基于解法探究 揭示图形内部结构

摘 要：本文以一道中等数学试题为例，通过多种方式探索解题思路，揭示图形内部结构，分析解题思路，培养学生的核心素养.

关键词：解法探究;图形结构;基本图形; 等积变换

作者簡介：郑旭常（1975-），男，浙江宁海人，本科，中学高级教师，研究方向：解题规律研究.

中学数学教育的一个重要目的是培养学生的思维品质，而解法多元性的探究正是反映学生素质的综合能力和数学素养的水平，正如著名数学教育家G·波利亚曾经说过：“掌握数学就意味着要善于解题.” 但实际问题的解决不仅需要熟练地掌握基本知识和基本方法，更重要的是根据图形结构从哪个方向去分析问题，提炼关键知识点，形成解题思路，优化解题结构，发展数学思维方式，提升数学素养.

1 试题呈现

题目 如图1所示，OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=mx（x>0）的图象经过点A（1，4）.

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标;

（2）如图2所示，过BC的中点D作DP//x轴交反比例函数的图象于点P，连结AP，OP，求△AOP的面积.

2 解法探究

本题是以平面直角坐标系、平行四边形、反比例函数为背景，求三角形面积的一道中等数学试题.笔者在学生的解答过程中发现学生的思路分析多种多样，从不同角度展示图形内部结构，产生形式多样的解答方法.

2.1 从不规则图形转化到规则图形的解法探究

从图形直观中发现△APO是任意三角形，常用解法是通过割补的方式把它转化为规则图形，然后通过面积和、差的等量关系构造方程，进行求解.

解法1 如图2所示，因为DP//x轴，四边形AOCB是平行四边形，所以四边形APDB、四边形PDCO是梯形.

3 结束语

数学离不开解题，解题是将所学知识在新的情境中加以调整和应用，并产生新的创意，即对知识进行操控能力的反应.而一题多解正是激发学生张开思维与想象翅膀的催化剂，是让学生在新问题的自我建构的过程中，对已有知识进行多角度的再次发现，多角度的重新组合，寻找解决问题的策略，并在思考的过程中实施创新，在创新中发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，学会多角度、全方位的考虑问题，正如植物的生长一样，在阳光雨露的滋润下，顺势而行，自然生长，体验数学问题解决方法的形成过程，感受数学独到的思维方式，并在知识形成和解决问题的过程中，融会贯通、灵活迁移，获得知识的启蒙、素养的滋润和生长的力量，在这种状态下获得的知识是自然的、终身的，更有利于学生走出“题海战术”的主阵地，激发学生的学习兴趣，培养学生的核心素养.

（收稿日期：2019-08-09）