问题引领 拓展变式

文张 丽

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）

勾股定理可以解决“已知直角三角形的两条边长，求第三边”问题。除此之外，在求解折叠问题时，也常会出现直角三角形及其边长的数量关系，此时可结合题意，借助相关概念及图形性质，找到或者构造出各边之间存在着某些数量关系的直角三角形，从而利用勾股定理列出方程求解。下面对这类问题进行归类整理。

一、利用折叠建立数量关系

这类问题关键是要结合已知条件，利用折叠等性质，找到或构造直角三角形，将三边用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程求解。

例1 如图1，将一个三角形纸片沿着DE折叠，使点B落在点A处，请分析图形特征，说出相关线段的数量和位置关系。

图1

图2

【解析】这是一个开放性问题，主要考查同学们对折叠性质的掌握情况，线段AD=BD，AE=BE，AB⊥DE。

变式如图2，直角三角形纸片的两直角边的长分别为AC=6cm，BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。

【解析】由翻折得AC=AE=6，设CD=x=DE，BE=4，BD=8-x，由勾股定理知x2+16=（8-x）2，解得x=3。

【点评】通过勾股定理建立方程是数学中常用的思想方法。先设未知数把未知的量与已知的量集中到一个直角三角形中，再通过勾股定理建立方程，然后解方程求出CD的长。

例2 已知如图3，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，AB=10cm，AD=8cm，求AF的长。（同学们可自己提出问题再解决）

图3

图4

【解析】这是一个开放性问题，由翻折得AB=AE=10，EC=8，设CF=x，AF=x，EF=10-x，由勾股定理知，（10-x）2+64=x2，x=8.2。当然也可以求EF等线段。

变式在长方形纸片ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，按图4方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。（同学们可自己提出问题再解决）

【点评】通过勾股定理建立方程是数学中常用的思想方法。所谓方程思想，就是通过观察、分析、判断，从已知量和未知量之间的位置关系或数量关系入手，找出等量关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程来解决问题。运用勾股定理构建方程，建立已知量与未知量之间的关系是解题的关键，同时体现了运用方程思想解题的简便快捷。

二、利用全等的性质或者等腰三角形性质建立数量关系

例3 如图5，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 。

图5

图6

【解析】根据OE=OD，可以证明△OPD≌△OGE，从而得到EG=PD，EP=DG。若设AP=x，则CG、BG可以用含x的代数式表示。在Rt△BCG中，BC的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可。

设AP=EP=DG=x，则GE=PD=6-x，CG=8-x，BG=2+x。在 Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2，即 62+（8-x）2=（x+2）2，解得x=4.8，∴AP的长为4.8。

变式如图6，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足E。若DE=CD=1，AE=2EM，则BM的长为________。

解：连接DM，在Rt△DEM和Rt△DCM中，

∴Rt△DEM≌Rt△DCM，

∴∠AMD=∠CMD。

∵AD∥BC，

∴∠DMC=∠ADM，

∴∠AMD=∠ADM，

∴AD=AM。

设EM=CM=x，则AD=AM=BC=3x,

∴BM=2x。

在Rt△ABM中，AB2+BM2=AM2，

即 12+（2x）2=（3x）2，

【点评】解决这类问题的关键是首先要找到或构造出这样的一个直角三角形，利用全等、等腰三角形等性质确定其中两边的数量关系。那么，这两条边都可以用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可。