基于惯容器的轨道车辆悬挂系统性能研究

陈文韬，封周权，陈政清，樊友权，牛华伟

(1.湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082； 2.湖南大学 风工程与桥梁工程湖南省重点实验室，长沙 410082； 3.株洲联诚集团控股股份有限公司，湖南 株洲 412001)

合理的悬挂系统是保证轨道车辆运行安全性、平稳性和舒适性的前提，轨道车辆运行速度越快，对悬挂系统的要求越高。传统的被动式弹簧-阻尼(Spring-Damper，SD)悬挂结构只能基于弹簧和阻尼两种单元进行参数优化，而且确定后不可调节，在尺寸限制和整车要求下性能提升效果有限[1]。虽然主动/半主动悬挂近年来发展迅速，一定程度上能够实现悬挂性能的提升，但由于技术复杂、成本高、响应慢以及控制时滞等问题使其大规模实际应用还有很长距离。因此，如何在传统SD结构基础上提升悬挂系统减振性能成为人们面临的现实问题。

惯容器的提出为悬挂系统性能提升提供了新的思路，Smith[2-3]从机电相似理论中首先提出惯容器的概念，构建了几种简单的惯容器-弹簧-阻尼(Inerter-Spring-Damper，ISD)悬架结构，并应用于汽车和摩托车悬架，发现ISD悬挂具有更好的稳定性和可控性。从此，惯容器在土木、汽车、舰船等工程领域得到了广泛的研究和应用，并取得了很好的减隔振效果[4-7]。在轨道车辆悬挂方面，Wang等[8-10]将惯容器应用于铁路机车悬挂，采用传递函数法分析了ISD三元减振悬架结构的可行性，研究表明机车的乘坐舒适性、动力性和稳定性都得到了有效提升。Jason等[11-12]建立了基于惯容器的列车横向和垂向二维模型，仿真分析发现ISD悬挂结构能够有效提升列车运行品质，减小车体过曲线时的振动加速度和横向位移。孙晓强等[13]建立了包含一系和二系悬挂的列车六自由度垂向动力学模型，采用粒子群算法对不同ISD悬挂结构的参数进行平稳性优化，发现多数ISD结构能有效提升列车平稳性，但部分结构反而会恶化悬挂系统的隔振性能。

上述研究的基本思路是列出横向或者垂向振动耦合方程后，采用传递函数法或状态空间方程法分析系统的性能。本文以一种基于滚珠丝杠式惯容器的轴向阻尼器[14]为对象，建立并联ISD结构悬挂系统垂向振动的简化模型，从单自由度系统强迫振动理论出发，分析车辆悬挂质量在轮轨激励下引起的强迫振动情况，研究惯容器的引入对于悬挂系统振动响应特性以及隔振效果的影响。

1 基于惯容器的轴向阻尼器工作原理

1.1 惯容器的工作原理

惯容器的概念是从机电相似理论中发展出来的，它被定义为一个两端点元件，如图1所示，理想惯容器所受到的力与两端点的相对加速度成正比，比例系数称为惯质系数或者惯容：

F=b(a2-a1)

(1)

式中:F为惯容器两端所受力;b为惯质系数，其具有质量的量纲;a2、a1为惯容器两端的加速度。

图1 惯容器示意图

一般地，惯容器由传动机构、惯性机构和端点三部分组成，如图2所示，遵循的基本设计原理为具有两个自由端点并且能够放大惯性[15]。其中，惯容器的传动机构实际上是一种力放大机构；惯性主要依靠飞轮的旋转惯性或质量的平动惯性。惯容器根据实现形式不同可以分为机械式和流体式两大类，机械式主要有齿轮齿条式、滚珠丝杠式和扭转式等；流体式主要有液压活塞式、液压泵式和液力式等。因此，惯容器的意义是能够将很小的旋转或者平动质量放大为成千上万倍的惯性质量。

图2 惯容器设计基本原理

1.2 滚珠丝杠式轴向阻尼器工作原理

“惯容-弹簧-阻尼”机械系统与“电容-电感-电阻”电子系统之间实现了严格的对应相似关系，理论上说惯容器的出现使得被动机械阻抗都可以通过惯容器、弹簧和阻尼3个元件组合来加以实现。考虑到空间限制和集成化，人们提出了ISD 悬架一体化设计思路，即将惯容器和阻尼器设计为一体化的装置。湖南大学陈政清团队发明了一种滚珠丝杠式电涡流阻尼器，如图3所示，它实现了滚珠丝杠式惯容器、电涡流阻尼的并联集成。通过滚珠丝杠的放大作用，它在结构尺寸和阻尼性能上可达到现有油压减振器的技术要求，具备实际工程应用前景。因此若以此滚珠丝杠轴向阻尼器代替对应的油压减振器，即可构建并联ISD结构。

图3 基于滚珠丝杠式惯容器的电涡流阻尼器

根据滚珠丝杠副的工作原理可得到滚珠丝杠式惯容器的惯质系数表达式为：

b=(2π/P)2J

(2)

式中:P为滚珠丝杠副的导程;J为旋转部件的转动惯量，它主要与转子的材料、内径、厚度和长度等参数有关。因此，滚珠丝杠式惯容器的惯质系数可以通过以上多个参数进行调节。

2 ISD悬挂结构垂向振动模型

在运行过程中，车轮的运动轨迹是具有垂向和横向分量的随机分布曲线，这种随机运动轨迹将对车辆悬挂系统产生持续和随机的激振力，经过悬挂系统传递到簧上部分后，将引起簧上质量(如转向架、车体)的强迫振动，其频率、幅值及其变化规律与车辆的结构参数、激扰大小和运行速度有关。

2.1 ISD悬挂结构的垂向振动简化模型

据上文所述，无需改动其他结构，只采用滚珠丝杠轴向阻尼器代替对应的油压减振器，即可构建并联ISD悬挂结构，非常方便直接。为了研究此ISD悬挂结构对车辆垂向振动的衰减作用，不考虑阻尼器和惯容器两端弹性，我们建立了如图4所示的简化振动模型，从强迫振动理论出发，讨论惯容器对强迫振动的影响。图4中悬挂系统的簧上质量为M，弹簧刚度为K，阻尼系数为C，惯容器的惯质系数为b。强迫振动的激振力实际为随机激振力，但它无法确定明确的表达式，需要通过实际测量形成轨道谱，而简谐激励是最基础的激励，其他激励都可以换算成若干简谐激励的合成，在此将激振力设为简谐激励，表达式Z1=Asinωt。Z2为簧上质量M在Z1激扰下的响应。

图4 列车垂向振动简化模型

2.2 强迫振动理论模型

理论上，图4模型的振动称为第二类振动问题，即激振力不直接作用在质量上，而是由于基础或者支承振动并通过弹簧、阻尼、惯容器等传递引起的质量振动。图4所示模型按照牛顿第二运动定律或者达朗伯原理都可以得到以下的强迫振动方程：

-bAω2sinωt+CAωcosωt+KAsinωt

(3)

整理得到：

CAωcosωt+(KA-bAω2)sinωt

(4)

方程(4)与文献[16]中支承运动引起的有阻尼强迫振动方程形式一致，差别在于二阶微分处惯性力项的系数不同，而且方程右侧增加了一个惯容器传递的激励项。在此定义惯质系数与簧上质量的比值为一个无量纲系数μ，称为质量比；定义惯质系数与簧上质量的和为等效质量M′，表达式如下：

μ=b/M

(5)

M′=M+b=M(1+μ)

(6)

由此，方程(4)可以进行如下转化：

(KA-μMAω2)sinωt=Bsin(ωt+φ)

(7)

(8)

(9)

方程式(7)是一个非齐次线性微分方程，它的解包括齐次方程的通解和非齐次方程的特解两个部分，通解表现为有阻尼自由振动的瞬态响应，将呈指数规律很快衰减下去；特解表现为强迫振动的稳态响应，式(7)的稳态解可采用待定系数法求解：

Z=ZAsin(ωt+φ-δ)

(10)

式中:ZA为强迫振动的振幅;δ为强迫振动响应与激励的相位差，代入求解可得：

(11)

(12)

此时，强迫振动振幅放大因子α、速度放大因子β和加速度放大因子γ的表达式为：

(13)

(14)

(15)

3 仿真分析

本文应用MATLAB软件进行数值仿真分析，从幅频特性、相频特性出发，研究惯容器对悬挂系统性能的影响。根据上节理论分析可知，ISD悬挂结构在简谐激励下的稳态响应是频率等于激振频率，相位滞后于激振力的简谐振动，其振幅和相位差取决于悬挂系统本身的质量、刚度、惯质系数和阻尼性质以及激振力的幅值和频率。因此，轨道车辆一系悬挂和二系悬挂系统的垂向振动可以按照强迫振动理论分别求解，一系悬挂的输出可作为二系悬挂的输入，从而实现解耦分析。下面以一系悬挂为例进行说明。

3.1 基于质量比的响应特性分析

本文以文献[17]中表1所列的铁路客车垂向模型参数作为参考，取一系悬挂系统的质量M=2 500 kg，刚度K=5 000 kN/m，阻尼C=35.8 kN·s/m；设轮对承受简谐激励的频率为ω=3 Hz，振幅取为A=5 mm；惯容器的惯质系数b的取值按照(0～50%*M)选取，即μ=0～0.5。根据式(11)～(15)可得到如图5～9所示的强迫振动振幅、相位差、振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子与质量比之间的变化关系曲线，各图中两条曲线分别为SD结构和并联ISD结构在相同简谐激励下的振动响应。

图5 振幅与质量比的关系曲线

图6 相位差与质量比的关系曲线

图7 振幅放大因子与质量比的关系曲线

图8 速度放大因子与质量比的关系曲线

图9 加速度放大因子与质量比的关系曲线

首先，由图6中曲线可知相位差均为负值且呈递增的趋势，但是相位差本身较小，一方面说明了强迫振动响应比激振力有所滞后，另一方面说明惯容器可以减小这种滞后的相位差，惯容系数越大，相位差越小。

从图5和图7～9中可以看到，除了加速度放大因子在质量比接近0.5时出现了恶化，总体来说，在0<μ<0.5时，相同简谐激励下ISD结构强迫振动的振幅、振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子相比SD结构都有所改善。从方程(4)中分析可知，这是因为惯容器一方面减小了传递到簧上质量的激振力，另一方面还增加了振动方程的等效质量。容易发现，ISD结构的ZA-μ、α-μ、β-μ、γ-μ曲线均呈先减小后增大的趋势，存在一个极小值点，在此称其为极小值质量比μei,i=Z,α,β,γ。因此，ISD结构各响应特性的最大衰减率为其极小值与SD结构相应特性值的比，从图中分析ZA、α、β、γ最大衰减率可达98.15%、98.15%、97.96%和97.75%。

从图中可以预见，随着质量比的增大，在极小值点右侧的某个质量比处，ISD结构各响应特性曲线将与SD结构所示直线相交，大于此质量比时这些特性参数将出现恶化，如图9所示，因此称其为临界恶化质量比μwi,i=Z,α,β,γ。当0<μ<μwi时，ISD结构的响应特性相对SD结构可实现不同程度的提升。

μei可通过式(11)、(13)、(14)、(15)分别对质量比μ求导获得；μwi可通过ISD结构和SD结构两线相交点的值相等来求解。但是计算中发现，求解速度放大因子和加速度放大因子的μeβ、μeγ、μwβ、μwγ需要求解三次以上高阶方程，难以得到解析解，而振幅和振幅放大因子的μeZ、μeα、μwZ、μwα可以得到解析解，如下所示：

(16)

(17)

从式(16)、(17)可知，μeZ、μeα、μwZ和μwα与频率比λ和阻尼比ξ有关，容易发现，它们随着阻尼比的增大而增大。进一步分析发现，上述算例中最大衰减率很大是因为此时的阻尼比较小。

3.2 ISD结构质量比的取值范围分析

图10～图12描述了振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子在不同阻尼比与质量比时的关系曲线，图中的各条水平线表示质量比等于零即SD结构的值。总体来说，当0<ξ<1时：① 振幅放大因子的μeα和μwα随着阻尼比的增大而增大，与式(16)、(17)相符合，同时最大衰减率逐渐越小；② 速度放大因子的μeβ和μwβ也随着阻尼比的增大而增大，增长幅度非常小，但衰减率减小很快；③ 加速度放大因子的μeγ和μwγ随着阻尼比的增大呈先增后降趋势，转折点在ξ=0.35附近，而且当ξ>0.8后，惯容器无法实现改善效果。

图10 振幅放大因子与质量比和阻尼比的关系

图11 速度放大因子与质量比和阻尼比的关系

一般地，阻尼比常用取值范围为0.1<ξ<0.35，对比分析图10～图12发现，在这个范围内，当质量比μ<0.5时振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子都可以得到有效改善，而且，三种特性曲线的极小值质量比μei均处于0.2～0.3范围内。因此，针对0.1<ξ<0.35取值范围内的ISD结构，当取0.2<μ<0.3时，减振性能可以达到最优，计算可得此时α、β、γ的最大衰减率分别可达69.69%～36.27%、66.39%～27.39%、62.76%～18.71%，阻尼比越小，最大衰减率越大。

(a)

(b)

另外，从图12中看到，在的所有取值范围内，各水平线所示的SD结构的加速度放大因子均大于1；而当ξ<0.2时，ISD结构可使其加速度放大因子小于1，此时质量比的适宜取值范围为0.1<μ<0.3。对比图10和图11，发现ξ<0.2及0.1<μ<0.3时振幅放大因子和速度放大因子同样处于极小值的小公差范围内，此时，ISD结构振幅放大因子可小于0.3，速度放大因子可小于0.6，且加速度放大因子可小于1。

3.3 质量比对悬挂系统隔振性能的影响

研究表明，共振是车辆平稳性恶化的主要原因[18]。从隔振的角度说，车辆悬挂系统属于被动隔振，目的是减小由于轮对振动传递到簧上质量的位移，它的隔振效果采用位移传递率或者被动隔振系数来衡量，其大小和表达式与式(13)所示的振幅放大因子α一致。对于ISD结构，令α=1时可得临界频率比为：

(18)

图13为SD结构和ISD结构(μ=0.2)下振幅放大因子与频率比在不同阻尼比时的关系。从图13中可以看到：① 只有当频率比大于临界频率比λc时，才有隔振效果；② 在λc前后阻尼的作用效果相反，λ<λc时阻尼越大振动幅值越小，λ>λc时阻尼越大反而越不利；③ ISD结构的临界频率比小于SD结构，由式(18)可知，质量比越大时临界频率比越小；④ 图中垂直线为共振点的频率比，可以看到ISD结构的共振点频率比小于SD结构，根据式(13)可得共振点频率比：

(19)

(a) μ=0

(b) μ=0.2

令阻尼比ξ=0.25，此时振幅放大因子与频率比和质量比的关系如图14所示，其中水平面为α=1的平面。研究发现：① 从图14中同样可得到图13中得出的结论。② ISD结构的临界频率比λc与质量比μ的关系正如图中两个曲面的相贯线所示，可以看到λc随着μ逐渐减小。因此，同样的临界频率比λc要求下，质量比μ越大则簧上质量M可以越小，因此惯容器的应用有助于悬挂系统的轻量化。③ 图14验证了3.1节的分析，当λ>λc时，任一频率比μ下的α-μ曲线均呈先减小后增大的趋势，存在极小值点μei，而且随着频率比λ的增大，μei越小。④ 从式(13)可知振幅放大因子经过极小值处的频率比后，不会一直增加，而是趋于一个小于1的值：

(19)

⑤ 图14验证了式(19)，共振点频率比λrc随质量比μ的增大而减小，而且共振点处的振幅放大因子也随之减小。⑥ 随着质量比μ的增大，共振区宽度也明显减小。综上所述，惯容器能够减小临界频率比，也有助于减小共振区宽度和振幅，能够增强隔振区域的隔振效果。

图14 振幅放大因子与频率比和质量比关系

4 结 论

惯容器的提出为传统的SD悬挂结构性能提升带来了新的突破方向，使得ISD悬挂结构迅速成为了当前的研究热点。本文从单自由度系统强迫振动理论出发，建立了并联ISD悬挂结构的垂向振动简化分析模型，并以此研究了惯容器的应用对于悬挂系统的振动响应特性以及隔振性能的影响。研究发现：

(1) ISD悬挂结构在简谐激励下的稳态响应仍是简谐振动，其频率、振幅和相位差取决于悬挂本身的质量、刚度、惯质系数和阻尼性质以及激振力的幅值和频率。因此，轨道车辆一系悬挂和二系悬挂的垂向振动可以按照强迫振动理论逐级地分别进行分析，可实现多级悬挂结构的解耦分析。

(2) 惯容器不仅可以减小传递到簧上质量的振动激励，而且增加了振动系统的等效质量。当频率比大于临界频率比而质量比小于临界恶化质量比时，相对于SD结构，ISD结构强迫振动的响应特性参数都有很大改善；这些特性曲线相对质量比均存在极小值点，并在此达到最大改善，改善程度与频率比和阻尼比相关；同时，质量比越大，ISD结构的相位差越小。

(3) 文中分析了各响应特性参数曲线的极小值质量比以及临界恶化质量比的变化趋势。在常用阻尼比0.1<ξ<0.35范围内，当质量比μ<0.5时振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子都可以得到改善；而且三种特性曲线的极小值质量比μei均处于0.2～0.3范围内，此时减振性能可以达到最优。在此基础上，分析发现当ξ<0.2及0.1<μ<0.3时，ISD结构振幅放大因子可小于0.3，速度放大因子可小于0.6，且加速度放大因子可小于1。

(4) 惯容器能够增强悬挂系统的隔振效果。文中推导了临界频率比、共振点频率比与质量比的关系，发现质量比越大，临界频率比、共振点频率比越小；同时，共振点处的振幅放大因子以及共振区宽度也明显减小。因此，ISD结构可以在更小的频率比即起到减隔振效果，而且减小了共振区的宽度和振幅，有助于悬挂系统的轻量化。