浅谈牛吃草问题中的变中不变思想和类比思想

陈佳娜

【摘要】数学教育的终极目标，是让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.这就是对数学教育培养人的描述，这就是数学学科的核心素养.在本质上，数学的眼光就是数学抽象，数学的思维就是逻辑推理，数学的语言就是数学模型.数学的知识点很多，知识本身固然重要，但是，教会学生如何去辨别这些知识，如何去学习，如何去思考是更加重要的.变中不变思想是与抽象有关的数学思想;类比思想是与推理有关的数学思想.数学思想的引入，使得学生在掌握知识技能的同时，感悟其中所蕴含的数学思想，形成数学抽象和推理的数学素养.

【关键词】小学数学;牛吃草问题;数学思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”如果把基础知识和基本技能看作计算机的硬件设备，那么基本思想和基本活动经验便是其软件支持，优良的硬件设备可以让计算机的运行顺畅不卡顿，而灵活的软件支持才是计算机能够可持续发展的定海神针.史宁中教授也曾讲过：“在基础教育阶段，一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯：会在错综复杂的事物中把握本质，进而抽象能力强;会在杂乱无章的事物中理清头绪，进而推理能力强;会在千头万绪的事物中发现规律，进而建模能力强.”

我结合牛吃草问题中涉及的“变中不变”和“类比”两种数学思想进行浅析.

一、审时度势，变中不变思想的多维思考

英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快.这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，其间一直有草生长.如果供给25头牛吃，可以吃多少天？这种类型的题目就叫作牛顿（牛吃草）问题，亦叫作消长问题.在实际教学中，我通常鼓励学生先独立读题.可是，精读本题过后，多数学生仍如丈二的和尚摸不着头脑.究其原因是题中“无”的条件多且“有”的条件少，如何无中生有、化虚为实？这就需要师生共同观其经脉、庖丁解牛了.由于牛吃草的过程中，草不断生长，所以要想办法从变中找到不变的量.牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于匀速生长，所以每天新长的草量也可看作是“不变”的.下面对比本题中的两种吃法（如图1）.正是由于这个不变量，使牛吃草问题冲云破雾、豁然开朗.

下面整理出本题的解题思路（如图2）：

数学是思维的体操，比运算结果更重要的是思考问题的过程，下面给出两种解题思路供参考.

思路一：可以派出5头牛去吃每天的新生草，剩下的牛吃不变的原有草.

110÷（25-5）=5.5（天）

思路二：数学有公平之美，若每天只让5头牛吃新生草，稍显不公平，要想让群牛平等，也可以这样操作：25头牛每天吃草的需求量是25份，大家齐心协力先吃每天的5份新生草，没吃饱，然后再一起分享原有草25-5=20份，共享数学之公平美.

110÷（25-5）=5.5（天）

即可供25头牛吃5.5天.两种思路虽算式相同，但思维过程却不同，这就是数学思维其乐无穷的关键所在.

变中有不变思想，用一句俗话说则为“万变不离其宗”.在小学阶段，数学的概念、法则、性质、定理、数量关系式（包含各种公式）等都广泛应用了变中不变思想.

二、触类旁通，类比思想解决相似问题

如果两类事物具有许多相同的属性，那么可以通过一类事物具有的性质，联想另一类事物也具有相同的性质，这种解决问题的思维方法叫类比思想.

下面列举一些与牛吃草问题有异曲同工之妙的可用类比思想解决的数学问题.

【检票问题】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来排队的人数一样多，并且每分钟检票完成的人数相同.若同时开放5个检票口，则需30分钟检完票;若同时开6个检票口，则需20分钟检完票.那么，第一个排队的人需等待检票多少分钟？

在牛吃草问题中，我们把草分成原来的草和匀速生长的新草两个部分.在检票问题中，恰好也可以把人分成原來的人和匀速增多的新人两个部分，故我们可以把排队检票的人看作牛吃草问题中的“草”，而每分钟检票人数相同的检票口恰好可以看作每天吃草份数同样多的“牛”.

本题解答过程如下：

设每个检票口每分钟可检票1个人.

人的增长速度： （30×5-20×6）÷（30-20）

=30÷10

=3（人/分）.

原来的人：30×5-30×3=60（人）或20×6-20×3=60（人）

意味着第一个排队的人需要等到第60个人前来排队时，才能开始检票.

等待时间：60÷3=20（分）.

【抽水问题】一个水池，池底有一泉眼，水不断涌出.如果用了7台抽水机来抽，20小时可以把水抽干;如果用8台抽水机来抽，15小时可以把水抽干.那么，泉眼每小时涌出多少水？

不难发现本题抽水机即是“牛”，而不断涌出的水即是“生长的草”.与抽水问题特别类似的还有排水管问题及船漏水问题.

本题解答过程如下：

设抽水机每小时抽1份水.

涌水速度： （20×7-15×8）÷（20-15）

=20÷5

=4（份/时）.

【扶梯问题】扶梯匀速地由一楼向二楼行驶着，甲、乙两人同时由二楼逆行去一楼.甲每秒钟走3级台阶，乙每秒钟走2级台阶，甲100秒到一楼，乙300秒到一楼，扶梯有多少级台阶？

这种“熊孩子”的题型难道也可以类比“牛吃草”问题？当然了！匀速增加的台阶相当于匀速生长的“草”，甲、乙两人可以比作“牛”，那么问题就迎刃而解了.

本题解答过程如下：

台阶增长速度： （2×300-3×100）÷（300-100）

=300÷200

=1.5（级/秒）.

原来的台阶：2×300-1.5×300=150（级）或3×100-1.5×100=150（级）.

【多人追及】有一个人步行从某地出发，过了一段时间之后，又有甲、乙、丙三个人同时从该地出发骑车追赶步行人.甲、乙、丙三人的速度分别是12千米/时，16千米/时，28千米/时.步行人的速度始终不变，也不会中途停下来，甲追上步行人花了6小时，乙追上步行人花了4小时，那么丙追上步行人需要多长时间？

这虽然是行程问题中的追及问题，但与牛吃草问题本质相同.类比牛吃草问题的解法，尝试根据甲、乙追上步行人花的时间算出步行人的速度（相当于草的生长速度），进而求出刚出发时甲、乙、丙与步行人的距离（相当于原有草量），最后解答丙追上步行人花的时间.

本题解答过程如下：

步行人的速度： （12×6-16×4）÷（6-4）

=8÷2

=4（千米/时）.

刚出发时甲、乙、丙与步行人的距离：12×6-4×6=48（千米）或16×4-4×4=48（千米）.

丙追及的时间： 48÷（28-4）

=48÷24

=2（小时）.

除了以上列举的数学问题，还有很多数学问题也可类比牛吃草問题.理解了数学思想，数学知识自然水到渠成.正可谓“万变不离其宗”，这里不再一一赘述.

三、去伪存真，抓住数学问题精髓

在小学数学教学过程中，教师要把握知识中蕴含的数学思想，抓住教学的契机，在相关的教学环节，适当渗透或点拨这些数学思想，让数学思想如春雨般浸润学生的心田.我经常看到很多学生整日在题海战术中，被搞得精疲力尽，小小年纪便对学习望而生畏.“思想”教学迫在眉睫，长春市吉大附中力旺实验小学温剑校长经常教导我们：“做有根的教育.”我想温校长所说的“根”就是根植于学生内心深处的思想教育.作为一线教师，一定要有意识地引导学生独立进行归类发现，抓住知识的本质，任题目千变万化，只要掌握了驾驭知识的思想方法，便可见微知著，源头活水不断涌来.

【参考文献】

[1]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[2]王永春.小学数学思想方法解读及教学案例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

[3]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社，2014.

[4]史宁中.数学思想概论[M].长春：东北师范大学出版社，2008.