基于指数平滑——马尔科夫模型的新疆居民消费水平预测及影响因素分析

（新疆财经大学统计与数据科学学院，乌鲁木齐市，830012） 王丽娟

1 引言

居民消费水平是指居民在物质产品和劳务的消费过程中，对满足人们生存、发展和享受需要方面所达到的程度[1]。一个地区居民的收入可以根据该地区的居民家庭消费水平来衡量，消费程度越高，该地区居民收入越高，经济越发达。随着经济的快速发展，近年来新疆居民生活水平大幅提高。因此，对新疆居民消费水平的预测具有十分重要的意义。肖良[2]采用时间序列分析方法，建立季节性的ARIMA 模型对居民消费水平时间序列数据进行量化分析，取得了较为理想的预测效果；李毅[3]利用灰色预测模型对中国农村居民的消费水平进行分析和预测，得出中国农村居民消费水平继续快速增长的结论。周雨柔[4]通过多项式拟合和灰色预测模型来研究和预测居民消费水平，采用损失函数的思想对两种模型的预测结果做出评价和分析。以上研究大多是经过度多年的经验积累，但实际运用中要达到较高的精度，仍然存在较大的难度。本文采用指数平滑与马尔科夫组合预测模型，预测精度比指数平滑法、灰色GM(1，1)模型预测精度高，进一步利用灰色关联度分析方法对影响居民消费水平的5个指标进行灰色关联排序，得出农村居民纯收入与居民消费水平的灰色关联度最大，为了能更好的提高新疆居民的生活水平，本文给出了合理的建议。

2 数学模型

2.1 指数平滑法

由于平滑次数的不同，指数平滑法可以分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法[5]。在三次平滑法的预测中，初始值需要确定，一般初始值是由预测者估计得出的。当有较多的时间序列数据时（20个以上），由于初始值对预测值影响较小，所以可以选择第一期数据作为初始值；当有较少的时间序列数据时（20 个以下），通常用前3期的实际值的平均值作为初始值。

式（1）中，yt为第t 年实际新疆居民消费水平；α为平滑系数，0＜α＜1。三次指数平滑法的预测模型为：

其中，

式（3）中，yt+m为t+m 年的新疆居民消费水平的预测值，at,bt,ct则分别为第t年的参数。

在实际应用中，根据时间序列的性质，α值的选择在0～1 之间，一般遵循以下原则：（1）如果时间序列相对稳定并且波动不是很显著，则值应该取小一点（如0.1～0.5），以减少修正幅度，使得预测模型可以包含更长的时间序列信息；（2）如果时间序列趋势波动较快，则应该稍取大一点（如0.6～0.8）以改善预测模型的灵敏度，以跟上数据的变化。

2.2 马尔科夫模型

马尔科夫模型作为一种分析随机时间序列的方法，可以根据当前时刻状态求下一时刻状态分布概率，获得下一时刻状态[7]。当马尔科夫过程从当前状态Ei转移到下一时刻Ej状态，在这个过程中存在概率转移，称为转移概率。设mij为状态Ei转移到状态Ej的次数，mij为状态Ei开始转移出现的总次数，则为状态Ei转移到状态Ej频率。pij为状态Ei转移到状态Ej的一步转移概率，记为[8]。它的表达式为：

由指数平滑法初步预测结果相对误差的绝对值，来划分状态区间，由此构造状态转移矩阵式（4）。若，设当前状态为Ei，则下年的序列将处于Ei状态，该状态的中点可作为模拟值，并且通过两者之间的转移的频率作为概率的估计值执行加权计算来获得马尔科夫校正值。

2.3 灰色关联度

灰色关联分析是灰色理论的一种分析方法，是对发展变化系统的动态过程进行量化分析，能够更加准确的反映亲疏次序和相互的关联程度。灰色关联分析具体步骤如下[9]：

（3）计算灰色关联系数：

（4）计算灰色加权关联度。灰色加权关联度的公式为：

γ越接近1，说明关联程度越大。

3 新疆居民消费水平的模型预测

对上述方法及模型的实用性进行进行验证，本文数据均来自于《新疆统计年鉴》。选取新疆1995～2015 年的居民消费水平，作为预测的基础，以此预测2017、2018 年的居民消费水平，从而验证2018、2019年预测结果的有效性。

3.1 新疆居民消费水平的指数平滑法预测

3.1.1 指数的确定

应用指数平滑法时，次数不同，预测的精度也不同，根据实际的新疆居民消费水平变化的数据，如果呈现水平趋势时，则用一次指数平滑法；若呈现线性趋势时，则应使用二次指数平滑法；如果具有二次曲线趋势时，则应使用三次指数平滑法。由图1可以看出二次曲线与实际值的拟合程度较好。因此，选择建立三次指数平滑模型。

图1 数据拟合图

3.1.2 计算指数平滑值

由于时间序列数据为21个，因此选用第一期数据为初始值；经计算，由图2预测值与实际值的拟合程度，可知α =0.8时，误差较小，因此平滑系数α=0.8。根据公式（1）可得一次指数平滑值、二次指数平滑值、三次指数平滑值，见表1。

图2 实际值与预测值拟合图

3.1.3 计算平滑系数

将表1得到的指数平滑值代入公式（3），因而可计算得到at,bt,ct，由于本文预测2018、2019 年的新疆居民消费水平，因此先预测2016、2017 年的居民消费水平来验证预测2018、2019年居民消费水平的可行性，t取21，则有

因此，2016、2017 年新疆居民消费水平的三次指数平滑预测模型为：

表1 指数平滑值

由式（6）计算得出，2018、2019年新疆居民消费水平的三次指数平滑预测值，见表2。可以看出相对误差绝对值比较大，因此，仍可提高精度。

表2 指数平滑法预测的结果

3.2 新疆居民消费水平的马尔科夫模型

根据指数平滑法的预测结果，得到1995～2015年的新疆居民消费水平的相对误差（表4）。从表中可以看出，指数平滑法预测值的相对误差的绝对值均小于10%，以0，2%，4%，6%，8%划分4个区间（见表3）。则新疆居民消费水平1995-2017 年的相对误差绝对值的所在状态区间[10-12]（见表4）。

表3 状态区间

根据表4 状态区间的划分结果，从而可得一步转移概率矩阵与二步转移概率矩阵，如下：

由表4 可知，2015 年的状态为E2，则2016 年的序列转为E1 状态的概率为0.50，取该E1 状态的中点1%作为模拟值，利用状态之间转移的频率作为概率的估计值进行加权运算，从而得到2016年新疆居民消费水平为15 688.22 元。同理，2017 年的状态转为E2的概率为0.38，取E2状态的中点3%作为模拟值[12]，利用状态之间转移的频率作为概率的估计值进行加权运算，可求得2019年新疆居民消费水平为16 953.67元。指数平滑法、灰色GM(1，1)模型、马尔科夫模型修正的预测结果比较（见表5）。由表可知，本文修正方法预测结果较好。

由表5 可以看出，本文的预测结果较好。因此可用此方法来预测2018、2019 年的居民消费水平。同理，建立2018、2019 年新疆居民消费水平的三次指数平滑预测模型为：

表4 相对误差和状态区间

表5 预测结果比较

同理，由2016、2017 年居民消费水平的马尔科夫模型修正，可得2018、2019 年居民消费水平预测值，其结果具有一定的可信度。

表6 预测结果

4 新疆居民消费水平影响因素研究

影响居民消费水平的因素比较多，比如，收入水平，商品价格、地区生产总值、消费者偏好、利率水平、风俗习惯、消费者年龄等等多方面的影响。考虑到数据的可收集性，本文选取以下影响因素。以新疆居民消费水平y 为参考序列，地区生产总值x1，年末人口总数x2，城镇居民人均可支配收入x3，农村居民人均纯收入x4，消费价格指数x5（上年=100）为比较序列。

γi越接近1，说明关联程度越大。选取了2005～2014年的数据进行灰色关联度排序，表7为各个指标的灰色关联系数，以第一年的数据为x（1）进行标准化处理，最终得到各个相关因素的排序结果为：农村居民人均纯收入＞地区生产总值＞城镇居民人均可支配收入＞年末人口总数＞消费价格指数，消费价格指数与居民消费水平的灰色关联度最小，农村居民人均纯收入与居民消费水平灰色关联度最大，为0.8 612，其次是地区生产总值。

这表明近10年中，新疆的居民消费水平与农村居民纯收入、地区生产总值等有着很强的关联程度，但从数据上看，农村居民纯收入依然占比较低，地区生产总值、城镇居民人均可支配收入占比较高。居民消费水平与经济的发展程度密切关联，因此，在未来新疆经济不断增长的过程中，应更加注重农村居民收入的提高，为新疆可持续发展做出长远的计划，使经济持续稳步增长。

5 结论及建议

表7 新疆居民消费水平与相关因素关联度汇总

通过指数平滑法、灰色GM(1，1)模型、指数平滑法与马尔科夫模型组合预测新疆居民消费水平预测可知，本文的组合预测模型的精度较高，由预测结果可知新疆居民消费水平呈现不断上升的趋势。并对影响新疆居民消费水平的相关因素进行灰色关联度分析，由此可知，农村居民纯收入与居民消费水平灰色关联度最大，地区生产总值次之，消费价格指数与居民消费水平灰色关联度最小，为了能提高新疆居民的生活水平，本文给出了几点建议：

（1）农村居民收入来源单一，自然条件对农业生产影响较大，农业种植结构不合理等成为制约农民增加收入的主要原因。因此，应该加强农民科学种田的指导力度。

（2）新疆农业多以瓜果为主，应该防止“谷贱伤农”，进行价格保护，设定最底收购价，以此来增加农民的收入。

（3）推进农产品加工厂的建造，既解决农民的就业，也可增加收入。

（4）建立农业合作社，为农户提供相关农业政策信息、技术指导、资金支持等。