基于稀疏分解和频域相关峭度的轴承微弱故障特征提取

赵 乐，杨绍普，刘永强，顾晓辉，王久健

(1. 石家庄铁道大学 交通运输学院，石家庄 050043；2. 石家庄铁道大学 省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043)

旋转机械在大型工程装备中发挥着举足轻重的作用，例如：盾构机、高铁、风机等。滚动轴承作为旋转机械的核心零部件，对于旋转机械的安全运行至关重要。但滚动轴承也是极易产生故障的零部件之一，因此开展滚动轴承的早期微弱故障诊断具有重大的工程意义。大型工程装备所处的工作环境比较恶劣，滚动轴承在复杂、恶劣、非平稳的工况中运行，内圈、外圈和滚动体往往容易产生故障，故障信号很容易被复杂工况下的背景噪声淹没，因此，研究如何从背景噪声中提取出故障信号，也是亟待解决的难题。

滚动轴承发生故障时，故障部位与其他部件之间会产生碰撞，从而引起周期性的振动冲击，机械振动信号是很多学者研究的主要方式。Mallat等[1]提出了信号在自适应过完备字典上分解的方法，使信号稀疏分解迈入了一个新的领域。王林等[2-4]应用Laplace小波基构造字典对振动信号进行稀疏表示，进行轴承故障的特征提取，在寻求最优小波基底上做了大量研究。针对滚动轴承故障产生周期脉冲的特点，He等[5]基于凸优化问题，提出一种估计噪声中周期群稀疏的方法，并给出一种快速迭代算法。Zhang等[6]为克服单纯基于峭度或小波模型的三个缺点，提出一种基于峭度的加权稀疏模型。郭俊锋等[7]针对巨量数据存储处理困难，提出基于K-SVD算法的压缩测量重构方法。由于经验小波变换中所需的傅里叶段依赖于傅里叶谱幅值的局部极大值，导致在强干扰下傅里叶段不总是可靠和有效的，Wang等[8]提出稀疏引导的经验小波变换，自动建立经验小波变换的傅里叶部分，成功应用于轴承故障诊断。Ding等[9]根据轴承故障的周期性特点，提出一种自适应的循环结构字典学习的稀疏表示方法。

峭度对单个瞬态冲击敏感，对多个循环瞬态冲击序列不敏感，Mcdonald等[10]提出的相关峭度(Correlated kurtosis，CK)解决了上述缺陷。为了寻找到一个指标既能够表征轴承故障的冲击特性又能够表征它的循环平稳特性，Antoni[11]提出一种基于负熵指标的平方包络谱信息谱(Squared Envelope Spectrum Infogram，SES infogram)和平方包络信息谱(Squared Envelope Infogram，SE infogram)，将SES inforgram和SE inforgram取平均，得到一种平均谱负熵。基于平均谱负熵指标的infogram方法存在鲁棒性较差的缺点，顾晓辉等[12]将相关峭度和上述理论中的SE和SES结合起来，改善了鲁棒性。

传统的稀疏表示方法在信噪比较低即噪声较强的情况下，存在微弱故障特征提取效果不明显的缺点，本文借鉴以上文献解决问题的逻辑，结合轴承故障冲击的特点，从如何构造字典更能贴近轴承故障特征的角度入手，将平方包络谱相关峭度引入到字典构造过程，提出一种在强噪声背景下准确提取故障特征的方法。

1 稀疏表示基本理论

信号的稀疏表示已成为信号处理领域十分重要的方式之一，近些年，稀疏表示的发展源于Donoho等[13-15]提出的压缩感知理论，此理论有个先前条件就是信号本身是稀疏的。

在处理信号时，通常都希望找到一种信号的简洁的表达方法，信号的稀疏表示，就是利用字典中少部分原子的线性组合，使稀疏表示系数的值大部分都等于零或者接近零。信号稀疏表示的字典可以是正交基即完备字典，也可以是冗余基即过完备字典，通俗来讲，过完备字典比完备字典更宽。过完备的冗余字典相比传统的完备字典进行信号的稀疏表示，更加灵活，更有利于利用字典的冗余特性提取到信号的更多特征。基于过完备字典的稀疏表示克服了完备字典的缺陷，自适应的从字典中选取尽可能少的基向量来表示或者还原原始信号。因此，过完备字典的构造要符合原信号的结构特征，它的构造方式分为两类：一类由正交基构造，即固定字典；另一类通过学习的方式从样本中生成字典，即学习字典。

1.1 稀疏分解

轴承故障诊断中，信号的稀疏分解，就是用字典中少量原子的线性组合来表示全部或者大部分的原始信号的故障特征。

稀疏分解后，信号的稀疏程度往往和字典密切相关，从字典中选择的原子的线性组合和轴承故障信号特征越相似，轴承信号的表达也就越稀疏，反之则相反。从数学角度来讲，可以用下面的方程进行表示：

(1)

式中:Y为输入信号，D表示字典，di为字典D中的原子，α=[α1，α2，α3，...，αk]T为信号Y的稀疏表示，也称为稀疏分解系数。如图1所示。

通常情况是通过传感器采集滚动轴承的振动信息，由于大型工程装备在实际运转过程中，不仅有轴承的故障冲击振动，还会掺杂其他无关的振动信号和噪声。这些信号都会被传感器采集。所以上述方程应加上噪声的影响，如下所示：

(2)

式中：X表示滚动轴承故障冲击，ε表示其他的干扰噪声和振动。

1.2 字典生成

过完备字典就是列数大于行数的矩阵，即原子的个数大于原子的维度。如何找到更加贴近轴承故障信号结构的字典，是很多学者研究的热点。针对学习字典的训练算法有很多，常用的几种分别是：MOD、K-Means、K-SVD和online算法。MOD算法[16]收敛速度快，但是计算的复杂度高；online算法[17]速度快，比较适合处理视频或语音信号；K-SVD算法[18]可看做K-Means算法的一种延伸或扩展，算法的复杂度低，效果好。

轴承故障诊断中，稀疏表示常用的一种传统做法是利用K-SVD算法训练字典，利用OMP算法求解稀疏分解系数，具体流程如下：

第一步：确定各参数的取值，字典中原子的个数K、原子的维数n、算法的迭代次数J、样本集合中原子的个数p、稀疏表示信号最多使用的原子个数L，初始化字典，然后让初始化字典中的每个原子具有单位2-范数；

第二步：求解初始字典下的稀疏表示系数α，利用的算法为OMP算法；

(3)

式中：‖·‖0表示求解零范数，‖·‖2表示求解2范数，L用来限定稀疏系数非零值个数。

第三步：固定稀疏表示系数α，利用奇异值分解逐个更新初始字典中的每个原子，使逼近误差最小；

(4)

第四步：重复第二、三步，达到设定的迭代次数J结束。

稀疏表示具体的分解和重构过程通过迭代实现，如图2所示。

图2 基于过完备字典的稀疏分解图

综上，稀疏表示主要涉及到两部分内容，构造字典和求解稀疏表示系数。如何构造出符合信号结构特征的字典，是稀疏表示的最关键问题，从过完备字典中选择哪些少量原子的线性组合又是这关键问题的核心。

2 引入平方包络谱相关峭度构造字典

2.1 相关峭度

峭度对冲击信号十分敏感,所以其很适合作为轴承表面损伤类早期故障诊断的评判指标。当滚动轴承发生局部故障时,会引起冲击振动,峭度值也会随之增大。因此,峭度值越大,故障冲击成分越明显,故障信息越易提取，但峭度指标的缺点是对单个的瞬态冲击振动有不错的效果，对多个周期分布的瞬态冲击表现较差。

相关峭度解决了谱峭度只对单个轴承故障瞬态冲击敏感的缺陷，被广泛应用在故障诊断领域。

(5)

式中:f表示频率;x表示信号序列;N表示采样点数;M表示偏移周期数目;T为轴承故障瞬态冲击信号的周期。

2.2 频域相关峭度

平方包络谱相关峭度即频域相关峭度，是针对ANTONI的infogram方法鲁棒性不强的缺点，结合MCDONALD的相关峭度，提出的一种新方法。

其中，ANTONI提出的平均谱负熵，是平方包络谱信息谱(Squared Envelope Spectrum Infogram，SES infogram)和平方包络信息谱(Squared Envelope Infogram，SE Infogram)的和值，再取平均。

表征轴承故障冲击性的平方包络信息谱可表示为

(6)

式中：SE为平方包络，即SE=H(t,f)2。

表征轴承故障循环平稳行的平方包络谱信息谱可表示为

ΔIE=

(7)

式中：SES为平方包络谱，即SES=DFT[SE(n;f,Δf)]。

综合表征冲击性和循环平稳性的平均谱负熵可表示为

ΔI1/2=ΔIe+ΔIE

(8)

鲁棒性更强的平方包络谱相关峭度即频域相关峭度可表示为

FDCK(T)=

(9)

式中：T为被测信号的故障特征频率。

2.3 构造字典

轴承故障诊断中，传统的K-SVD+OMP方法是根据逼近信号与原信号的残差进行原子筛选，对于轴承故障特征提取而言，这样筛选的原子包含较多的非故障特征原子，如何准确筛选出符合轴承故障特征的原子是字典构造的关键，本文利用平方包络谱相关峭度对轴承等旋转部件的故障特征敏感的特性，将频域相关峭度引入到字典的构造过程，根据所求逼近信号的FDCK值，从字典中选择少量与故障特征结构相似度高的原子线性组合，实现稀疏分解，目标函数为：

(10)

式中:FDCK表示频域相关峭度，j表示迭代次数。

具体迭代过程如图3所示，通过求解稀疏分解时每次迭代过程所得逼近信号的平方包络谱相关峭度值，并且找到最大频域相关峭度值所在位置，根据当前位置确定所选原子。

图3 流程图

此方法筛选的原子与轴承故障特征结构更匹配，根据存储的原子矩阵可求解出稀疏分解系数，重构原始信号，并计算其包络和包络谱，根据包络谱判断轴承是否发生故障。

3 仿真分析

为了验证本文所提方法的有效性，采用滚动轴承的仿真信号进行测试，仿真信号包括：轴承的点蚀故障信号，单个高幅值冲击信号，齿轮啮合干扰和高斯白噪声4部分，具体如下：

(11)

式中:x(t)表示冲击故障信号，δ(t)表示单个高幅值冲击，m(t)表示齿轮啮合干扰，n(t)表示白噪声。

设置采样频率Fs为5 120 Hz，衰减率λ为100，轴承故障特征频率为10 Hz，转频Fr为9 Hz，齿数为15，仿真信号如下图所示，图4(a)代表轴承故障脉冲信号x(t)，图4(b)代表单个高幅值冲击信号δ(t)，图4(c)代表齿轮啮合干扰信号m(t)，图4(d)代表y(t)。

(a) 轴承故障脉冲信号

(b) 单个高幅值冲击信号

(c) 齿轮啮合干扰

(d) 含噪声信号

下面用不同噪声标准下的两种方法进行对比，噪声标准设为0 db、-10 db和-15 db，一种是传统的K-SVD+OMP方法，用方法一表示，另一种是本文所提的稀疏分解方法，用方法二表示。

图5为不同噪声标准下的仿真信号，图6为方法一重构信号，图7为方法二重构信号。随着噪声的增强，仿真信号中噪声的幅值越来越大，对应的信噪比越

(a) 噪声标准0 db

(b) 噪声标准

(c) 噪声标准

图5 含噪原始信号

Fig.5 Original signal under different noise

(a) 噪声标准0 db

(b) 噪声标准

(c) 噪声标准

(a) 噪声标准0 db

(b) 噪声标准

(c) 噪声标准

(a) 噪声标准0 db

(b) 噪声标准

(c) 噪声标准

(a) 噪声标准0 db

(b) 噪声标准

(c) 噪声标准

来越低，在重构信号中可清晰的发现，每种方法随着噪声的增强，重构效果都是越来越差，受到的干扰明显增强，但两种方法之间相比，在同样噪声标准下，方法二的重构效果明显好于方法一的重构效果，在诊断的第一阶段略微占据优势。

图8为方法一重构信号的包络谱，图9为方法二重构信号的包络谱，经分析可知，两种方法都可以很清晰的找到故障特征频率的倍频，但随着噪声的增强，找到故障特征频率倍频的阶数也随之减少，方法一在0 db噪声时可以找到前9阶倍频，在-15 db噪声时可以找到前4阶倍频，方法二在0 db噪声下，也可以找到前9阶倍频，在-15 db噪声时可以找到前7阶倍频，本文所提方法抗干扰性强。

为了进一步验证本文所提方法在仿真信号中的优越性，将噪声标准设为-17 db，两种方法的对比结果如图10、图11所示。

(a) 含噪仿真信号

(b) 方法一重构信号

(c) 方法二重构信号

(a) 方法一重构信号包络谱

(b) 方法二重构信号包络谱

由图10可知，方法一重构的信号包含的干扰明显多于方法二重构的信号。由图11的包络谱分析可知，在-17 db噪声下，方法一已经无法找到轴承的故障特征频率，方法二可以找到轴承故障特征频率的前4阶倍频，本文所提方法优势明显。

通过上述对比分析，由于方法一通过字典学习到的特征既存在轴承故障特征，又掺杂其他特征，导致我们所选择的原子不一定是和轴承故障结构最匹配的原子，存在很大的不确定性，在强噪声干扰下基本失效。方法二中，由于平方包络谱相关峭度既能表征轴承故障的冲击性，又能表征它的循环平稳性，在字典构造过程中，有助于筛选出和轴承故障特征相匹配的原子，消除不确定性，因此，本文所提方法在仿真信号中具有优越性。

4 试验分析

为了进一步验证本文所提方法在试验信号中的优越性，使用如图13所示的铁路货车轮对轴承跑和试验台的故障轴承进行数据的采集和分析。测试轴承的型号为197 726。

图12 货车轮对跑和试验台

测试时，轮对轴承的转速为470 r/min，采样频率设定为25.6 kHz，采集1 s的振动数据，根据轴承的尺寸，按照下列公式计算轴承各个零件的故障特征频率。

(12)

式中:D表示轴承的节径，d表示滚动体直径，z表示滚动体个数，α表示接触角，fa表示转频。

经计算得到内圈、外圈和滚动体的故障特征频率分别88.5 Hz、67.5 Hz和27.4 Hz。我们采集到的故障的轴承信号如图13(a)所示，继续用两种方法进行对比，结果如图13和图14所示。

(a) 采集信号

(b) 方法一重构信号

(c) 方法二重构信号

图14给出了重构信号的包络谱，方法一能够找到与计算出的外圈故障特征频率67.5 Hz基本吻合的前1阶倍频。方法二能够找到包络谱中与计算出来的外圈故障特征频率基本吻合的前5阶倍频，将轴承拆解后，证实了轴承为外圈滚道压痕，如图15所示，由此验证了本文所提方法在试验信号中的优越性。

5 结 论

对于故障诊断而言，传统的K-SVD+OMP方法通过字典学习到的特征种类较多，针对性较差，不仅包含轴承故障特征，也会掺杂其他特征，在强干扰下尤其严重，影响故障诊断的效果。

(a) 方法一重构信号包络谱

(b) 方法二重构信号包络谱

图15 外圈压痕故障轴承

本文从稀疏分解中的字典构造方法入手，将频域相关峭度引入到稀疏分解的算法中，通过计算每次迭代逼近信号的频域相关峭度，找到最佳匹配的原子，使构造的字典能够更好的表征轴承的循环冲击故障，消除了传统的K-SVD+OMP方法的不确定性。通过仿真信号和试验信号分析，本文所提方法对微弱轴承故障特征提取具有有效性和优越性。