因子von Neumann代数上的非线性中心化子

杨 翠，吴 冰，刘 珍

(1.河北工程技术学院信息技术学院，石家庄 050091；2.喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844000)

令R是一个环(代数)，一个映射φ:R→R被称为R上的左中心化子或右中心化子，如果φ(AB)=φ(A)B或φ(AB)=Aφ(B)对所有的A，B∈R都成立.如果φ既是左中心化子又是右中心化子，则称φ是中心化子.近年来，关于环(代数)上使得满足某种条件的线性或可加映射成为中心化子的研究已取得了许多结果[1-7]，如Vukman[1]证明了2-无扰自由半素环M上的可加映射φ，如果满足对任意的A∈M，有2φ(A2)=φ(A)A+Aφ(A)，则φ是中心化子；齐[3]证明了标准算子代数M上的可加映射φ，如果满足条件φ(Am+n+1)-Amφ(A)An∈FI(其中m，n为正整数，I为单位算子，F为实或复数域)对所有A∈M成立，则存在λ∈F，使得对任意的A∈M，有φ(A)=λA.马[4]将此结论推广到了完全分配可交换子空间格代数上．

将映射条件弱化一直是许多学者研究的热点问题[8-10].于是，本文的目的是在没有可加性的条件下，证明因子von Neumann 代数上满足某种条件的映射为可加中心化子，并给出此映射的具体刻画．

设H为实或复数域F上的Hilbert空间，B(H)表示H上的全体有界线性算子.M是作用在H上的von Neumann代数，I是B(H)中的单位算子，Z是M的中心.若Z=M∩M′=FI，则称M为H上的因子von Neumann代数.众所周知，因子von Neumann代数M是素的，即对任意的A，B∈M，若AMB=0，则A=0或B=0．

1 主要结果及证明

定理设m，n是任意非零整数，且满足(m+n)(m-n)≠0，M是一个因子von Neumann代数，φ是M上的一个映射(没有可加性的假设).若对任意的A，B∈M，有

2mφ(AB)+2nφ(BA)=mφ(A)B+

mAφ(B)+nφ(B)A+nBφ(A).

(1)

则存在λ∈F，使得对任意的A∈M，有φ(A)=λA.

取P1∈M为一个固定非平凡投影，记P2=I-P1且Mij=PiMPj(1≤i，j≤2)，显然可将M代数分解为M=M11+M12+M21+M22.以下通过几个步骤来完成定理的证明．

步骤1φ(0)=0．

证明在(1)式中，取A=B=0，即得φ(0)=0.证毕．

步骤2φ(Mii)⊆Mii，φ(Mij)⊆Mij(1≤i≠j≤2)．

证明由(1)式，得

2mφ(Pi)+2nφ(Pi)=

mφ(Pi)Pi+mPiφ(Pi)+nφ(Pi)Pi+nPiφ(Pi).

化简得

2φ(Pi)=φ(Pi)Pi+Piφ(Pi).

(2)

对(2)式两边左右同时乘Pj，得Pjφ(Pi)Pj=0.对(2)式两边左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Pi)Pj=0.对(2)式两边左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Pi)Pi=0.所以φ(Pi)∈Mii．

对任意的Aii∈Mii，由于AiiPj=PjAii=0，从而由(1)式及步骤1，有

0=2mφ(AiiPj)+2nφ(PjAii)=

mφ(Aii)Pj+mAiiφ(Pj)+

nφ(Pj)Aii+nPjφ(Aii).

化简得

mφ(Aii)Pj+nPjφ(Aii)=0.

(3)

对(3)式两边左右同时乘Pj，得Pjφ(Aii)Pj=0.对(3)式两边左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Aii)Pj=0.对(3)式两边左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Aii)Pi=0.从而φ(Aii)∈Mii．

对任意的Aij∈Mij，由(1)式及步骤1，有

2nφ(Aij)=2mφ(AijPi)+2nφ(PiAij)=

mφ(Aij)Pi+mAijφ(Pi)+nφ(Pi)Aij+

nPiφ(Aij)=mφ(Aij)Pi+

nφ(Pi)Aij+nPiφ(Aij).

(4)

对(4)式两边左右同时乘Pi，得(m-n)Piφ(Aij)Pi=0，从而Piφ(Aij)Pi=0.对(4)式两边左右同时乘Pj，得Pjφ(Aij)Pj=0.对(4)式两边左乘Pj右乘Pi，得

2nPjφ(Aij)Pi=mPjφ(Aij)Pi.

(5)

类似可以证明

2mPjφ(Aij)Pi=nPjφ(Aij)Pi.

(6)

由(5)(6)两式，有Pjφ(Aij)Pi=0.从而φ(Aij)∈Mij.证毕．

步骤3设Aii，Bii∈Mii，Aij∈Mij，Aji∈Mji(1≤i≠j≤2)，则

1)φ(AiiAij)=φ(Aii)Aij=Aiiφ(Aij)；

2)φ(AijAjj)=φ(Aij)Ajj=Aijφ(Ajj)；

3)φ(AiiBii)=φ(Aii)Bii=Aiiφ(Bii)；

4)φ(AijAji)=φ(Aij)Aji=Aijφ(Aji)．

证明由(1)式及步骤1和步骤2，得

2mφ(AiiAij)=2mφ(AiiAij)+2nφ(AijAii)=

mφ(Aii)Aij+mAiiφ(Aij)+nφ(Aij)Aii+

nAijφ(Aii)=mφ(Aii)Aij+mAiiφ(Aij).

从而

2φ(AiiAij)=φ(Aii)Aij+Aiiφ(Aij).

(7)

类似可以证明

2φ(AijAjj)=φ(Aij)Ajj+Aijφ(Ajj).

(8)

在(7)式中取Aii=Pi，并注意到Piφ(Aij)=φ(Aij)，故φ(Aij)=φ(Pi)Aij；在(8)式中取Ajj=Pj，并注意到φ(Aij)Pj=φ(Aij)，故φ(Aij)=Aijφ(Pj).所以φ(AiiAij)=AiiAijφ(Pj)=Aiiφ(Aij)，再由(7)式，有φ(AiiAij)=φ(Aii)Aij．

同理φ(AijAjj)=φ(Pi)AijAjj=φ(Aij)Ajj，再由(8)式，有φ(AijAjj)=Aijφ(Ajj).由结论1)，对任意的Aij∈Mij，有

φ(AiiBii)Aij=φ(AiiBiiAij)=φ(Aii)BiiAij，

且

φ(AiiBii)Aij=φ(AiiBiiAij)=

Aiiφ(BiiAij)=Aiiφ(Bii)Aij.

从而

(φ(AiiBii)-φ(Aii)Bii)Aij=0，

(φ(AiiBii)-Aiiφ(Bii))Aij=0.

由于M是素代数，则φ(AiiBii)=φ(Aii)Bii=Aiiφ(Bii)．

对任意的Aij∈Mij,Aji∈Mji,有

2mφ(AijAji)+2nφ(AjiAij)=

mφ(Aij)Aji+mAijφ(Aji)+

nφ(Aji)Aij+nAjiφ(Aij).

结合步骤2，有2mφ(AijAji)=mφ(Aij)Aji+mAijφ(Aji).约去m，得

2φ(AijAji)=φ(Aij)Aji+Aijφ(Aji).

(9)

由结论2)和3)，则φ(AijAji)=φ(AijAjiPi)=AijAjiφ(Pi)=Aijφ(Aji).再由(9)式，有φ(AijAji)=φ(Aij)Aji.证毕．

步骤4设Aii∈Mii，Aij∈Mij，Aji∈Mji(1≤i≠j≤2)，则

1)φ(Aij+Aji)=φ(Aij)+φ(Aji)；

2)φ(Aii+Aij)=φ(Aii)+φ(Aij)；

3)φ(Aii+Aji)=φ(Aii)+φ(Aji)．

证明由(1)式及步骤1和步骤3，则

2mφ(Aij)+2nφ(Aji)=

2mφ(Pi(Aij+Aji))+2nφ((Aij+Aji)Pi)=

mφ(Pi)(Aij+Aji)+mPiφ(Aij+Aji)+

nφ(Aij+Aji)Pi+n(Aij+Aji)φ(Pi)=

mφ(Aij)+nφ(Aji)+mPiφ(Aij+Aji)+

nφ(Aij+Aji)Pi.

即

mφ(Aij)+nφ(Aji)=

mPiφ(Aij+Aji)+nφ(Aij+Aji)Pi.

(10)

对(10)式两边左右同时乘Pi，得Piφ(Aij+Aji)Pi=0.轮换i，j得Pjφ(Aij+Aji)Pj=0．

对(10)式两边左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Aij+Aji)Pj=φ(Aij).对(10)式两边左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Aij+Aji)Pi=φ(Aji).所以φ(Aij+Aji)=φ(Aij)+φ(Aji)．

对任意的Aii∈Mii，Aij∈Mij，由(1)式及步骤1，步骤2和步骤3，一方面，有

2nφ(Aij)=2mφ(Pj(Aii+Aij))+

2nφ((Aii+Aij)Pj)=mφ(Pj)(Aii+Aij)+

mPjφ(Aii+Aij)+nφ(Aii+Aij)Pj+

n(Aii+Aij)φ(Pj)=mPjφ(Aii+Aij)+

nφ(Aii+Aij)Pj+nφ(Aij).

即

nφ(Aij)=mPjφ(Aii+Aij)+nφ(Aii+Aij)Pj.

(11)

对(11)式两边左右同时乘Pj，得Pjφ(Aii+Aij)Pj=0.对(11)式两边左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Aii+Aij)Pi=0．

另一方面，有

2mφ(Aii+Aij)+2nφ(Aii)=

2mφ(Pi(Aii+Aij))+2nφ((Aii+Aij)Pi)=

mφ(Pi)(Aii+Aij)+mPiφ(Aii+Aij)+

nφ(Aii+Aij)Pi+n(Aii+Aij)φ(Pi)=

(m+n)φ(Aii)+mφ(Aij)+mPiφ(Aii+Aij)+

nφ(Aii+Aij)Pi.

即

2mφ(Aii+Aij)+(n-m)φ(Aii)=

mφ(Aij)+mPiφ(Aii+Aij)+nφ(Aii+Aij)Pi.

(12)

对(12)式两边左右同时乘Pi，得Piφ(Aii+Aij)Pi=φ(Aii).对(12)式两边左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Aii+Aij)Pj=φ(Aij).所以φ(Aii+Aij)=φ(Aii)+φ(Aij)．

类似可以证明φ(Aii+Aji)=φ(Aii)+φ(Aji).证毕．

步骤5设Aii，Bii∈Mii，Aij，Bij∈Mij(1≤i≠j≤2)，则

1)φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij)；

2)φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii)．

证明对任意的Aij，Bij∈Mij，因为Aij+Bij=(Pi+Aij)(Pj+Bij)且(Pj+Bij)(Pi+Aij)=0，从而由(1)式及步骤1，步骤2，步骤3，步骤4，有

2mφ(Aij+Bij)=

2mφ((Pi+Aij)(Pj+Bij))+

2nφ((Pj+Bij)(Pi+Aij))=

mφ(Pi+Aij)(Pj+Bij)+

m(Pi+Aij)φ(Pj+Bij)+

nφ(Pj+Bij)(Pi+Aij)+

n(Pj+Bij)φ(Pi+Aij)=

2mφ(Aij)+2mφ(Bij).

故φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij)．

对任意的Aii，Bii∈Mii，一方面，由步骤3，有

φ((Aii+Bii)Aij)=φ(Aii+Bii)Aij.

另一方面，由步骤3和步骤5的1)，有

φ((Aii+Bii)Aij)=φ(AiiAij)+φ(BiiAij)=

φ(Aii)Aij+φ(Bii)Aij.

比较以上两式，得(φ(Aii+Bii)-φ(Aii)-φ(Bii))Aij=0.由于M是素代数，则φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).证毕．

步骤6设Aij∈Mij(1≤i，j≤2)，则

φ(A11+A12+A21+A22)=

φ(A11)+φ(A12)+φ(A21)+φ(A22).

证明由(1)式及步骤2，步骤3，步骤4，则

2mφ(A21)+2(m+n)φ(A22)+2nφ(A12)=

2mφ(A21+A22)+2nφ(A12+A22)=

2mφ(P2(A11+A12+A21+A22))+

2nφ((A11+A12+A21+A22)P2)=

mφ(P2)(A11+A12+A21+A22)+

mP2φ(A11+A12+A21+A22)+

nφ(A11+A12+A21+A22)P2+

n(A11+A12+A21+A22)φ(P2)=

(m+n)φ(A22)+nφ(A12)+

mφ(A21)+mP2φ(A11+A12+A21+A22)+

nφ(A11+A12+A21+A22)P2.

从而

(m+n)φ(A22)+nφ(A12)+mφ(A21)=

mP2φ(A11+A12+A21+A22)+

nφ(A11+A12+A21+A22)P2.

(13)

对(13)式两边左乘P1右乘P2，得φ(A12)=P1φ(A11+A12+A21+A22)P2.对(13)式两边左乘P2右乘P1，得φ(A21)=P2φ(A11+A12+A21+A22)P1.对(13)式两边左右同时乘P2，得φ(A22)=P2φ(A11+A12+A21+A22)P2．

类似可以证明φ(A11)=P1φ(A11+A12+A21+A22)P1．从而φ(A11+A12+A21+A22)=φ(A11)+φ(A12)+φ(A21)+φ(A22).证毕．

定理的证明设A，B∈M，则A=A11+A12+A21+A22，B=B11+B12+B21+B22，其中Aij，Bij∈Mij(1≤i，j≤2).由步骤5和步骤6，有

φ(A+B)=φ(A11+B11)+φ(A12+B12)+

φ(A21+B21)+φ(A22+B22)=

φ(A11)+φ(B11)+φ(A12)+φ(B12)+

φ(A21)+φ(B21)+φ(A22)+φ(B22)=

φ(A11+A12+A21+A22)+

φ(B11+B12+B21+B22)=φ(A)+φ(B).

即φ是可加的.又由步骤2和步骤3，有

φ(AB)=φ(A11B11+A11B12+A12B21+A12B22+

A21B11+A21B12+A22B21+A22B22)=

φ(A11B11)+φ(A11B12)+φ(A12B21)+φ(A12B22)+

φ(A21B11)+φ(A21B12)+φ(A22B21)+φ(A22B22)=

φ(A11)B11+φ(A11)B12+φ(A12)B21+φ(A12)B22+

φ(A21)B11+φ(A21)B12+φ(A22)B21+φ(A22)B22=

A11φ(B11)+A11φ(B12)+A12φ(B21)+A12φ(B22)+

A21φ(B11)+A21φ(B12)+A22φ(B21)+A22φ(B22)=

φ(A11+A12+A21+A22)(B11+B12+B21+B22)=

(A11+A12+A21+A22)φ(B11+B12+B21+B22)=

φ(A)B=Aφ(B).

所以φ是M上的一个中心化子．

进一步，对任意的A∈M，有φ(A)=φ(I)A=Aφ(I)，即φ(I)∈Z=FI.亦即存在λ∈F，使得φ(I)=λI，从而对任意的A∈M，有φ(A)=λA.证毕．

2 结束语

本文在去掉映射可加性的条件下，研究了因子von Neumann 代数上满足某种条件的映射为中心化子的问题.通过几个步骤证明了此映射为可加中心化子，并得到其同样具有形式φ:A→λA(λ∈F，∀A∈M)，丰富了中心化子的理论分析，具有一定的理论意义．