5～7岁儿童数学过程性能力的发展水平与年龄特点

周晶 赵振国 郭力平

[摘 要] 数学过程性能力强调儿童获得和运用数学知识的方法，对儿童的数学学习、创造力和自我效能感、批判性思维、学习动机、自尊和自信等都具有积极的影响。本研究对200名5～7岁儿童在数学运算、统计两个学习活动任务中的表现进行编码，以考察该年龄段儿童数学过程性能力的发展水平和年龄特点。结果表明5～7岁儿童的数学过程性能力存在显著的年龄与性别差异，幼儿园大班儿童在各项数学过程性能力上的得分均高于小学一年级儿童，男生的各项数学过程性能力得分显著高于女生。此外，数学活动内容上也有显著差异，儿童在统计活动中的得分显著高于运算活动。我国数学教育长期存在“重知识、轻能力”的问题，这是我国儿童数学过程性能力表现不佳的重要原因。为此，有必要提高教师对儿童学习与发展的认识，转变教师数学教学与评价的思路，多方协作促进数学教育改革，如在政策上要明确提出重视数学过程性能力的发展与监测，在教师培养培训课程中加入与数学过程性能力相关的内容;小学低年级应向幼儿园教育靠拢，改变以教师传授为主的传统教育模式，鼓励学生通过操作实物、讨论等途径探求解题策略和答案，以改变小学儿童的数学过程性能力反不如学前儿童的现状。

[关键词] 5～7岁儿童;数学过程性能力;数学能力;数学教育

一、问题提出

2000年，全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics， NCTM）颁布了《学校数学教育的原则和标准》，将幼儿园到12年级的数学教育标准分为数学内容标准和数学过程标准两部分，并相应地将数学能力分为内容性能力和过程性能力。其中，内容性能力描述的是儿童在学习应该知道的数学内容时表现出的能力，包括数与运算、代数、几何、测量、数据分析与概率等五项能力;过程性能力是指儿童获得和运用数学知识、技能所需要的能力，[1]是儿童获得数学学习内容的有力支撑，它强调了获得和运用知识的方法，[2]包括问题解决、推理与验证、交流、联系、表征等五项内容。

我国古语有云：授人以鱼不如授人以渔，学习方法的获得远比知识内容本身的获得重要。从这个角度出发，数学过程性能力由于强调了知识获得和运用的方法，其重要性不言而喻。从数学学习的过程来看，年幼儿童获得和应用数学概念的过程，是幼儿从不同情境和多种具体事物中逐步排除其他特征的干扰，发现其共同的数学特征的过程。这一过程，也正是幼儿思维的抽象概括能力逐步发展、逻辑推理能力开始萌芽的过程，也是幼儿运用数学语言符号交流、表达和记录表征的过程，更是发现数学与生活的联系、尝试运用数学解决实际问题的过程。而幼儿能够学习的数学知识范围是有限的，理解程度也是初步的、启蒙性质的。因此，从未来的数学学习着眼，幼儿数学教育应十分重视通过数学知识的学习过程，发展幼儿的数学思维能力，即过程性能力。[3]尽管NCTM的数学教育标准将数学过程与数学内容分开论述，但是二者必须是紧密联系的，[4]过程性能力是幼儿掌握数学知识不可缺少的保证和支持，同时又在掌握数学知识的过程中得到不断发展。[5]大量实证研究也指出，良好的数学过程性能力对儿童的数学学习、[6][7][8][9]创造力和自我效能感、[10]批判性思维、学习动机、自尊和自信[11]有正向的影响。过程性能力水平高的儿童在焦虑、压力、缺勤、拖拉等方面的水平较低。[12]由于过程性能力对儿童数学学习以及其他领域发展的具有重要性，美国国家研究理事会幼儿数学委员会（Committee on Early Childhood Mathematics/National Research Council）在2009年出版的《早期幼儿数学学习：通向卓越与公平》（Mathematics Learning in Early Childhood： Paths toward Excellence and Equity）一書中明确指出，在幼儿数学教育中应培养幼儿的数学过程性能力。[13]各国在儿童早期发展的质量监测评估体系中，一个趋势也是将数学思维、数学推理和问题解决等过程性能力作为重要的评价指标。[14]

有研究指出，在法国、德国等国家的数学教育大纲中，数学目标也是一种指向发展方向的过程性目标，强调数学素养由解决问题、逻辑推理和信息交流等要素构成。[15]但是，世界各国及地区提出的过程性能力的构成要素在数量和成分上不尽相同。如德国于2003年提出的针对小学四年级至初中九年级毕业生的数学教育标准指出，学校数学教育要能够培养学生数学论证、解决数学问题、数学建模、数学表征、数学符号公式以及技巧的熟练掌握、数学交流等6大宏观的数学能力。[16]日本文部科学省颁布的《新学习指导要领》则提出了数学教育要能够使日本的中小学生具备数学应用能力、思考力、判断力和表达能力。[17]英国威尔士政府在2003年颁布的《学习型社会：基础阶段——3～7岁》中指出，要帮助3～7岁儿童在利用和运用数学的过程中，使隐含于数字、尺度、形状和空间中的数学概念变得有意义。利用和运用数学的教学内容应包括解决问题、交流和数学推理。[18]作为加拿大人口最多，幼儿教育最发达的省份，安大略省在2010年颁布的《全日制幼儿园大纲（草案）》中指出，为了使幼儿有效地学习数学，应关注问题解决、推理证明、反思、选择工具和策略、联系、呈现、交流等7个重要的学习过程。[19]从过程性能力的提出过程来看，各国的过程性能力及其要素均是在长期的数学教育实践与理论研究基础上形成的，从方法上讲，是基于理论和经验上的建构。[20]这种建构的方法有时会因为地区、文化的差异而存在合理性和适宜性的问题。

我国研究者首次通过因素分析法，对5～7岁儿童在数学活动中表现出的过程性能力要素进行了因素分析，提出数学过程性能力由数学表征、数学交流、推理与验证、关联四项要素构成，而且数学过程性能力的构成要素并不存在活动和年龄的差异。[21]然而尚未有实证研究对如下问题进行考察：数学过程性能力发展的影响要素有哪些？数学过程性能力及其构成要素是否会因为儿童的年龄以及儿童参与的数学活动内容不同而存在发展水平的差异？本研究对5～7岁儿童数学过程性能力及各项要素的发展水平及年龄特点进行研究，以描述不同年龄段的儿童在不同数学活动中的过程性能力及各要素的发展水平。本研究拟解决如下研究问题：5～7岁儿童的数学过程性能力及其构成要素的发展水平如何？5～7岁儿童的数学过程性能力及其构成要素的发展水平是否存在年龄差异？5～7岁儿童数学过程性能力及其构成要素是否存在性别差异？数学过程性能力的发展是否会因为活动内容的不同而存在差异？

为了考察活动内容与年龄的交互效应情况，研究进一步进行了简单效应检验，检验结果见表5和表6。由表可知，大班和一年级儿童两种数学内容上的过程性能力间的差异均显著，均是统计活动中的过程性能力要好于运算活动中的过程性能力，但大班儿童两个内容之间的差异（MD=4.790）要大于一年级儿童两个内容上的差异（MD=2.900）。而两种内容上的年龄差异也均显著，均表现为大班显著好于一年级，但统计活动中两个年龄间的差异（MD=3.689）要大于运算活动中两个年龄间的差异（MD=1.799）。

四、讨论

（一）5～7岁儿童数学过程性能力的发展特点

本研究考察了5～7岁儿童数学过程性能力的发展状况。从总体上看，大班儿童的过程性能力得分显著高于一年级儿童。我们可以从两方面原因理解这一研究结果。

第一，这一结果反映了我国数学教育存在的“重内容，轻能力”“重结果、轻过程”的倾向和问题。一直以来，在我国早期教育中，对数学教育的含义的理解有一定的偏差，常常把数学教育理解为算术教育或计算教育，[24]教师在数学教学和评价过程中对知识内容给予了过多的关注，忽视了儿童的学习过程以及思维能力的培养。[25][26]也有研究者对幼儿园大班和学前班幼儿数学知识和能力水平进行研究，发现虽然学前期末的儿童已经较好地具备了小学初期的数学知识，但学前儿童数学思维能力的发展明显不足。[27]这种现象在基础教育阶段更为明显，有研究者指出，在很长的一段时间以来，我国数学教育的“双基”教学实际上是流于形式的演算和推理，特别是在升学形势严峻，高考、中考竞争激烈的背景下，更进一步演变成题型的演练。这种训练可以提高学生解决已知题型的速度以及准确度，但却不能加深对数学的真正理解，这是造成我国学生“高分低能”的一个非常重要的原因。[28]

第二，幼儿园和小学的学习方式可能是导致这一结果的一个原因。在早期数学教育中，无论是正式的或是非正式的数学教育活动，让儿童在与材料的互动操作中获得数学知识已经毋庸置疑，然而教师会要求幼儿自己操作，不要和其他同伴交流，甚至在空间安排上有意制造一些隔断，以避免幼儿之间的交流和相互影响。[29]在小学阶段，数学学习是以教师讲授为主的，以小组合作解决问题的方式进行数学学习并不是儿童习惯的学习方式。有趣的是，在研究过程中，当研究者要求一年级儿童合作想出尽可能多的问题答案时，有相当多的学生将记录纸压在胳膊下，并明確告诉小组其他成员：这是我的答案，你不许看。之所以出现这种现象，可能是由于我们在数学教育过程中，并没有采取小组学习的方式或鼓励儿童合作寻找解题策略和问题答案。根据维果斯基的社会建构理论，在合作学习过程中，小组成员可以为他人提供认知冲突和挑战，在解决认知冲突的过程中儿童获得了更多解题的策略和问题的答案。这一理论也得到了实证研究的证实，斯基罗和劳伦（Schiro & Lawron）的研究指出，合作情境更有利于儿童的问题解决。[30]

本研究还发现，数学表征能力随着年龄的增长而提高，这可能与儿童逻辑思维能力的发展相关。根据皮亚杰的认知发展阶段理论，大班儿童正处于前运算阶段，此时儿童逻辑思维能力的发展主要依赖于头脑中形成的表象。因此在本研究中，大班儿童主要采用画图（画出糖果和蛋糕、春游地点）的方式表征问题解决的过程和结果。随着年龄的增长，儿童逐渐摆脱具体实物的限制，能够把抽象的符号从具体事物中抽离出来并与数量建立联系，开始运用图形符号（比如一个圆圈表示一块糖果）、数字、数学符号等表征方式。另外，经验的累积作用也可能是导致这一结果的原因。在尊重儿童权利，提倡儿童主体性这一教育理念的指导下，现今的早期教育特别鼓励儿童通过动作、绘画、建构、拼贴、表演等“一百种语言”来表达观点。早期数学教育领域也是如此，在儿童学会写数字和列算式之前，我们鼓励孩子用自己的方式去多元表征。从学前阶段的多元表征，到正式数学学习中的数字与数学符号表征，儿童积累了大量表征数学问题的经验。因此在问题解决过程中，一年级儿童可以调动更多的表征经验、运用更多种表征方式去解决问题，并能够顺利在多种问题表征方式之间灵活地转换。

（二）数学过程性能力发展的性别差异

本研究发现，从两个年龄段来看，在两个数学任务中，男生的过程性能力得分要高于女生，且男生的标准差也更大。这一结果验证了前人的研究结果，即在数学学习过程中，男女生存在显著差异，[31]男性的内部差异比女性的内部差异大，即得分特高和得分特低的男性人数多于女性。[32][33][34]从本研究的结果看，这一规律在数学过程性能力方面也是适用的。

我们可以从以下几个方面理解男生和女生在数学能力发展方面的差异。首先，这种差异可能存在生理基础。研究指出，人类的左右半脑承担的职责不同，左半脑主要负责言语思维，右半脑则主要负责人的空间感知等方面。[35]脑科学研究表明，左右半脑的成熟也存在性别差异，男生的大脑右半球在6岁左右趋向专业化，而女生则要到青春期才会达到与男生相同的发展水平。[36]发展更成熟、更专业化的大脑右半球为男生抽象概括能力的发展提供了生理基础。

其次，这种差异还可能存在着文化因素。传统上我们把数学看成是男性的领域，这种思维定式和性别刻板印象来自社会和家庭，具体表现在社会、家庭对男女儿童的教养方式以及期望的差异。[37]比如，在家庭中我们会为男孩儿提供积木并较多鼓励男童参与搭建一类的活动，而女生则更多是操作娃娃等社会装扮类的材料。两种不同的材料和游戏可能导致儿童从学前期开始就对不同领域的学习产生了偏好并进而导致了学习能力上的差异。另外，研究表明，对男生和女生的期待不同，还会导致教师在对待男生和女生时存在差异。一般来说，男生受到教师的关注要比女生多，[38]从学前到大学，男生受到的注意的时间要比女生多1800小时。这种现象在数学学科中更为突出。[39]而且，男生在数学学科中也有更多的机会与教师互动，得到教师更多的反馈、表扬、指导以及倾听等。[40]由性别刻板印象所带来的期望差异以及教养差异，可能是导致男女在数学能力上存在发展差异的社会学因素。

然而，两个年龄段的女生表征能力都要比男生得分高，这可能与女生的注意力、记忆力有更高的成熟水平相关。研究表明，在注意力方面，女生比男生的得分高。[41]另外，男生和女生的记忆力类型和水平也存在差异，女生一般偏重于机械记忆，记忆面较广，量较大。[42]在数学表征过程中，儿童要运用多种表征方式并在各种表征方式之间进行转换，这就要求儿童首先要记住更多类型的表征方式，女生较广的记忆面和记忆量，为其表征过程中运用多种表征方式提供了前提条件。表征方式在转换过程中，要求儿童付出更多的意志努力，女生较高水平的注意力发展水平，为表征方式的顺利转换提供了条件。

（三）数学活动内容对过程性能力的影响

本研究发现，与性别和年龄相比，数学活动内容对过程性能力的影响解释力度更大。这一结果说明，在不同的数学活动中，由于儿童要学习理解、运用的数学知识不同，其所需要的过程性能力支撑是不同的。这一结果与前人的研究结果是一致的，[43][44]该研究指出，不是所有的数学过程性能力要素都会在同一个活动中出现，不同的活动对能力的需求是不一样的。另外，儿童的学习与生活经验可能也会对儿童问题解决造成影响。在我国传统的数学教育中，运算经常是以唯一的固定答案的形式存在，不管是幼儿园大班最常见的口算应用题，还是一年级常见的数学算式，儿童要解决的运算问题的答案都是唯一的、固定的。但是，本研究要求儿童解决的问题答案是不唯一的，是有着多种可能性的。在研究过程中，经常有儿童找到了一种答案后就认为自己完成了任务并结束了解题过程。另外，在数学教育过程中，由于过分强调符号运算，可能导致儿童机械地记住了运算结果而并不理解实际意义。比如，有的儿童认为4+6=10和6+4=10表示的是相同的意思。此外，在幼儿园的日常生活中，很多幼儿都有种植和养殖并统计动植物生长变化的经历，这种运用数关系表示量关系和空间关系的表征技能的练习过程，为儿童解决有关统计任务提供了经验储备。

（四）数学活动内容与年龄对过程性能力的交互效应

本研究发现，数学内容与年龄在过程性能力上存在显著的交互效应。大班儿童两个内容之间的差异大于一年级儿童两个内容上的差异。这可能一方面进一步反映了两种数学内容在过程性能力上的差异性，统计内容相比运算内容更有利于儿童过程性能力的体现，且更多追求过程性技能的评价，而运算内容相比较更多会追求结果性问题而忽视过程性能力的评价。另一方面这也进一步反映了过程性能力的年龄差异问题，这种年龄差异与活动内容有很大的关系。统计活动中两个年龄间的差异大于运算活动中两个年龄间的差异。说明从幼儿园大班到一年级，学习方式的改变可能造成了儿童过程性能力表现的暂时性的、表面性的下降。之所以说是暂时性的下降，因为我们仅仅考察了幼儿园大班和一年级儿童的差异情况，从发展的角度，儿童的过程性能力随着认知水平的提高和学习经验的增长会出现持续的发展。但这种发展特点需要后续的研究进一步展开探索。之所以说是表面性的下降，是因为这种过程性能力本质上是发展提升的，但所表现出来的过程性能力的水平与我们的测查方式有很大的关系。由于一年级儿童的学习过程和学习目标可能相比于幼儿园儿童更追求结果的准确性和获得结果的效率，所以导致他们在测查中表现出过程性能力的下降。当然，该交互效应还需要在更大的年龄范围进一步加以验证。

五、教育建议

（一）提高教师对儿童学习与发展的认识，转变教师数学教学与评价的思路

随着儿童观及学习观的不断更新，社会对人才素养的期待不断变化，世界各国对儿童学习与发展的目标界定也发生了转变。从发展的角度讲，儿童的学习和发展是对越来越复杂的社会活动的参与，也就应该以一种综合的应对和解决问题的能力表现出来，而不是某一方面的知识或技能。[45]因此学习内容不仅仅是以知识技能的形式存在，而且蕴含在与他人的关系之中，学习应该是丰富的知识和丰富的意向以复杂的方式融为一体的过程。[46]因此，数学教育不仅要帮助儿童“获取何种数学知识以及为什么获取知识，还要考虑在何时、何地、如何使用这些知识，这是个人成长和社会发展的基本问题”。[47]因此，数学教育所追求的培养的数学能力，应该表述为“在涉及数量、空间、概率或其他数学概念的多种情境中，在提出、解决和解释数学问题时具有的分析、推理和有效交流的能力”。[48]

从这个角度出发，数学教育不仅应该把内容性知识作为重要的教育内容，还应同时对过程性能力要素进行思考与设计，这样才能培养未来公民所需要的数学素养。教师是教育教学与评价的执行者，教师对儿童学习与发展的认识直接影响到教育教学的目标制定、内容以及评价指标的选择，因此，完善教师的儿童发展观与学习观，从强调儿童是否“做对”，转向儿童“如何做对”以及“为何做对”是至关重要的。这一点对于小学教师尤其重要。从本研究的研究结果看，大班儿童的过程性能力的得分要好于一年级儿童，这从一个侧面反映了小学数学教学更加关注数学知识内容本身，而忽略了从学前阶段就已经发展起来的过程性能力。而从先前研究看，过程性能力是儿童获得数学学习内容的有力支撑。在教學和评价过程中过分关注知识内容的获得，而忽视过程性能力，不仅不利于数学过程性能力的发展，也不利于儿童去理解和运用数学知识，从而导致数学学习在整体上质量不高。

（二）多方协作促进数学教育改革，为过程性能力在实践中的落地提供抓手

倡导的理论转化为教师实践中所采用的理论，并对教育教学产生实际的影响并非易事，这需要多方做出努力。首先，我国的《3～6岁儿童学习与发展指南》以及适用于中小学生的数学教育标准，明确地阐明了每个年龄段儿童应该获得哪些数学知识内容，但没有明确地指出儿童应该具备哪些过程性能力。这向教师传递的信念是：数学知识的学习比能力的获得更重要。因此，在政策上明确提出过程性能力及培养方法，是改变教师观念的必要一步。正如研究者指出，要改变“重结果、轻过程”的教学和评价实践，最好是国家从上往下推政策，用政策告诉大家什么东西是最重要的，这样才能改变整个教育环境。[49]其次，有必要改革幼儿园教师以及小学数学教师的培养模式，改变其学科至上的价值取向，使教师培养理念与关注幼儿未来长远发展的价值取向一致。另外，师资培养单位的课程改革也要发挥适当的作用，[50]在数学教育课程中，加入与学习过程和过程性能力的相关内容，以保证教师获得与教育实践相适应的知识与能力，以提高教师对过程性能力的教学和评价能力。第三，小学低年级段可以相应地向幼儿园教育靠拢，改变传统的以教师传授为主的学习模式，采用小组合作式的形式，鼓励学生通过操作实物、讨论等途径探求解题策略和答案，这有利于培养儿童的过程性能力，并最终促进儿童的数学学习。

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The Development of Mathematical Process Abilities on Children Aged 5～7

Jing Zhou，1 Zhenguo Zhao，2 Liping Guo3

（1School of Teacher Education， Ningbo University， Ningbo 315211 China; 2School of Educational Science， Henan University， Kaifeng 475004 China; 3Faculty of Education， East China Normal University， Shanghai 200062 China）

Abstract： Through the methods of quantitative research， this paper evaluated the development of mathematical process abilities on 200 5～7-year-old children in two mathematical activities named operation and statistics. The results showed that there were age and gender differences in childrens process abilities. 5～6-year-old children scored higher than 6～7-year-old children on mathematical process abilities and boys performed better than girls. There was content difference in childrens process abilities， for children scored higher in statistical activity than in arithmetic activity. These findings suggested that we focused too much on childrens learning results other than learning process and ignored the abilities needed during mathematic learning. Efforts should be made to improve teachers pedagogies of knowledge and ability to understand and implement process abilities in mathematical teaching and assessment.

Key words： 5～7-year-old children， mathematical process ability， mathematical ability， mathematical education