单一分形与多重分形轴承故障识别算法的研究

俞凯君 许子非 李春

摘  要： 分形维是一种可以量化表征事物非线性特性的参数。本文首先介绍了单分形维数和多重分形维数。然后对采集到的高速轴承正常状态、内环及外环故障时振动信号作小波去噪处理;最后，利用编写的盒维数、关联维数及多重分形去趋势波动法算法，对去噪后的信号进行单一分形与多重分形轴承故障识别分析。结果表明：振动信号具有强多重分形特征，采用多重分形去趋势波动算法能良好识别轴承故障;对比分析可知，单一分形维在描绘非线性特征方面有局限性，多重分形在刻画动力学非线性特征方面具有一定的优点。

关键词： 分形维;多重分形;去趋势波动分析;Hurst指数;轴承故障识别

中图分类号： TH133    文献标识码： A    DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.10.003

本文著录格式：俞凯君，许子非，李春. 单一分形与多重分形轴承故障识别算法的研究[J]. 软件，2019，40（10）：1115

Study on Bearing Fault Identification Algorithm Using Single Fractal and Multifractal

YU Kai-jun， XU Zi-fei， LI Chun*

（School of Energy and Power Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

【Abstract】： Fractal dimension is a parameter that can quantify the nonlinear characteristics of things. This paper first introduces the single fractal dimension and the multifractal dimension. Then， the wavelet denoising processing was applied to the collected signals， which include the high-speed bearing under normal state， the vibration signal of the inner ring and the outer ring under fault state; finally， the signal were analyzed for single fractal and multi-fractal bearing fault identification using  box dimension， correlation dimension and multifractal detrended fluctuation analysis （DFA）. The results show that the vibration signal has strong multi-fractal characteristics， and the multi- fractal DFA can identify the bearing fault well. The comparison analysis shows that the single fractal dimension has limitations in depicting the dynamic nonlinear characteristics. Multifractal has certain advantages in characterizing dynamic nonlinear characteristics.

【Key words】： Fractal dimension; Multifractal; Detrended fluctuation analysis; Hurst exponent; Bearing fault identification

0  引言

近年来，非线性问题得到广泛关注，分形学也渗透到各个领域，因其具有完备的数学理论及应用价值得到迅速发展。分形维数作为非线性特征的一种表征手段，可有效描述事物的非线性特性，同时，它也可作为一种事物非线性量化度量参数[1]。

分形是指不规则的、分数的物体，可以认为局部和整体存在一定意义上的相似[2]，且具有自相似性与无标度性的特性[3]。分形维数以数值形式的出现，其量化具有直接、简单、直观等特点。目前，分形分为单重分形与多重分形两类。单分形中有许多关于分形维数的定义，包括自相似维数、Hausdorff維数、盒维数、信息维数和关联维数等。相对于单分形，多重分形定义在在分形上由多个标度指数的奇异测度所组成的无限集合，可反映信号整体分形结构上概率测度分布的比例不均匀性，可提升对信号几何特性及局部尺度的刻画精度[4]。

分形维数是轴承故障诊断领域中主要的故障特征量[5]。本研究利用编写的盒维数、关联维数及多重分形去趋势波动法算法，对去噪后的信号进行单一分形与多重分形轴承故障识别分析。

1  单分形维数

1.1  盒维数

基于集合覆盖思想所提出的盒维数计算因计算过程简单而被应用广泛。设是的非空有界子集，记表示最大直径为且能覆盖集合的最少个数，则的盒维数定义为[6]：

（1）

设离散信号，是维欧式空间上的闭集。用尽可能细的网格划分，是集合的网格数。由于式（1）无法直接按定义求出，因此计算时采用近似的方法。以网格为基准，逐步放大到网格，其中。

（2）

（3）

式中：;为采样点数; ;为离散空间上的集合的网格计数。

在图中确定选取线性较好的一段为无标度区，设无标度区的起点和终点分别为、，则：

（4）

最后，用最小二乘法对数据进行拟合求得该直线的斜率：

（5）

盒维数为：

（6）

1.2  关联维数

关联维数从点与点之间相关性出发，可反映集合各数据点的相关性。1983年，最早由Grassberger和Procaccia根据嵌入理论和重构相空间思想，提出了一种由时间序列直接计算关联维数D的算法，即G-P算法[7-8]。

长度为N的时延法可以构成长度为、维数为m的相空间。重构相空间的维数m称为嵌入维数。设原始信号时间序列为，重构相空间矩阵可表示为

（7）

式中，为延迟时间;，为重构相空间中向量的个数，。关联维数可由式（2）导出，即：

（8）

式中，;H为Heaviside函数， ;r为相空间中超球半径;为两矢量间距离。是信号的相关积分，与r存在以下关系：

（9）

式中，当时，为关联维数，为：

（10）

2  多重分形

多重分形对于单分形，从多尺度角度刻画非线性程度[9]。

2.1  广义Hurst指数

针对振动信号时间序列，MF-DFA[10]计算步骤如下：

（1）求振动信号时间序列对于均值的累积离差：

（11）

式中：为时间序列的均值。

（2）将划分为长度为s的m个等长子区间，m=int（N/s）。由于N不一定整除s，因此再从的反方向重复这一过程，即得到2m个等长子区间。

（3）采用最小二乘法拟合每一子区间的均方误差。当时，

（12）

当时，

（13）

式中：是第v个子区间的r阶拟合多项式，拟合阶数r反映了“趋势”被消除的程度，阶数越高，“趋势”消除效果越好，但会增加计算时间。

（4） 对2m个子区间，定义q阶波动函数为：

（14）

当q=2时，MF-DFA即为标准DFA方法。

（5）改变子区间长度s的大小，重复步骤（1）～（4）。若时间序列存在长程相关性，则q阶波动函数与s之间存在如下幂律关系：

（15）

若时间序列只具有单重分形特性时，广义Hurst指数为常数，且当时间序列不相关或短程相关时，=1/2;当时间序列存在多重分形特性时，与q呈非线性关系。

2.2  多重分形谱

根据标准配分函数可得标度指数，其与广义Hurst指数之间的关系为：

（16）

根据统计物理中的Legendre变换式，可得奇异指数和谱函数分别为：

（17）

（18）

将式（16）代入式（17）和式（18），可得多重分形谱奇异指数和谱函数与广义Hurst指数之间的关系如下：

（19）

（20）

根据谱函数可判断时间序列分形特征。当为常数时，时间序列具有单重分形特征;若变化规律为单峰值曲线，则该时间序列具有多重分形特征，将的区间记为。

3  实验数据分析

3.1  数据来源及处理方法

通过对风力机增速箱中加装传感器，分别采集高速轴轴承正常状态、内环及外环故障时振动信号，采样频率为1000 kHz。通过MATLAB2018b编程實现对信号的小波去噪，自编写盒维数、关联维数及多重分形去趋势波动法算法，处理去噪后的信号并进行结果比对。

3.2  数据降噪处理

采用小波降噪方法，对轴承三种状态进行降噪处理，处理前后的正常状态，发生内环及外环故障时振动信号如图1与图2所示。

由图1与图2可知，未经处理的正常、内圈及外圈轴承振动信号的最大值分别为6.75 m·s–1、7.85 m·s–1及7.83 m·s–1;经小波降噪处理后的最值分别为6.6 m·s–1、7.15 m·s–1及7.38 m·s–1，使得正常与故障间区分度变大。

3.3  盒维数分析

由表可知，三种状态的分形维数各不相同，其中内环故障分形盒维数最小，外环故障的分形盒维数最大，但是仅单分形盒维数难以区分正常及外环故障的状态。

3.4  关联维数分析

对不同状态的轴承振动信号进行关联维数分析，不同嵌入维数m下的变化关系曲线如图3所示，轴承不同工作状态下振动信号关联维数随嵌入维数变化关系如图4所示。

如图3可知，较大尺度导致关联积分保持不变，双对数曲线平行与坐标轴，并称其为无标度区间，采用最小二乘拟合法得到关联位数。

由图4可知，当嵌入维数大于24时，关联维数趋于稳定。轴承处于不同状态时，其振动信号关联维数亦有所不同。轴承处于正常状态时，取两位有效数字，其振动信号关联维数为4.0;而当轴承分别发生内环或外环故障时，其振动信号关联维数分别为3.0与4.7。因此，关联维数较分形盒维数可较好区分故障状态。

3.5  广义Hurst指数分析

采用多重分形去趋势波动法分析三种轴承状态，其广义Hurst指数随标度变化如图5所示。

由图5可知，广义Hurst指数随q非线性变化，表明振动信号具备多重分形特征，且可良好区分三种状态。

3.6  多重分形谱分析

在分析振动信号的标度指数与广义Hurst指数后，可明显判定风力机齿轮箱轴承振动信号具有典型的多重分形特性。计算振动信号多重分形谱，其结果如图6所示。

风力机齿轮箱轴承振动信号的多重分形谱均呈单峰钟形，此特点充分说明振动信号具有明显的多重分形特性，且不同波形相差明显，可区分不同的轴承状态。

4  结论

本文采用两种单重分形算法（盒维数与关联维数）对不同工作状态轴承信号进行分析，同为描述非线性特征的盒维数仅能区别内圈故障信号与其余状态，但关联维数在区分三种故障状态时表现较好。又采用多重分形去趋势波动方法刻画振动信号在不同标度下广义Hurst指数变化与多重分形谱，结果表明：振动信号具有强多重分形特征，且能良好区分轴承三种工作状态;对比分析可知，单一分形维在一定程度上难以准确描绘出非线性特征，多重分形在刻画动力学非线性特征方面具有一定的优点。

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