含欧拉函数方程φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]的正整数解

(宜春学院 数学与计算机科学学院，江西 宜春 336000)

设Z+为所有正整数构成的数集，φ(m)是Z+上的欧拉函数。关于欧拉函数φ(m)与含欧拉函数的方程，许多学者研究了他们的性质，如1935年ERDÖS[1]研究了欧拉函数的计算与若干性质，提出了含欧拉函数的方程，1981年GUY[2]证明了欧拉函数的加性，1960年 MAKOWSKI[3]讨论了含欧拉函数φ(mn)=φ(m)+φ(n)的正整数解，2010年SUN和CHENG[4]等研究了方程φ(mn)=k[φ(m)+φ(n)]在k为素数时的可解性，张明丽等[5]在2018年讨论了方程φ(mn)=12(φ(m)+φ(n))的正整数解，但漏了许多正整数解，而文献[6-7]也分别研究了一类含欧拉函数的方程的正整数解，得到了较好结果。本文主要研究方程。

φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]

正整数解的存在性等问题，并设计一种有效的初等方法求出了方程在m≤n时的全部119组正整数解，并用此方法可以求出文献[5]中漏了的正整数解。

1 引理

引理1[1]设m=p1α1p2α2…prαr∈Z+，其中pi为互不相同的素数，则

φ(m)=p1α1-1p2α2-1…prαr-1(p1-1)(p2-1)…(pr-1)。

引理2[8]设m∈Z+，若m<3，则φ(m)=1，若m≥3，则φ(m)为偶数。

引理3[9]设m,n∈Z+，且m|n，则φ(m)|φ(n)。

引理5[7]设m∈Z+，则φ(m)=14无正整数解。

2 主要结论

定理含欧拉函数方程φ(mn)=20(φ(m)+φ(n))，当m≤n时共有119组正整数解。

φ(mn)=20(φ(m)+φ(n))=20(k1+k2)φ(d)

(1)当d=21时，φ(21)=12，k1=1,k2=20，因而φ(m)=12,φ(n)=240，所以方程有正整数解(m,n)=(21,525,)(21,924),(42,525)。

(2)当d=22时，φ(22)=10，k1=1,k2=10，因而φ(m)=10,φ(n)=100，方程无正整数解。

(3)当d=24时，φ(24)=8，k1=1,k2=5，因而φ(m)=8,φ(n)=48，此时方程无正整数解。

(4)当d=25时，φ(25)=20，k1=1,k2=4，因而φ(m)=20,φ(n)=80，此时方程有正整数解(m，n)=(25,200),(25,300)。

(5)当d=30时，φ(30)=8，k1=1,k2=2，因而φ(m)=8,φ(n)=16，此时方程有正整数解(m,n)=(30,60)。

(6)当d=40时，φ(40)=16，k1=1,k2=1，因而φ(m)=16,φ(n)=16，此时方程有正整数解(m,n)=(40,40)。

综上所述，得到了方程φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]在m≤n时的全部119组正整数解。