离散变结构控制系统的二阶趋近律方法❋

刘珑龙，崔 静，马明姣

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

0 引言

近年来，众多学者都潜心致力于离散变结构控制系统的趋近律方法的研究。离散变结构控制系统中的趋近律方法不仅在理论领域备受关注，而且在实践应用中也具有着举足轻重的影响。由于滑模变结构控制的算法简单、响应速度较快、鲁棒性较好等特点，滑模变结构控制系统的理论研究和实践应用受到了控制界及工程技术领域工作者的广泛关注[14-19]。

上述学者们的贡献仅仅是对于一阶的趋近律方法的研究，然而对于高阶趋近律方法的研究较少。文献[1]在二阶趋近律方法的研究使趋近律方法设计离散系统控制器的设计方法迈上了一个新的台阶。由文献[1]提出的二阶趋近律方法设计的离散变结构系统的控制器，不仅使系统的运动状态渐近的趋向切换面，而且使系统抖振逐渐衰减至零。相比较于一阶趋近律方法的设计，此趋近律方法更能使系统快速到达切换面，且能消除抖振，其仿真实例可以验证该方法的有效性和可行性。然而，文献[1]在二阶趋近律方法的研究中对于一些参数的取法、趋近律方法的渐近稳定性以及该方法能否应用于不确定离散系统等，均未给出明确的阐述。基于此，本文将在文献[1]的基础上对这些问题做进一步研究。

1 预备知识

定义1[20]如果对每个初值x，存在有限样本k*，使得对于任意k≥k*，x(k)总在集合内，就称离散时间系统在集合内是最终一致有界的。

定义2[20]如果任意a∈R，k∈N，ε>0，存在δ>0，当|a-x(kτ)|<δ+p时，有|s(x(kτ))-s(a)|

注：当r=1时，即是本文中出现的(p,q)-连续性的定义。

定理1[20]离散时间系统中，当p≥T(其中T是采样周期)时，滑模函数关于时间是一致有界的。如果p=T,那么q=|S((k+1)T)-S(kT)|。

定理2[21]考虑一般的n维非自治微分方程组

式中：x=col(x1,x2,…,xn)；

GH保证(1)式解的唯一性,且f(t,0)≡0。

其中，

(A1)x=col(x1,x2,…,xn)，

f=col(f1,f2,…,fn)均是代表列向量；

由Lyapunov稳定性定理可知：若在某区域GH上存在正定函数V(t,x)，使

(2)

则(1)式的平凡解x=0是稳定的。

定理3[21]若在某一域

D+V|(1)≤0，

(3)

则(1)式的平凡解一致稳定。

定理4[21]若在某区域

2 二阶递推趋近方法的理论分析

不同于以往的一阶趋近律方法,文献[1]提出了一种二阶递推趋近律方法：

s(k+1)=-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-
β(k)|s(k)|ψsgn(s(k)) 。

(4)

式中：

α(k),β(k)∈R,α(k)>0,β(k)>0;r,ψ∈R,0

β(k)<

{[1+α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

(其中，ζ1=r-1,ζ2=ψ-1)。

2.1 到达条件分析

定理5 离散变结构控制系统的二阶趋近律方法(4)中选取适当的α(k)和β(k)时，利用趋近律(4)设计的控制系统满足离散变结构控制系统准滑动模态的到达条件。

证明 对于参数α(k)和β(k)的存在性文献[1]已经给出了充分的说明，本文在此主要论证参数α(k)和β(k)的取法问题。证明过程如下：

对于任意的s(k)≠0，有

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=

[-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·

sgn(s(k))-s(k)]sgn(s(k))=

[-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·sgn(s(k))-|s(k)|sgn(s(k))]sgn(s(k))。

数学归纳法 ，若s(k)，s(k-1)对到达条件成立，即

(5)

那么，现假设：

sgn(s(k))>0，sgn(s(k-1))<0，

可得：

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=

α(k)|s(k-1)|r-|s(k)|-β(k)|s(k)|ψ

β(k)<

{[1+α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

满足二阶趋近律方法中的参数条件。并且此时

若sgn(s(k))<0，sgn(s(k-1))>0，同样可得

另一方面，在(5)式成立的前提下[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=[-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·

sgn(s(k))+s(k)]sgn(s(k))=α(k)|s(k-1)|r-β(k)|s(k)|ψ+|s(k)|。

β(k)<

{[1+α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

满足二阶趋近律方法的条件。并且此时

[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=(|s(k-1)|-β(k))|s(k)|ψ+|s(k)|>0。

所以利用本文中二阶趋近律设计的控制系统能够满足离散变结构控制系统的准滑动模态的到达条件。

2.2 趋近过程分析

定理6 如果离散变结构控制系统的二阶趋近律方法(4)中适当的选取参数α(k)、β(k)，那么二阶递推趋近律(4)在原点是渐近稳定的。

证明 令

S(k)=[s(k-1)s(k)]T

G(k)=

(6)

则趋近律(4)可以写成形式为

S(k+1)=G(k)S(k)。

(7)

考虑Lyapunov函数

V[S(k)]=S(k)TP(k)S(k)，

(8)

△V[S(k)]=S(k+1)TP(k+1)S(k+1)-

S(k)TP(k)S(k)。

(9)

若使系统(7)在原点渐近稳定,应给定一个埃尔米特矩阵Q,存在一个正定埃尔米特矩阵P，使得

△V[S(k)]=-S(k)TQS(k)
G(k)P(k+1)G(k)-
P(k)≤-Q。

(10)

由于α(k)和β(k)的取值可使矩阵P是正定埃尔米特矩阵，因此，对于一个渐近稳定的系统，当有限时间kf→，矩阵P(k)可以稳定于即，系统是在原点渐近稳定的。

[-1-α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|]÷[-1-

α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+α(k)3·|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|2ζ2]，

(11)

[-1α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|2ζ2]，

(12)

[-1-α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|]，

(13)

其中，ζ1=r-1,ζ2=ψ-1，如果α(k)和β(k)取合适的值，并且

(14)

-1-α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|2ζ2<0。

可得

β(k)2|s(k)|2ζ2[1-α(k)|s(k-1)|ζ1]<[1+α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1]。

从而

β(k)2<

[1+α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1]÷

[|s(k)|2ζ2[1-α(k)|s(k-1)|ζ1]]。

根据β(k)的取值范围我们只需有下列不等式成立即可：

[1+α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1]÷[|s(k)|2ζ2[1-

[1+2α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

[1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1]|s(k)|2ζ2。

化简上述不等式可得：

α(k)2|s(k-1)|2ζ1-[s(k-1)+1]α(k)+1<0。

把上述不等式左边看成是关于α(k)的一元二次方程，那么必须满足解的判别定理即可。则必有：

[s(k-1)+1]2-4|s(k-1)|2ζ1>0。

即-3|s(k-1)|2ζ1+2|s(k-1)|+1>0。

由于当k→+时，|s(k)|→0，所以上述不等式必然成立。

因此,当适当的选择α(k)和β(k)的值时,系统(6)在原点是Lyapunov渐近稳定的。证毕。

定理7 二阶递推趋近律(4)在原点邻域渐近稳定并且在一定邻域内最终一致有界。

证明

将S(k+1)=G(k)S(k),代入

△V[S(k)]=S(k+1)TP(k+1)S(k+1)-

S(k)TP(k)S(k)

有

△V[S(k)]=[G(k)S(k)]TP(k+1)[G(k)S(k)]-

S(k)TP(k)S(k)=

S(k)T[G(k)TP(k+1)G(k)-P(k)]S(k)。

由于(9)式成立,那么在稳定状态

(15)

定理6已经证明了二阶趋近律(4)在原点是渐近稳定的,通过上述推导过程易得知二阶趋近律(4)不仅能够渐近的到达原点附近邻域,而且还能保证在原点的某个邻域内最终一致有界的绕原点运动。

通过定理6和定理7的分析可得，对于满足条件要求的二阶趋近律式(4)设计的变结构控制系统，当满足条件|s(0)|>△的任意初始值s(0)，系统状态不仅可以渐近的趋向切换面，而且可以在有限步内到达切换带{x∈Rn|s(k)|<△}。系统状态进入切换带后，将步步穿越切换面形成准滑动模态。当k→+时，|s(k)|→0。

2.3 不确定离散系统准滑动模态区到达条件分析

为了研究趋近律式(4)在不确定离散系统变结构控制设计中的应用，以下部分讨论不确定离散系统准滑动模态区的到达条件。

现就如下受参数摄动及干扰影响的单输入不确定的离散时间系统加以考虑：

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+bu(k)+Df(k)，

(16)

s(k)=cx(k)。

(17)

其中，

(B1)x(k)∈Rn，u(k)∈R，A∈Rn×n，b∈Rn×1，ΔA∈Rn×n，D∈Rn×1；

(B2)△A表示系统参数的摄动；

(B3)f(k)表示系统所受的干扰；

(B5)c的选取可以保证系统的准滑动模态稳定，且cb≠0成立；

(B6)(A,b)完全可控；

由上述条件可得：

x(k+1)=Ax(k)+bu(k)+bd(k)。

定理8 对于式(16)所示不确定离散时间系统，若采用式(4)求出的离散变结构控制

u(k)=-(cb)-1[cAx(k)+
α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))+
β(k)|s(k)|ψsgn(s(k))]，

(18)

则当

|α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ|+

cbmax|d(k)|<△时，满足准滑动模态区的到达条件。

证明

由式(16)～(18)可得

s(k+1)=x(k+1)=

cAx(k)+cbu(k)+cbd(k)=

-α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))-

β(k)|s(k)|ψsgn(s(k))+cbd(k)。

那么：

[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=

[-α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·sgn(s(k))+cbd(k)+s(k)]sgn(s(k))=α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ+|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))；

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=[-α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·sgn(s(k))+cbd(k)-s(k)]sgn(s(k))=α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ-|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))。

由[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))>0可得：

α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ+|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))>0。

为保证此条件成立，可取：

|s(k)|>

|α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ|+

cbmax|d(k)|由[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))<0。

可得：

α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ-|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))<0。

为保证此条件成立，可取

|s(k)|>

|α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ|+cbmax|d(k)|。

由上述对系统趋近过程和稳定性的分析可知，通过取适当的参数α(k)和β(k)，当

3 结语

本文利用离散变结构控制系统中提出的新的二阶趋近律方法求变结构控制器，得到了一个和当前时刻相关的前两个样本点的递推二阶控制器。控制输入有较好的(p,q)-连续性，较好的(p,q)-连续性能更好的体现出滑模函数的光滑性，说明该趋近律方法能使离散时间系统状态运动最后渐近稳定于原点，能来回穿越切换面，且很迅速趋近于原点，很快消除抖振。本文对此二阶趋近律方法进行了进一步的理论分析，特别是对于二阶趋近律中具体参数的取法进行了具体说明，且证明了此方法在不确定离散变结构控制系统的稳定性是可行的。