基于空间约束的模糊C均值聚类肝脏CT图像分割

王荣淼 张峰峰 詹蔚 陈军 吴昊

摘 要：传统模糊C均值（FCM）聚类算法应用于肝脏CT图像分割时仅考虑像素本身特征，无法解决灰度不均匀造成的影响以及肝脏边界模糊造成的边界泄露的问题。为解决上述问题，提出一种结合空间约束的模糊C均值（SFCM）聚类分割算法。首先，使用二维高斯分布函数构建卷积核，利用该卷积核对源图像进行空间信息提取得到特征矩阵;然后，引入空间约束惩罚项，更新并优化目标函数得到新的迭代方程;最后，通过多次迭代，完成对肝脏CT图像的分割。实验结果表明，SFCM算法分割具有灰度不均匀和边界粘连的肝脏CT图像时得到的肝脏轮廓形状更加规则，准确率达到92.8%，比FCM和直觉模糊C均值（IFCM）算法的分割准确率分别提升了2.3和4.3个百分点，过分割率分别降低了4.9和5.3个百分点。

关键词：模糊C均值算法;空间约束;图像分割;肝脏CT;灰度不均匀;边界泄露

中图分类号：TP317.4

文献标志码：A

Liver CT images segmentation based on fuzzy Cmeans clustering with spatial constraints

WANG Rongmiao1， ZHANG Fengfeng1，2*， ZHAN Wei3， CHEN Jun1， WU Hao1

1. College of Mechanical and Electrical Engineering， Soochow University，Suzhou Jiangsu215131， China;

2. Collaborative Innovation Center of Suzhou Nano Science and Technology， Soochow University， Soochow Jiangsu 215123， China;

3.The First Affiliated Hospital of Soochow University， Suzhou Jiangsu215006， China

Abstract：

Traditional Fuzzy CMeans （FCM） clustering algorithm only considers the characteristics of a single pixel when applied to liver CT image segmentation， and it can not overcome the influence of uneven gray scale and the problem of boundary leakage caused by blurred liver boundary. In order to solve the problems， a Spatial Fuzzy CMeans （SFCM） clustering segmentation algorithm combined with spatial constraints was proposed. Firstly， the convolution kernel was constructed by using twodimensional Gauss distribution function， and the feature matrix could be obtained by using the convolution kernel to extract the spatial information of the source image. Then， the penalty term of spatial constraint was introduced to update and optimize the objective function to obtain a new iteration equation. Finally， the liver CT image was segmented by using the new algorithm. As shown in results， the shape of liver contour splited by SFCM is more regular when segmenting liver CT images with gray unevenness and boundary leakage. The accuracy of SFCM reaches 92.8%， which is 2.3 and 4.3 percentage points higher than that of FCM and Intuitionistic Fuzzy CMeans （IFCM）. Also， oversegmentation rate of SFCM is 4.9 and 5.3 percentage points lower than that of FCM and IFCM.

Key words：

Fuzzy Cmeans （FCM） algorithm; spatial constraint; image segmentation; liver CT; gray unevenness; boundary leakage

0 引言

医学图像分割一直以来都是一个具有挑战性的研究课题，在计算机辅助诊断和科学研究中占据着重要的地位。准确并且有效地从CT图像中分割出肝脏组织是肝脏三维可视化技术中的关键[1]。CT圖像不可避免地存在有噪声并且具有灰度不均匀等特点，使得CT图像分割本身具有难度[2]。此外肝脏具有复杂的解剖结构，与多个软组织器官相毗邻，轮廓大小随着切片变化，形状也各不相同，使得肝脏图像分割成为一项具有挑战性的任务[3-4]。

模糊C均值（Fuzzy CMeans， FCM）算法是一种基于灰度信息的无监督聚类算法，具有实现简单、运算速度快的优点，被广泛运用于医学图像分割领域[5-6]。传统的FCM算法在图像分割过程中很难滤除噪声的影响，导致分割结果不够理想。鉴于上述问题，研究者采取了两类方式来优化FCM算法。第一种是在模糊隶属度概念上进一步做扩展。Chaira 等[7]考虑到像素在分类时存在不确定性因素，使用单一的隶属度无法准确描述该不确定信息，因此引入直觉模糊集作为扩展得到直觉模糊C均值（Intuition Fuzzy Cmeans， IFCM）算法，利用犹豫度来描述该不确定信息，结果表明单个像素被更准确地划分，图像细节也被完整地保留。另一种优化是在FCM算法的基础上结合邻域空间信息以增强对图像中噪声以及灰度不均匀的鲁棒性： Mohamed等[8]使用模糊逻辑估计强度不均匀性，利用邻域信息作为正则化项来优化FCM算法中的目标函数从而补偿图像强度不均匀性，该方法很好地克服了椒盐噪声的影响; Chen等[9]在Mohamed的基础上对算法作出计算优化并且提出了利用空间信息为约束、以内核诱导距离代替传统算法以欧氏距离为测度的FCM优化算法，从而达到抗噪声的效果; Zheng等[10]用自适应的局部窗口计算的邻域信息代替图像的全局信息优化了基于邻域信息的FCM算法，但是自适应窗口的实现复杂度较高; Li等[11]在FCM目标函数中增加了偏差场正则化项来解决图像灰度不均匀带来的影响，但是迭代过程中需要额外更新偏差场，增加了计算量。

上述算法在抗噪声方面有较为优秀的表现，在一定程度上保持图像细节信息并且具有抗灰度不均匀的效果，但是在分割具有大范围软组织粘连、边界轮廓模糊和灰度不均匀特点的肝脏CT图像时仍存在欠分割和过分割的缺陷。为解决这些问题并且降低算法計算的复杂度，提出一种融合了空间约束的模糊C均值聚类算法。该算法构造新的卷积核提取空间约束信息，为目标函数增添新的约束项，实现了对肝脏CT图像更精确的分割。

1 传统FCM算法原理

模糊C均值聚类算法是由Bezdek[12]于1973年首先提出，是硬C均值聚类（Hard CMeans， HCM）的一种增广，两种算法都属于无监督学习算法。假定存在数据集Nx={x1，x2，…，xn}代表图像的n个像素点，将这些数据归成c类则存在c（c≥2）个聚类中心，定义FCM的目标函数（1）以及约束方程（2）：

Jm（U，V）=∑ci=1∑nk=1umikd2（xk，vi）（1）

∑ci=1uij=1; j=1，2…，n （2）

式（1）中：U代表隶属度矩阵，uik代表样本xk对第i个聚类中心的隶属度，并且满足单个像素点对所有聚类中心的隶属度和为1; m代表聚类隶属度的权重因子，一般取值为2;d2（xk，vi）代表样本点和聚类中心的欧氏距离‖xk-vi‖2，图像处理中距离体现为像素差值的平方。利用拉格朗日乘数法导出迭代公式：

uik=1/∑cj=1dikdjk2m-1; k=1，2，…，n （3）

vi=∑nk=1（uik）mxk∑nk=1（uik）m; i=1，2，…，c（4）

FCM算法的迭代运算步骤和EM（Expectation Maximization）算法[13]类似，交叉运算依次更新uik和vi来降低目标函数J值，当迭代次数达到预设的循环次数或者满足预先设置的阈值条件‖vk+1-vk‖≤ε时则停止迭代。

2 基于空间约束的模糊C均值聚类算法

现有的FCM算法通过引入邻域信息，使得算法在具有抗噪声能力的同时仍能在一定程度上保持图像细节信息，但是在处理边缘模糊、灰度不均的图像时仍存在缺陷，而且每次迭代运算过程中重新计算邻域信息也增加了计算量。本文在已有算法的基础上，将空间约束信息融入到FCM算法中，定义新的模糊目标函数：

Jm（U，V）=∑ci=1∑Nk=1umik‖xk-vi‖2+α∑ci=1∑Nk=1umik∑r∈Nk‖βrxr-vi‖2（5）

m是模糊权重指数，NK是以xk为中心的邻域像素集合，xr是集合NK中的元素，βr是对应xr的权重值，α是空间信息惩罚项的影响系数，如果α=0那么该目标函数就退化成为FCM算法的目标函数。邻域像素权重值βr使用二维高斯分布函数确定，公式如下：

βr（x，y）=12πσ2exp（-x2+y22σ2）（6）

式中（x，y）是邻域像素相对于锚点的坐标。算法运行过程中，每次迭代都要计算目标像素以及其邻域像素到聚类中心的距离，加大了计算的复杂度。考虑到这一点，初始化过程中利用二维高斯分布函数构建卷积核β，并将权重值作归一化处理，然后利用该卷积核对源图像做卷积得到新的空间信息矩阵。由于二维高斯分布函数是旋转对称的，利用该卷积核作空间信息提取不仅可以达到平滑图像的效果，而且各个方向上的有相同的平滑程度，图像的边缘走向也不会被改变，卷积过程中锚点像素不会受到距离锚点较远的像素的影响，也保证了局部特征和边缘特性。根据得到的空间信息矩阵，将上述目标函数简化为：

Jm（U，V）=∑ci=1∑nk=1umik‖xk-vi‖2+α∑ci=1∑nk=1umik‖Xk-vi‖2（7）

利用卷积核对源图像进行滑动步长为1、边界补充模式为same的卷积处理后得到空间信息约束矩阵X，Xk是X中对应像素点xk位置的值。由于X已经预先计算所以无需在迭代过程中再计算，通过查询索引就能得到约束值Xk，从而大幅加快了运算速度。上述目标函数仍满足单个样本对所有聚类中心的隶属度和为1的条件，为最小化目标函数，利用拉格朗日乘数法构造关于uik和vi的方程：

F=∑ci=1∑nk=1umik‖xk-vi‖2+

α∑ci=1∑nk=1umik‖Xk-vi‖2+λ（∑ci=1uik-1）（8）

展开后分别对vi和uik求导得到以下两式：

Fvi=∑nk=1-2umik（（xk-vi）+（Xk-vi））（9）

Fuik=m（‖xk-vi‖2+α‖Xk-vi‖2）um-1ik+λk（10）

使两项偏导数为0，联立约束方程可以解得：

vi=∑nk=1umik（xk+αXk）（1+α）∑nk=1umik（11）

uik=（‖xk-vi‖2+α‖Xk-vi‖2）-1m-1∑cj=1（‖xk-vj‖2+α‖Xk-vj‖2）-1m-1（12）

式（11）、（12）分别为聚类中心和隶属度矩阵的迭代表达式。更新后的算法步骤如下：

步骤1 初始化权重矩阵U、聚类中心数c、迭代停止阈值ε、惩罚项影响系数α;

步骤2 对源图像进行步幅为1、边界补充模式为same的卷积得到新的空间约束信息矩阵X;

步骤3 利用式（11）更新聚类中心v;

步骤4 利用式（12）更新模糊隶属度矩阵u;

步骤5 如果‖vk+1-vk‖≤ε或者迭代次数达到设定次数则算法终止;否则重复步骤3和步骤4。

3 实验结果与分析

3.1 实验结果

实验以肝脏CT为研究对象，图像来源于苏州大学附属第一医院放射科，切片厚度为1mm，图像大小为512×512，处理之前先将调窗宽调整为200，窗位调整为45，然后将dicom格式的图像转换为数字图像矩阵。为验证有效性，将SFCM算法与传统FCM算法、直觉模糊C均值算法在不同切片下进行了性能比较，GT（Ground Truth）图像是由放射科医师手动分割得到的。实验中所有算法设置聚类中心数为c=4，停止阈值ε=0.001，最大迭代次数为100，模糊权重指数m=2，惩罚项影响系数α=0.7，空间信息卷积模板大小为3×3。

图1中图（a）肝脏和肾脏相毗邻，并且和脂肪组织有少量相连。从图（b）和（c）中可以看出，FCM和IFCM算法左侧边界存在错分割的现象，右下肝脏和肾脏相粘连的部分灰度值高度相似，两种算法均未能正确分割;从图（d）中可以看出SFCM算法能够有效地将肾脏和肝脏区分开来，并且和脂肪组织相毗邻的部位较为平滑，但是分割出的实质中仍存在少量空洞。

图2（a）中肝脏与脂肪组织大量粘连，灰度差较小，肝脏实质部分亮度较高而且灰度不均匀，右下角有亮度较低的肿瘤病变迹象。图2（b）是利用FCM原始算法进行分割得到的结果，可以看出FCM算法能够将大部分的肝脏实质分割出来。虽然肝脏实质部分灰度不均匀，但是由于聚类标准简单并且分类数较少，得到的实质部分较为平滑，从而有良好的抗噪声和抗灰度不均匀效果，但是左右两侧均有严重的边界泄露现象。图2（c）是利用直觉模糊C均值算法分割得到的结果，左右两侧边界泄露的情况明显减轻。由于没有利用图像的空间信息关系，算法未能克服灰度不均匀的问题，得到的肝脏实质掩膜中出现大量的空洞，为图像的二次处理带来了困难。图2（d）是利用本文算法分割图像得到的结果，轮廓边界较为平滑，边界泄露的情况基本消失，肝脏实质区域的空洞明显减少，但是相比较图2（a）而言，边缘部分仍存在欠分割的情况。

3.2 评价指标与误差分析

在掩膜图像的基础上，本文引入非欧氏距离度量Dice[13]、过分割率（Over segmentation Rate， OR）、欠分割率（Under segmentation Rate， UR）三个指标来定量计算并且评估分割效果，如式（13）、（14）、（15）所示，计算结果如表1所示。Dice是医学图像分割中常见的精度评价指标，式中A、B分别代表專家分割结果和实际算法分割结果。OR和UR是从侧面评估算法边界分割的准确程度; OR值大说明过分割，欠分割时UR值较大，式中Rs=A、Os=|B|-|A∩B|、Us=|A|-|A∩B|。

Dice=2|A∩B||A|+|B|（13）

OR=OsRs+Os（14）

UR=UsRs+Os（15）

对表1的数据进行分析可以得出： FCM算法有较高的分割精度，但是由于存在严重的边界泄露现象，有较大的过分割率，相反来说其欠分割率应该较小，表中UR值符合该规律;IFCM算法的分割精度较低，但是过分割率大幅度降低，基本与欠分割率达相持平;SFCM的分割精度相比FCM算法提高了2.3个百分点，相比IFCM算法提高了4.3个百分点，但是在小幅度提升欠分割率的条件下，过分割率相比FCM和IFCM算法分别降低了4.9和5.3个百分点，综上所述基于空间信息的SFCM算法分割性能最好。

虽然SFCM算法的过分割率和欠分割率已经降至较低水平，但是在精度上并没有大幅度提升，主要是由于肝脏组织较为复杂，病变和某些轮廓部位存在的灰度极不均匀的情况不能完全解决。GT图像与三种算法分割的边界轮廓比较如图3所示，可以清楚看出医师手动勾勒出灰度值较大部分，而三种算法在该部位均未能成功分割。相对于其他两种算法来说，本文算法将该灰度值较大的部分全部排除在外，所以该处的缺口较大，分割精度因此受到影响。

3.3 SFCM算法参数讨论

SFCM算法在FCM算法的基础上增添了空间约束项，在继承聚类中心数c和模糊权重指数m的基础上将空间约束项影响系数α作为新的超参数。实验中算法的模糊权重指数[14-16]根据经验设置为2，聚类中心数c设置为4，空间约束项影响系数α设置为0.7，分割图像得到的肝脏轮廓清晰且实质部分较为平滑，边界泄露的现象较少，分割效果最好。

圖4是在上述参数的条件下用SFCM算法对不同切片序列进行分割得到的结果，可以看出SFCM算法均能有效分割出肝脏实质部分，验证了算法参数的通用性。

4 结语

针对肝脏CT图像分割中算法对灰度不均匀敏感以及分割结果存在边界泄露的问题，在FCM算法的基础上提出具有空间约束的模糊C均值聚类算法。该算法在原有目标函数的基础上增添了空间约束项，使用二维高斯分布函数预先提取CT图像中的空间信息和边界轮廓特征来加速迭代运算过程。实验分析表明利用SFCM算法分割出的肝脏图像，在噪声干扰和灰度不均匀的条件下有足够的鲁棒性，过分割和欠分割程度有效降低，分割精度也有所提高，能够有效防止弱边缘泄露，分割结果有清晰的边界轮廓。

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This work is partially supported by the National High Technology Research and Development Program of China （2015AA043201）

WANG Rongmiao， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include medical image processing， three dimensional visualization.

ZHANG Fengfeng， born in 1979， Ph. D.， associate professor. His research interests include medical robot， virtual surgery simulation.

ZHAN Wei， born in 1981， M. S.， engineer. His research interests include radiotherapy of tumors.

CHEN Jun， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include virtual reality technology and simulation.

WU Hao， born in 1995， M. S. candidate. Her research interests include virtual surgery simulation.