“勾股定理”错题笔记

龚辉

勾股定理的重要性不言而喻，同学们在应用它解题时，常常会出现一些错误，我们要及时整理、归纳，认真做好错题笔记。龚老师整理了一些经典案例，希望同学们以此为戒，在错题本上进行完善和补充，并在复习和练习时避免犯类似的错误。

一、忽略勾股定理的前提

例1 如图1，四边形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

图1

【错解】连接BD。

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。

∴S△BCD=[12]×5×12=30。

∴S四边形ABCD=30+6=36。

【剖析】没有说明△BCD是直角三角形，不能直接运用面积公式。本题要运用勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形。这道题告诉我们，在解决问题时要有严密的思维和严谨的态度。

【正解】连接BD。

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。

∵BD2+CD2=25+144=169=BC2，

∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形。

∴S△BCD=[12]×5×12=30。

∴S四边形ABCD=30+6=36。

二、生搬硬套，思维定式

例2 在Rt△ABC中，a=6，b=8，若∠B=90°，求第三边c的长。

【错解】由勾股定理，得c2=a2+b2=36+64=100，∴c=10。

【剖析】我们在记忆勾股定理的公式时通常记作a2+b2=c2，很容易先入为主地默认为∠C=90°，因此犯了上述错误。同学们一定要认真审题，分清直角、斜边。

【正解】∵∠B=90°，∴b2=a2+c2。

∴c2=b2-a2=64-36=28，∴c=[27]。

三、已知条件指代不清要分类讨论

例3 已知Rt△ABC的两条边长为3和4，求第三条边长。

【错解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：第三边c=5。

【剖析】本题的错误由两个原因导致。一是思维定式，由“勾三股四弦五”直接想到答案为5;二是题中的条件是两边为3和4，并未指明是哪两条边，有可能出现两种情况：两条边都是直角边，一条斜边一条直角边。因此，本题需要分两种情况进行分类讨论。

【正解】①若3和4都是直角边，由勾股定理得：c=[32+42]=5;

②若3是直角边，4是斜边，则c=[42-32]=[7]。

综上所述，第三条边长为5或[7]。

四、设错未知数误入死胡同

例4 如图2，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=4，BC=8，AC=6，求AD的长。

图2

【错解】设AD=x。

在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理得：

BD=[16-x2]，CD=[36-x2]。

∵BC=8，∴[16-x2]+[36-x2]=8。

部分同学感到困惑：根式方程无法解决……

【剖析】利用勾股定理列方程解决问题时，由于勾股定理的特点，边长通常会带根号，因此要避免出现带根式的方程。本题可以通过设间接未知数BD=x或CD=x解决。

【正解】设BD=x，则CD=8-x。

在Rt△ABD和Rt△ACD中，分別由勾股定理得：AD2=16-x2，AD2=36-（8-x）2。

∴16-x2=36-（8-x）2。解之得：x=[114]。

在Rt△ABD中，由勾股定理得AD的长为[3154]。

同学们在运用勾股定理解决问题时容易犯的错误不仅仅是上述这些，大家一定要仔细审题，明确题目条件的特点，深入挖掘隐含条件，力求简便、巧妙地解答。同时，我们要关注和整理解题中常见的错误，包括自己的或同学的错误，对典型的错误进行分类归纳。我们要透过错误发现问题，并利用错误资源，认真反思、制订策略并积极地开展有针对性的训练，从错题中积累经验、完善思维、提高能力。

（作者单位：江苏省太仓市沙溪第一中学）