基于任意两量子比特态的多方分层量子密钥共享方法研究*

宋 曦，曲 倩，肖 鑫，袁平亮，段 庆

（1.国网甘肃省电力公司信息通信公司，甘肃 兰州 730050；2.国网信通亿力科技有限责任公司，福建 厦门350003）

0 引 言

目前，分层的量子信息拆分方案中，拆分的信息都是单量子比特态[1-7]。在2010年，Wang等人[1]首次提出分层量子信息拆分（Hierarchical Quantum Information Splitting，HQIS）协议。利用四粒子纠缠态作为量子信道，协议主要提出了一个将量子秘密信息非对称地分发给3个远距离接收方的方案。非对称地分发秘密信息导致接收方拥有不同的权限来恢复发送方的秘密，其中3个接收方即Bob、Charlie和Diana，有不同的恢复权限获得Alice（发送方）量子秘密信息。由量子不可克隆定理可知，3个接收方中只有一方能够恢复Alice的秘密态。Diana为了恢复秘密仅需要其他两个接收方中的一方帮助，而Bob（Charlie）则需Diana和Charlie的同时帮助才可以。这意味着Diana拥有最终秘密的权限比Bob和Charlie更大，且在该方案中接收方的恢复操作都是局域操作。

本文首次利用两对四粒子簇态作为量子信道，提出了一种任意两量子比特态的多方分层量子密钥共享方法，研究了具有3个接收方的HQIS协议，并进一步推广到5个接收方的分层量子信息拆分协议。

1 3个接收方的分层量子信息拆分

本节提出具有3个接收方的HQIS协议。需要强调的是，本文假设量子信道是安全无噪声的，经典信道是被认证的，下文不再一一叙述。

本协议中，量子信道采用两对四粒子簇态[8]：

发送方Alice和3个接收方Bob、Charlie1和Charlie2安全共享两对四粒子簇态 |Ψ〉1234和 |Ψ〉5678。Alice、Bob、Charlie1和Charlie2分别拥有粒子1和5、粒子2和6、粒子3和7、粒子4和8。

假设Alice要分发一个任意的两量子比特态：

这里，|α|2+|β|2+|γ|2+|δ|2=1。

发送方Alice想把态|ζ〉xy中的信息发送给并不完全信任的3个接收方Bob、Charlie1和Charlie2，采取信息分裂的方式来实现。根据量子不可克隆定理，最终只有一个接收方的量子态能塌缩为|ζ〉xy，也就是说，有且只有一方能够恢复Alice的秘密态。

Alice对她的粒子(x,1)和(y,5)分别执行两次Bell基联合测量[9]，测量后Alice通过经典信道把测量结果告诉3个接收方，Alice能够以相等的概率获得16种可能测量结果中的一个，其余接收方获得的联合态则以1/16的概率塌缩到态中的任意一个。

不失一般性，通过举例说明HQIS协议的过程。假设Alice的测量结果是，测量后其余3个接收方获得的纠缠态为：

同时，Alice的信息将被存储在粒子2、3、4、6、7、8上。下面分两种情形讨论HQIS协议。

1.1 高级权限的接收方Bob恢复秘密态

协议过程如图1所示。

图1 接收方Bob恢复秘密态

Charlie1和 Charlie2需要分别用直线基 {|0〉,|1〉}对各自的粒子（3，7）和粒子（4，8）进行两次单量子比特测量。

由于Charlie1和Charlie2具有相同的恢复权限，故他们在直线基下的测量结果总是相关联的。也就是说，Bob能够从Charlie1（Charlie2）的测量结果推断出Charlie2（Charlie1）的测量结果。因此，Bob只需要Charlie1或Charlie2中任一方公布测量结果，就能恢复 Alice发送的秘密态 |ζ〉xy。

根据Charlie1或Charlie2的测量结果，Bob对自己手里的粒子做相应的局域操作就能恢复Alice发送的秘密态。Bob执行的局域操作如表1所示，其中 I、σz和 σx是 Pauli操作。

表1 接收方Bob执行的局域操作

1.2 低级权限的接收方Charlie1恢复秘密态

低级权限的接收方Charlie1和Charlie2中的任何一方也能够恢复秘密态。由于他们的恢复权限是相同的，这里假设Charlie1恢复秘密态，协议过程如图2所示。

图2 接收方Charlie1恢复秘密态

在这种情况下，由于Charlie2和Bob对秘密态的恢复权限不同，任何人不能从Charlie2（Bob）的测量结果推断出Bob（Charlie2）的测量结果。所以，Bob和Charlie2需要分别用对角基{|+〉,|-〉}对粒子2和6、粒子4和8进行两次单量子比特的测量。然后，接收方Charlie1根据Bob和Charlie2的测量结果，执行适当的局域操作恢复出Alice发送的秘密态|ζ〉xy。Charlie1执行的局域操作如表2所示。H是Hardamard 变换，即 H|+〉=|0〉，H|-〉=|1〉，形如 σxH表示先做H操作后做操作，其余操作类似。

HQIS协议意味着接收方对Alice发送的秘密态的恢复权限是不同的。为了恢复秘密态，高级权限接收方必须参与，而低权限接收方不必全部参与。此外，提出的HQIS协议可以进行适当修改，以实现多个接收方控制的量子隐形传态[8]。

2 5个接收方的分层量子信息拆分

一般的HQIS协议中包括超过3个及以上的接收方，因此有必要把3个接收方的协议扩展到多个接收方。由于包含多个接收方的HQIS协议更复杂，因为其分层类型更多，但其原理均类似，所以在本文为了说明问题，仅在具有两层权限的接收方之间展开研究。为了恢复秘密态，高级权限的接收方必须参与，而低级权限的接收方有时并不需要全部参与恢复。

表2 接收方Charlie1执行的局域操作

另外，由于簇态的对称性，协议具有更好的扩展性。本协议中，接收方的数量可以被任意扩展，但这些协议与3个接收方的HQIS协议的讨论是类似的。下面仅讨论包括5个接收方的HQIS协议。其中有2个接收方处在高级恢复权限，其余3方处在低级恢复权限。假设处在高级恢复权限的接收方包括Bob1和Bob2，而处在低级恢复权限的接收方包括 Charlie1、Charlie2和 Charlie3。

发送方Alice在式（1）中制备两对四粒子簇态|ψ〉1234(|ψ〉5678)和 4 个单量子比特（a、b、c、d 的初态都是|0〉）。然后，对四粒子簇态|ψ〉1234中的粒子2和粒子3分别与a和c执行CNOT操作，生成纠缠态 |ψ〉1234ac和 |ψ〉5678bd。

经过CNOT操作，态|ψ〉1234ac和|ψ〉5678bd分别表示为：

这里 |φ0〉=|00000〉+|01101〉，|φ1〉=|10010〉+|11111〉。

发送方Alice和5个接收方安全地共享态|ψ〉1234ac和|ψ〉5678bd。假设发送方Alice仍然分发一个任意的两量子比特态 |ζ〉xy给 5 个接收方 Bob1、Bob2、Charlie1、Charlie2和Charlie3。但是，5个接收方中只有一方可以恢复秘密态，他们对秘密态恢复的权限不同，这是由非对称分发导致的。这里假设接收方Bob1和Bob2对秘密态有较高的恢复权限，而其他接收方Charlie1、Charlie2和Charlie3的恢复权限较低。

Alice对她的粒子(x,1)和(y,5)分别执行两次Bell基联合测量，其他5个接收方的态将塌缩为相应状态，然后通过经典信道把测量结果告诉5个接收方。

下面分别从两种情形简要叙述5个接收方的HQIS协议，其原理与3个接收方的协议类似。

2.1 高级权限的接收方Bob1恢复秘密态

由于Bob1和Bob2拥有相同的恢复权限，这里仅假设Bob1恢复秘密态。当恢复秘密态时，协议仅需要其他所有高级权限的接收方和低级权限的接收方中的任一方帮助即可。

为了帮助Bob1恢复秘密态，其他接收方需要分别对他们拥有的粒子做两次单量子比特测量。然而，由于Charlie1、Charlie2和Charlie3具有相同的恢复权限，故他们在直线基下的测量结果总是相关联的。这里假设Charlie1帮助Bob1恢复秘密态。Bob1可以从Charlie1公布的测量结果推断出接收方Charlie2和Charlie3的测量结果。根据Bob2和Charlie1公布的测量结果，Bob1执行适当的局域操作即可恢复Alice发送的秘密态。总之，在这种情况下，Bob1要恢复秘密态仅需要低级权限的接收方Charlie1、Charlie2和Charlie3中的任一方在直线基下的测量结果（这里假设Charlie1公布测量结果），以及高级权限的接收方Bob2在对角基下的测量结果。

2.2 低级权限的接收方Charlie1恢复秘密态

处在低级权限的接收方Charlie1、Charlie2和Charlie3中的任何一方也能够恢复秘密态。由于他们的恢复权限相同，这里假设Charlie1恢复秘密态。恢复秘密态的过程中需要其他所有接收方的帮助。

接收方Charlie1不能独自从他自己的测量结果中恢复Alice发送的秘密态。为了恢复秘密态，他必须在所有接收方的帮助下才能实现，这就需要Bob1、Bob2、Charlie2和Charlie3在相应的对角基下对自己手里的粒子分别做两次单量子比特测量，然后Charlie1根据上述4个接收方的测量结果，执行相应的局域操作即可恢复Alice发送的秘密态。

3 性能分析

目前，对于HQIS的效率还没有一个准确统一的定义来刻画。本文根据信息论中Cabello[10]给出的量子密钥分发的效率计算本文协议的效率[11-12]：

其中，qs表示通信中共享量子态的量子比特数量，qt和bt分别表示通信过程中传输的量子比特数量和进行交换信息所使用的经典比特数量。对于量子比特效率定义为：

这里qu表示有用的量子比特数量，qt是传输的全部量子比特，通常结合ε和η两个参数评估效率。另外，由于HQIS的安全性需要依赖建立安全的量子信道来保证。因此，在发送者分发粒子的过程中需要随机插入一些诱骗态粒子用于检测是否存在窃听者。而用于检测窃听的诱骗态，通常仅占总数的一小部分，理论上可以忽略不计。表3给出了本文协议的效率ε和量子比特效率η。

4 对比分析

自2010年，Wang等人[1]首次提出HQIS的协议以来，许多研究者研究HQIS，并利用不同的量子资源作为信道实现了不同量子态的拆分。本文从分层结构、纠缠资源、分层的量子信息、量子比特以及采用的恢复操作等方面进行对比总结。表4给出了已有方案和本方案的一个对照表。

由表4可以看出，在已有文献中，HQIS协议中的共同点是对单量子比特态进行信息拆分，且在恢复操作时都采用简单的Pauli操作，不同点是每种方案使用不同的纠缠资源作为量子信道，实现不同分层结构的HQIS协议，因此通信中所消耗的量子比特数量不同。

表3 HQIS协议的效率和量子比特效率

表4 已公开发表的完美HQIS方案的对照表

在本方案中使用两对四粒子簇态作为纠缠资源，分别在3个方接收方和5个接收方之间实现了对两量子比特态的信息拆分，分层结构分别为（1，2）和（2，3）模型。

5 结 语

本文设计了一个多方分层量子信息拆分协议，与其他协议相比，优势在于：

（1）选取四粒子簇态作为量子资源，在实际制备和操作上相对易实现；

（2）目前已公开发表的文献中，分层的量子信息拆分方案中拆分的信息都是单量子比特态，而本协议拆分的是一个任意的两量子比特态，在传输信息的携带能力上是单量子比特态的2倍；

（3）提出的协议需要恢复秘密态的接收方，仅需要执行简单的单量子比特测量，在实际中具有明显优势。