一次优课比赛引发的思考——以“倾斜角与斜率”为例谈章节起始课的导入

天津市教育科学研究院 王秋月 山东省桓台县渔洋中学 王慧凯

笔者曾全程观摩了一次优课比赛，内容是人教A版高中数学必修2第三章第一课时“直线的倾斜角与斜率”，十几位教师同课异构，思维碰撞。作为一节章节起始课，如何导入才能符合课程标准的主旨，体现编者意图，培养学生数学思维力？下面笔者结合具体案例谈谈由本节课的情境引发的思考。

一、展示三种形式的课堂导入

导入1：（PPT 展示图片）同学们，这是长江斜拉大桥，一条条琴弦似的斜拉索，让整座桥看起来如彩虹般美丽。每条拉索都是倾斜的，倾斜程度如何衡量？我们这节课来学习“倾斜角和斜率”。

导入2：（教师在平面直角坐标系中画出一个红色的心形图案）这个图形大家都认识，这是法国数学家笛卡尔写给情人的一封情书。当时笛卡尔的信中只有一个方程r=a（1-sinθ），这个简单的方程对应的图形就是著名的“心形线”。笛卡尔是近代数学的鼻祖，他和费马创立了用代数方法研究几何问题的解析几何。我们的解析之旅从最简单的直线开始，本节课先来学习刻画直线的重要元素“倾斜角和斜率”。

导入3：（PPT展示一张蜘蛛网图片）同学们是否听说，一张小小的蜘蛛网引发了一场数学革命。据说，数学家笛卡尔有一天躺在床上，看到一只小小的蜘蛛从东到西，从南到北，吐丝结网，忙个不停。笛卡尔以此为灵感运用坐标系将代数与几何联系起来，于是产生了数学一门新的分支——解析几何。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑。从本节课开始，我们将在直角坐标系中研究直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等，下面让我们用“倾斜角与斜率”开启解析之门。

二、界定章节起始课

章节起始课是每一章的第一课时，这节课的内容包括章头图、章引言以及正文第一节。章头图和章引言对本章内容有提纲挈领的作用，可以简明扼要地展示本章要学习的主要内容及知识点，体现本章的数学思想和方法，帮助学生初步建立对本章的认知及知识架构，传播与本章相关的数学文化。章头图是以图片形式生动形象地展示本章蕴含的内容、方法等，直观性强，有助于学生理解本章内容，且这些图片通常与生活息息相关，能够培养学生应用数学的意识，消除学生对数学的畏惧感，产生学习兴趣。章引言则以文字形式简要介绍本章涉及的知识和思想方法，让学生对即将学习的内容、地位、作用有一个大致了解，对学生建构本章知识框架有极好的引领作用，同时这些文字通常浅显易懂，能够拉近学生与数学的距离。

总之，若将每一章比作一本书，章头图是封面，章引言是序言；若将每一章比作一部影视作品，章头图是剧照，章引言是剧情梗概。章节起始课既要讲授每一章第一节的知识，更要讲授章头图、章引言的内容，借此渗透数学文化，融入数学思想，帮助学生建构本章知识框架，揭示本章核心内容。

三、做好章节起始课导入设计

章节起始课在一章中有谋篇布局之功能，导入设计要做到：把握本节课在本章、本册甚至整个高中数学中的地位及作用，了解与本节课相关的数学史、数学文化，或者生活实例，或者与旧知识之间的联系，了解学生的知识基础、知识需求，根据学生认知特点及知识水平设计合理的导入。因此，创设情境不失为章节起始课导入的合适方法。

（一）引用生活实例导入

数学是有用的，但是教材中体现出来的以及课堂上讲授的往往是枯燥乏味的、抽象的。其实，数学中很多知识都是与生活实际紧密相连的，需要教师用心发掘生活中的例子，运用到章节起始课导入教学中。一方面是学生对新知识存在好奇心和陌生感，另一方面是学生身边熟悉的生活实例，二者产生碰撞可以让学生在较短的时间内融入到新课学习中，也可以让学生产生数学就在身边的亲切感。例如：“概率”一章的章引言中就提供了很多学生身边的例子，教师在备课时将这些实例恰当运用，或图片，或动画，或视频，既能给学生留下直观印象，又能让学生有熟悉亲切感，教师再加以引导，对提高学生学习概率的积极性大有裨益。

（二）讲述数学故事导入

数学史和数学故事往往能反映出知识产生发展的过程和知识的本质，用一个与教材内容相关的合适的数学故事作为章节起始课的导入，不仅能加深学生对知识的理解，更能引起学生对知识探究的兴趣，调动学生的学习积极性。例如：概率是因赌博而产生，推动概率发展的竟是一群赌徒，学生惊讶之余产生学习概率的兴趣。当然，用数学故事导入新课，需要教师具备深厚的数学史功底，才能将之自如地应用到教学中。

（三）应用数学游戏导入

托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的学习兴趣。”将数学游戏作为章节起始课的导入，可以让学生愉快地、主动地进入到新知学习中。例如：“圆锥曲线”一章讲到椭圆、双曲线、抛物线三种曲线，可以让学生体验这样的游戏——课前学生以小组为单位准备一个圆锥形的萝卜，用小刀切萝卜，观察得到的切面是什么形状。学生在体验中获得的知识领悟会更深刻。

四、分析本课时教学地位

“倾斜角与斜率”是承上启下的一节课。本节课开始学生将真正接触数学的一个重要分支——解析几何（在高中阶段，解析几何是指平面解析几何），它是用代数方法研究几何问题的一门学科，其核心方法是坐标法，即通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间、曲线与方程之间的一一对应关系，用方程研究曲线的性质，用方程的解研究几何图形之间的位置关系。直线是平面上最简单的曲线，“倾斜角与斜率”是刻画直线倾斜程度的重要因素。因此，本课时既是本章的第一课时，又是学习解析几何的第一课时，对后续学习圆锥曲线有着统领作用，其重要性不言而喻。

五、研读本章章头图及章引言

本章的章头图有两幅。背景图是直角坐标系中的两条倾斜的平行线，它们向上的方向与x轴正半轴有两个夹角，反映的正是第一课时的内容。正图是一架徐徐降落的飞机，它是如何准确进入着陆道的呢？飞机的着陆系统能够通过地面上的方位台和仰角台发射的信号准确定位而着陆，这里的“准确定位”正是数学中的坐标。两幅图既蕴含着本章要学习的内容，又揭示了本章的核心方法——坐标法。

本章的章引言有两部分。一部分跟章头图放在一起，点出直角坐标系使几何研究进入新时代，方程是直线的“翅膀”，体现用代数方法研究几何问题的核心思想。另一部分放在章节目录下，简要介绍了坐标法是解析几何最基本的研究方法、解析几何的创立及其在近代数学中的地位、本章将要学习的内容，渗透了本章的核心数学思想，彰显了本章数学文化，初步建构了本章知识框架。

六、分析三种导入之异同

三个导入都采用情境导入法，引领学生直观感知本节课的教学内容。“导入1”用斜拉索大桥的图片展示“倾斜”，在视觉上给学生直观刺激；“导入2”用平面直角坐标系中的心形图形及娓娓道来的数学家的浪漫故事引出解析几何，在视觉和听觉上给学生刺激；“导入3”用蜘蛛网图片与解析几何的产生发展历史引出要学习的内容，在视觉、听觉及思维上给学生刺激。

三个导入又各自不同。从教材角度来看，“导入1”中图片显示的内容与本节课知识点是相符的，这样的导入是可行的，不足在于没有认识到章节起始课的作用；另外两个导入都考虑到了本节是章节起始课，领悟到了教材编者的意图，与教材主旨是接近的。从学生认知的角度来看，“导入1”对为什么学习“倾斜角与斜率”没有作出预设，多数学生可能会“知其然不知其所以然”地完成本课时的学习任务；后两个导入明确地指出了解析几何的产生及其在近代数学史上的地位，学生能够“知其所以然”。从学生思维的角度来看，前两个导入对于帮助学生建立几何问题代数化的思维的作用是小的，“导入3”详细讲解了坐标系的产生以及坐标法在解析几何中的重要性，学生能够“知其何为所以然”，从而树立“由数究形”的观点。

总之，“导”是手段，“入”才是目的。