同构法在数学解题中的应用

湖北省大冶市第一中学 (邮编：435100)

在求解一些数学问题中,往往会出现一些除变量外完全相同的结构,解题时若能利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,继而利用同构后的模型性质进行解题,是一种非常重要的方法.本文谈谈同构法在数学中的应用.

1 妙用同构求解方程

例1 解方程log5(3x+4x)=log5(5x-3x).

评注本题利用同构思想,转化为零点问题来求解.如果f(a)=0和f(b)=0呈现同构特点,则a、b可视为方程f(x)=0的两根.

2 妙用同构求解方程组

例2 设x、y∈R,满足

求x+y.

解析原方程组变形为

构造函数f(x)=x5+2x+sinx,易知函数f(x)为奇函数,且在R上单调递增,而f(x-1)=f(1-y),故有x-1=1-y,则x+y=2.

评注本题研究对象并非x、y,而是(x-1)、(y-1),进而变形为

观察上下式子结构相同,可构造函数解决.

3 妙用同构求值

4 妙用同构找等量关系

例4(2009年高考辽宁理科12题)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,x1+x2=( )

评注一般对于互为反函数的两个函数的图象与直线的交点问题可用同构获得零点间的关系.

5 妙用同构求解不等式

例5(2007年高考天津文科10题)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2,若对任意的x∈[t，t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是( )

评注本题通过恰当变形,利用同构思想,借助函数的单调性去掉“f”,从而解抽象函数不等式问题.

6 妙用同构证明不等式

例6(2001年高考全国卷理20题)已知i、m、n是正整数，且1(1+n)m.

评注本题通过将式子同构化,化为具有统一函数模型的两个式子,从而利用单调性证明.

7 妙用同构求解超越方程

(1)求证：函数f(x)有唯一零点；

(2)若对任意x∈(0，+∞)，xex-lnx≥1+kx恒成立，求实数k的取值范围.

证明(1)略；

8 妙用同构求参数范围

例8 (2010年高考辽宁文科21题)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的范围.

解析(Ⅰ)略；

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2,而a<-1，由(Ⅰ)知在(0，+∞)单调减少，从而∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,等价于∀x1、x2∈(0,+∞),

f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1

①

评注本题中观察到待证的不等式f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1两边有相似的结构，不妨构造函数g(x)=f(x)+4x,然后利用此函数的性质寻求突破口.

9 妙用同构求解解析几何

同构化解题意识与技巧是一种常见的解题思路，在解题过程中，如果能看清问题中式子结构的共性，并合理构造共性，则可大大简化问题，从而轻松解决问题.