p-子群的局部性质与有限群的p-幂零性

韩玲玲,郭秀云

(上海大学理学院,上海200444)

有限群论中,人们经常应用子群的性质研究有限群的结构.实际上,通过p-子群可以得到有限群为p-幂零群的判别条件[1-4],例如Frobenius定理[5].从Frobenius定理出发,人们从各个不同的角度希望应用较少数的p-子群给出有限群为p-幂零群的判别条件,例如Thompson定理[5].近年来,人们将原来考虑有限群的Sylow子群改变为仅仅考虑Sylow子群的某个真子群,例如焦点子群、p-模子群[6]等.本工作将继续这一思想,通过考虑有限群G的一个特殊的p-子群Ω(P∩Op(G))在G中的某种交换性及其自身的交换性等,给出有限群为p-幂零群的充分条件.如先特别说明,本工作中的群皆为有限群,基本的概念与记号见文献[5,7-8].

1 基本引理

如果一个p0-群H作用在p-群P上,且H固定P的每一个p阶元素,特别地,当p=2时,还固定P中每个4阶元素,则H平凡地作用在P上.2010年,Isaacs等[9]采用较弱的条件(p=2时)获得了类似的结果.

引理1[9]设P是一个p-群,K是一个作用在P上的p0-群,并且固定P中所有的p阶元素,且当p=2时,K还固定P中的所有4阶实元素,则K在P上作用平凡.元素x∈G是G的实元素,是指存在g∈G,使得xg=x−1.

引理2[8]设G是内p-幂零群,则G有下列性质:

(1)|G|=paqb,其中p,q为素数且pq,a,b均为正整数;

(3)G的Sylow q-子群是循环群.

引理3设G是一个群,P∈Sylp(G),则下列叙述等价:

(1)G是p-幂零群;

(2)对于P∩Op(G)的所有的不为1的子群U,NG(U)是p-幂零群;

(3)对于P∩Op(G)的所有的不为1的子群U,NG(U)/CG(U)是p-群.

证明 (1)⇒(2).由p-幂零群的子群遗传性显然可得.

设G是极小阶反例,则由假设条件的子群遗传性及G的极小性可知,G是内p-幂零群,由引理2可知,PG.又因G不是p-幂零群,则在G中存在p阶元x,有x∈Op(G),故6 P∩Op(G).因为P∩Op(G)G,所以P∩Op(G).此时由假设条件可知=为p-群,故Op(G)若

2 主要结果

利用上述3个引理,我们可以得到如下定理.

定理1设G是一个群,P∈Sylp(G),

则下列叙述等价:

(1)G是p-幂零群;

(2)Ω(P∩Op(G))的所有的不为1的子群U,NG(U)是p-幂零群;

(3)Ω(P∩Op(G))的所有的不为1的子群U,NG(U)/CG(U)是p-群.

注:下文中的Ω(P∩Op(G))均按定理1中的定义.

定理2设G是一个群,P∈Sylp(G),若Ω(P∩Op(G))Z(NG(P)),则G是p-幂零群.

证明 设G是极小阶反例,则G非p-幂零.由定理1可知,存在1UΩ(P∩Op(G))以及p0-群KNG(U),有[U,K]1.根据假设条件,有UZ(NG(P)),特别地,有PCG(U),令E=NG(U),由Frattini论断可得

如果NE(P)

定理3设G是一个群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)中的任意p阶元素(当p=2时,再加其中任意的4阶实元素),x均满足xG∩P=xP,则G是p-幂零群.

由定理2可知,假设Ω(P∩Op(G))Z(NG(P)),则G是p-幂零群.接下来考虑将Ω(P∩Op(G))在群G中的交换性进一步减弱来讨论群G的p-幂零性.假设Ω(P∩Op(G))本身是交换群,此时群G显然不能再保证是p-幂零群,例如3次对称群S3.因此在这个假设条件下,通过添加适当的条件给出群G是p-幂零群的一个充分条件.

定义1[10]设G是一个群,H 6 G,K 6 G,称群G对(H,K)满足n阶Engel条件,如果对于任意的h∈H,k∈K有En(h,k)=1,其中

引理4[8]设π0-群H作用在交换π-群G上,则有G=CG(H)×[G,H].

定理4设G是一个群,P∈Sylp(G),若Ω(P∩Op(G))是交换群,且存在正整数n,使得G对(Op(G),Ω(P∩Op(G)))满足n阶的Engel条件,则G是p-幂零群.

证明 首先证明定理假设条件对子群遗传.对G的任意子群D,设P1∈Sylp(D),不妨设P1P,因Op(D)Op(G),故有Ω(P1∩Op(D))Ω(P∩Op(G)),所以Ω(P1∩Op(D))是交换群.另根据定理假设条件,存在正整数n,使得G对(Op(G),Ω(P∩Op(G)))满足n阶的Engel条件,而由Op(D)Op(G),Ω(P1∩Op(D))Ω(P∩Op(G))以及定义1可知,对任意的x∈Op(D),y∈Ω(P1∩Op(D))有

设G是极小阶反例,由条件的子群遗传性可知,G是内p-幂零群.根据内p-幂零群的构造(引理2),可设G=PQ,其中P∈Sylp(G),Q∈Sylq(G),且Q是循环群.又因G是非p-幂零群,由定理1可知,存在1UΩ(P∩Op(G))以及p0-群K 6 NG(U)(不妨设KQ),有[U,K]61.设U的阶最小,考虑p0-群K作用在p-群U上,则U=[U,K].若[U,K]

步骤1 U无K-不变真子群.

由假设条件Ω(P∩Op(G))是交换群,U 6Ω(P∩Op(G)),故U也交换.由引理4可知,U=CU(K)×[U,K],而因U=[U,K],所以CU(K)=1.若U有K-不变真子群A,则由U阶的最小性可知[A,K]=1,此时1ACU(K)=1,矛盾.

步骤3 最后矛盾.

其中a∈Op(G),u∈Ω(P∩Op(G)).根据定理假设条件,存在正整数n,使得

矛盾.定理得证.

关于Burnside定理,存在一个经典应用.设G是一个群,p是|G|的最小素因子,P∈Sylp(G)且P是循环群,则G是p-幂零群.受这一结果的启发,假设P∩Op(G)是循环群,得到p-幂零群的一个充分条件.

定理5设G是一个群,P∈Sylp(G),如果满足如下条件:

(1)P∩Op(G)是循环群;

(2)P∩Op(G)中的元素与NG(P)中的q-元素可换,其中q|p−1,则G是p-幂零群.

证明 设G是极小阶反例,则G非p-幂零.首先证NG(P)非p-幂零.由P∩Op(G)是循环群,可知P∩Op(G)中没有4阶实元素,且Ω(P∩Op(G))是p阶循环群.又Ω(P∩Op(G))charP∩Op(G)P,故Ω(P∩Op(G))Z(P),如果NG(P)p-幂零,则有Ω(P∩Op(G))Z(NG(P)).由定理2可知,G是p-幂零群,矛盾.故NG(P)非p-幂零.

取NG(P)的内p-幂零子群A,由内p-幂零群的构造(引理2)可设A=P1Q1,其中P1∈Sylp(A),Q1∈Sylq(A),Q1是循环群.另因A非p-幂零,由定理1可知,存在1UΩ(P1∩Op(A)),p0-群KNA(U),有[U,K]1.

(2)不妨设P1P,因U=Ω(P∩Op(G))Z(P),故UZ(P1),因此P1CA(U);

综上可得,K是由NG(P)中的q-元素生成的循环群,且q|p−1.由定理假设条件可知,U与K元素可换,故而[U,K]=1,矛盾.定理得证.

根据Ω(P∩Op(G))的定义,事实上定理5中只需假设Ω(P∩Op(G))是循环群,就可保证P∩Op(G)是循环群.此外,基于定理5,可以得到如下推论,其中推论1与2的证明由定理5容易得到,故不再赘述.

推论1设G是一个群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)是循环群且(p−1,|G|)=1,则G是p-幂零群.

推论2设G是一个群,P∈Sylp(G),如果P∩Op(G)是循环群且p是|G|之最小素因子,则G是p-幂零群.

推论3设G是一个群,如果对于任意的p||G|,P∈Sylp(G)都有P∩Op(G)是循环群,则G是超可解群.

证明 设|G|的所有素因子按照从小到大的顺序依次是p1,p2,···,pr,对于任意的{1,2,···,r},Pi∈Sylpi(G),则由假设条件(P1∩Op1(G))是循环群与推论2可知,群G是p1-幂零群.设G=P1K1(其中K1是G的正规p1-补),因为(|P1|,|K1|)=1,所以事实上K1charG.又因为p2是|K1|的最小素因子,由假设条件与推论2可知,群K1是p2-幂零群,设K1=P2K2(其中K2是K1的正规p2-补),同样的有K2charK1,于是K2charG.如此下去,可以找到

组成群G的超可解型的Sylow-塔.

为了书写方便,设r=pr是|G|的最大素因子,不防设r2.由群G有超可解型的Sylow-塔可知,若R∩Or(G)=1,则G是r-幂零群,所以G有r阶的正规子群S.考虑商群且容易验证G/S满足定理假设条件.由归纳可知,G/S是超可解群,又S是循环群,故而G是超可解群.若此时容易验证对也满足定理假设条件,由归纳可知G/(R∩Or(G))是超可解群.根据假设条件R∩Or(G)是循环群,故而G是超可解群.推论得证.