauss曲率不恒为0的Bonnet曲面。

此外，利用文献[2，4，6]中的结果，又得到

定理B如果两张Bonnet曲面之间存在一个保主曲率且保定向的共形映射，若两Bonnet曲面的Gauss曲率零点孤立，则该共形映射为等距；若两Bonnet曲面的Gauss曲率恒为0，则该共形映射为相似变换。

1 预备知识

对于S，首先有标架运动方程：

由Codazzi方程，

于是令

2dH=(a-c)(Aω1+Bω2),

(1)

因此，

(2)

θ1=Aω1+Bω2,θ2=-Bω1+Aω2,

α1=Aω1-Bω2,α2=Bω1+Aω2.

再定义曲面上的*算子，

*ω1=ω2,*ω2=-ω1.

于是有

*θ1=θ2,*θ2=-θ1,

*α1=α2,*α2=-α1.

(1)和(2)可以写成

2dH=(a-c)θ1,

dlog(a-c)=α1+2*ω12.

如果dH≠0，可定义新的度量：

(3)

其中ds2是S上的诱导度量。

Chern在文献[2]中证明曲面S为Bonnet曲面的充要条件为

(4)

定理1.1设S为Bonnet曲面，定义度量

(5)

ds2=e2ρ(du2+dv2),

(6)

设

(7)

则

(8)

(9)

(9)的可积性条件为F满足

(lnF)″=F2.

(10)

解(10)，得到

(11)

这里的t,λ(λ>0)是常数。将(11)代入(9)中，解出θ有

(12)

这里的s是常数；或者

(13)

或者

(14)

注意，(13)和(14)是在(12)中令s→±∞ 的结果。 再由(6)，K=-ρ″e-2ρ得到

(15)

再由θ为(9)的解，可得

2 定理A的证明

在这一节中，首先研究Gauss曲率恒为0的Bonnet曲面，得到命题2.1，再对(15) 降阶，得到命题2.2， 最后对降阶后的方程用常微分方程解的存在性定理证明定理A。

首先，得到

证明若Gauss曲率K恒为0，由定理1.2，H满足

(16)

且

(17)

当H=βeαuF时，H′=β(αeαuF+eαuF′)，此时，F满足αF+F′=F2，即α+(lnF)′=F，因此，(lnF)″=F′，由(10)，

F2=F′,

(18)

当H=-βeαuF时，H′=-β(αeαuF+eαuF′)，此时，F满足αF+F′=-F2，得

F2=-F′,

(19)

□

然后，对(15)降阶得到

命题2.2若H是(15)的解则存在常数C使得H满足

(20)

即

h″=fe-h.

(21)

在(21)两边同乘2h′，得2h′h″=2fe-hh′,

即

(h′2)′=-2f(e-h)′.

(22)

对(22)两边积分一次得

(23)

=fe-h+4H′-4H(lnF)′,

即

4H′-4H(lnF)′.

(24)

将(24)代入(23)得(20)成立。

□

注:Hazzidakis在文献[5]中得到一个与(15)等价的方程，因此，在文献[7]中，作者称文献[5] 中的方程为Hazzidakis 方程。 在文献[5]中，Hazzidakis也将得到的方程进行了降阶，但与(20)在形式上有较大差别。

下面，通过研究(20)的解证明定理A。

定理A的证明设0在F的定义域内，在2上取一点(x0,y0)(y0>0)以及取C∈充分大使得

于是存在ε>0以及(x0,y0)的开邻域U，使得∀(x,y)∈U，y>0且 ∀(u,x,y)∈(-ε,ε)×U，

(25)

在(-ε,ε)×U上考虑方程组

(26)

由(25)，

为(-ε,ε)×U上光滑函数。 于是由常微分方程组解的存在唯一性，存在0<δ≤ε满足在(-δ,δ)上(26) 存在唯一一组光滑解(x(u),y(u))。 下面证明x(u)满足(15)。

首先，由(x(u),y(u))为(26)的解，∀u∈(-δ,δ)，(x(u),y(u))∈U，x′=y>0，且

x″=2(lnF)′x′+

于是x(u)满足

(27)

因此，x(u)满足(20)。另外，由(x(u),y(u))为(26)的解，∀u∈(-δ,δ)，(x(u),y(u))∈U， 从而

Cx′2-4[F2x2x′+x′3-2xx′2(lnF)′]>0,

矛盾。因此，S的Gauss曲率不恒为0。这就证明了定理A。

3 定理B的证明

(28)

下面将要证明，若K的零点孤立则M=1，即σ为等距；若K恒为0，则M为常数。

首先，可定义S上*算子，

*ω1=ω2,*ω2=-ω1,

由(28)，

因此，有

*∘σ*=σ*∘★.

(29)

设

2dH=(a-c)(Aω1+Bω2),

θ1=Aω1+Bω2,θ2=-Bω1+Aω2,

α1=Aω1-Bω2,α2=Bω1+Aω2,

2dH=(a-c)θ1,

(30)

dlog(a-c)=α1+2*ω12,

(31)

(32)

用σ将(30)两边拉回有

因此，

(33)

在(33)两边作用*，并用(29)得

注意到

于是，

(34)

在(31)两边作用*，得

*dlog(a-c)=α2-2ω12.

(35)

再用σ将(35)两边拉回得

(36)

由(34)，

(37)

dω12=-Kω1∧ω2,

(38)

(39)

用σ将(39)两边拉回得

由(28)，(37)和(38)，

K(M2-1)=0.

因此，如果K的零点孤立，M=1。

(40)

于是

因此，M为常数，不必为1。即完成定理B的证明。

作者非常感谢彭家贵教授，彭教授为作者提供了很多资料并与作者进行了非常有益的讨论。