重视数学理解 关注学生发展

■天津市静海区教育教学研究室 郑淑媛

一、从“导入”看，考虑学生的认知基础，为学生搭建合理平台

宋老师注意知识的前后联系，采用以旧引新直接导入法，在学生已经学习了三角形与多边形有关概念的基础上，让学生回顾多边形的角及对角线的概念，强调了对角线的作用。类比三角形学习，多边形“角”之间又有怎样的关系，教师提出问题：“我们已经知道三角形内角和等于180°，正方形、长方形这些特殊四边形内角和都等于360°，那么任意一个四边形内角和是否等于360°？如何证明？”由于教师做了铺垫，所以学生马上想到“引对角线”的方法很快解决了问题，并且宋老师明确指出了研究对象，即四边形的内角和就是（∠1+∠2+∠B)+(∠3+∠4+∠D），这对学生来说很有用。

二、从“新授”看，以问题+启发式引导，在探究过程中感悟数学思想方法

数学是一个融知识、技能、方法、思想、精神为一体的整体，除了知识、技能以外，更重要的是数学的思想方法和数学中蕴含的理性精神。学生怎么学数学，这和教师怎么教相联系。由特殊的多边形内角和到n边形内角和，是一个多层次的探索过程，本质上讲的是由具体到抽象以及逻辑推理的过程。首先说教师运用数学思想方法境界较高，有神无形，将转化的思想方法融合在探索多边形内角和的过程中，而且将“过一个顶点引对角线”的方法作为教学主线，思路清晰。

当教师问“你能发现分成的三角形个数与它的边数之间有什么关系吗？”学生表现出迟疑，确定分割后三角形的个数的这个过程不但结论随着多边形边数的变化而变化，而且需要关注的因素也较多，如边数、从一个顶点出发的对角线条数、分得的三角形个数、内角和等，对学生来说寻找这个关系有一定困难。我们看宋老师抓住这个“关键问题”，借助表格，先引导学生观察，当学生发现“列”之间存在的规律是边数减2时，追问学生“说说你是怎么发现的？”让学生不仅知其然，而且知其所以然。继续追问：“你还能从其他角度进行解释吗？”引发更深入的思考。我们看到在教师的启发下，有两位学生分别从顶点和边的角度做出很好的解释，从多角度加深了对这个“关键问题”的理解。学生潜力是无穷的，我们一定要相信学生。这个过程蕴含的是符号化以及从特殊到一般的抽象推理过程，尤其是用与n有关的代数式表示内角和的过程是从感性走向理性。

我们看这个探索过程，学生有独立思考、小组合作与全班交流，他们亲自经历知识发生、发展过程，知识的获取不是教师塞给的，而是自己自主获取的。教师提出的问题由浅入深，环环相扣，有利于培养学生有逻辑的思维能力，像这样让知识慢慢地、一点一点地“浮出水面”的过程，符合学生的认知规律，能激发学生的学习兴趣，学生能从中领悟出探索多边形内角和的思想方法，而这种类比、转化化归思想和从特殊到一般研究问题的方法，会使学生的学习变得很轻松。得到（n-2）·180°的方法属于合情推理，宋老师通过让学生探索不同的分割方法，验证了所得结论的一致性和可靠性。类比四边形的内角和是360°的证明方法，让学生选择自己最喜欢的方法，探究五边形、六边形...,n边形的内角和，同时指出“不论这个点取在哪，都是将多边形内角和转化为三角形内角和”。“这个点到底选在哪最好呢？”教师引导学生进行了比较，并告诉学生“过顶点引对角线”是以后经常用到的方法。在探索多边形内角和公式的过程中，学生经历了观察、猜想、计算、推理和验证，在相互启发中自然而然地培养了探究能力。教师引导学生用不同的分割方法进行验证的探究过程，学生积极思考，大胆猜想，推理能力得到了有效的培养，这源于教师对教材的准确把握和深刻理解，源于教师对学生的理解与尊重。

三、从“应用”看，关注示范引领与兴趣激发，技术运用恰到好处

课本例题是经过专家们反复论证、精心设计的，具有针对性和典型性，是学生获取知识、发展能力的重要载体。例1宋老师给出解题的规范板书，发挥了例题的示范作用。选用的练习突出基础性和层次性，并运用技术给予了及时评价和反馈。

例2是求六边形的外角和，而探索多边形外角和正是由此开始，多边形外角和是作为多边形内角和公式的一个拓展应用，仍按照从特殊到一般的研究方法，宋老师用三个有关联的具有递进关系的问题引导学生思考，师生一起从六边形的局部到整体寻找关系：“六边形的外角和”是用“六个平角”减去“六边形的内角和”，得到六边形外角和为360°。接着学生思考：若将“6”换为“n”，可以得到同样结果吗？进行类比迁移，自然得到了：“n边形的外角和”是用“n个平角”减去“n边形的内角和”，有相同结果360°。在这里宋老师做了强调，n边形的内角和（n-2）·180°是随着n的变化而变化的，而在这个过程中多边形的外角和是保持不变的。值得一提的是，在帮助学生理解为什么多边形的外角和等于360°这个问题上，宋老师巧妙地利用了信息技术的动态效果和直观性，信息技术运用掐时掐点、非常有效。

四、从“小结”看，注重过程与结果相结合，构建知识体系

小结新颖别致，采用问题清单的形式，以问题串引导学生自我反思。提出四个问题：（1）本节课学习了哪些内容？（2）我们是怎样得到多边形内角和公式的？（3）在探索多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到什么作用？（4）n边形的外角和与n有关吗？为什么？不仅引导学生回顾本节课所学的知识，更关注内容所反映的思想方法以及如何展开思考，这样的小结是过程与结果相结合的，注重了数学基本思想、基本活动经验的落实。同时，也把如何发现和提出问题渗透其中，实现了“四基”“四能”的融合，是发展学生数学学科核心素养的有力举措。宋老师的用心之处还体现在学生完成问题清单后，又从单元的视角以框架形式帮助学生建立起知识间的联系，形成知识脉络，这个很重要。问题商榷与建议：第一，点在多边形外部的情形，课上没有“生成”，宋老师让学生留作课下思考，这种情形是否能得到相同的结论？是否需要分类讨论？值得研究。第二，表格中的多边形是从四边形开始的，n边形中n的取值是不小于3的整数，建议考虑三角形，还有，可以考虑再多放几个多边形，如七边形、八边形，给学生一个想象的空间，增强学生的几何直观思维。

整节课上，内容的展开运用了类比、推广的方法，以及把复杂问题转化为简单问题、化未知为已知的思想方法等。教师引导学生体验从特殊到一般的研究几何对象的基本思路，从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对抽象的几何对象，从特殊的具体对象进行探索，这样的设计呈现给学生的是一个宏观的数学视野，当学生独立面对一个数学对象时，能迁移、类比地去研究，学生从本节课中积累的数学思维的经验，也会潜移默化地形成和发展自己的数学核心素养。