“手拉手”模型的结论及应用

沈占立

“我们手拉手，友谊传四方.”这是1988

年汉城奥运会主题曲《手拉手》里的歌词.在八年级几何里也有“手拉手”模型，与它相关的问题很多.构造此模型解决一些问题非常方便.现将其基本图形和结论归纳如下，

一 两个共直角顶点的等腰直角三角形]

“手拉手”基本图形如下：

已知：△ABC，△DBE均是等腰直角三角形，BA =BC，BD=BE.∠ABC=∠DBE=90°.

结论：△ABD≌△CBE（边角边）.

例，如图4所示，在△ABD和△AEC中.∠BAD=∠CAE =90°.AB=AD，AC=AE.DC，BE交千点M.

（1）求证：BE=DC;

（2）求证：DC⊥BE;

（3）求∠AMD的度数，

解析：本题蕴涵两个共直角顶点的等腰直角三角形.图中△ADC可以看成是△ABE绕着点A（旋转中心）顺时针旋转90°而得的.

（l）易证△ABE≌△ADC（边角边），故BE=DC.

（2）由（1）知△ABE≌△ADC，故∠AEB=∠ACD.在由A，M，C，E组成的“8字形”图中，∠CME=∠ CAE=90°，故DC⊥BE.

（3）如图5，过A点作AG⊥BE于G，AH⊥DC于H.由“手拉手”基本图形易得△EAG≌△CAH（角角边），故AG=AH，MA平分∠DME，所以∠AMD= ∠AME=45°.

例2（2015年·黄石）如图6，已知直线AB交x轴于点A（a，O），交），轴于点B（O，b），且a，b满足la+b l+（a+4）2=0.点c在第一象限，且BE⊥AC于点E.延长BE到D，使BD =AC连接OC，OD，CD.试判断△COD的形状，并说明理由.

解析：△COD為等腰直角三角形，理由如下：

由题意知a=-4，b=4，故A（-4，0），B（O，4），则OA =OB.又BE⊥AC.所以∠BEA= ∠BOA =90°.由A，O，E，B组成的“8字形”基本图形可知∠CAO= ∠DBO.又BD=AC.故△AOC≌△BOD，所以OC=OD.∠BOD=∠AOC.则∠COD= ∠AOB=90°，△COD为等腰直角三角形.

二 两个共顶点的等边三角形

已知：如图7、图8、图9，△ABC，△DBE均是等边三角形.

结论：△ABD≌△CBE（边角边）.

侧3 如图10所示，已知等边△ABC和等边△EAD，AC和AD在同一条直线上，BD与 CE交于点O.AB 与CE交于点M.AE与BD交于点N，连接MN.求证：（1）AN=AM; （2） MN//CD.

证明：（l）易证得△BAD≌△CAE.故∠ADN=∠AEM.又∠MA E=60°= ∠NAD ，AD=AE，所以△DAN≌△EAM.AN=AM.

（2）由（l）知AN=AM，而∠MAN=60°.则△AMN是等边三角形.故∠MNA =60°=∠NAD，MN//CD.

三 两个共顶点的正方形

已知：如图11，以△ABC中AB，AC边为边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，

结论：△ABG≌△AEC（边角边）.

例4 如图12，△ABC中.∠ACB=90°.设BC=a，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN.过点C作AB边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K.则四边形BDKH的面积为____（用含口的式子表示）.

分析：本题初看似乎无从下手.联想“手拉手”基本图形，连接AN.CD就不难解决.

解：连接AN，CD，如图13.由“手拉手”基本图形易证△ABN≌△DBC.