变系数复mKdV方程的孤子动力学模拟

昌霞　雷宇　谭家宁　唐炳

摘 要：本文使用达布变换求得了包含“增益”或者“损耗”部分的变系数复mKdV方程的单孤子和双孤子解。另外，利用Mathematica软件，模拟了孤子随时间演化的动力学行为。

关键词：变系数复mKdV方程;可积系统;孤子动力学

中图分类号：O 411文献标识码：A

复数形式的mKdV方程最早在等离子体物理学被发现。现如今，这个方程已经广泛应用于等离子体、分子链以及非线性光学超短脉冲等物理體系的相关理论问题的研究中。理论上，复mKdV方程及其实数形式都可为可积的非线性方程。通过采用双线性方法或达布变换，多数研究者能够找到变系数复mKdV方程的孤子解、呼吸子解、有理数解甚至怪波解。[1]本文将主要关注包含“增益”或“损耗”项的变系数复mKDV方程，即qt+f（t）qxxx+6g（t）|q|2q-0.5h（t）q=0，其中h（t）为“增益”或“损耗”系数。

1 达布变换和孤子解

本文使用达布变换[2]并借助Mathematica软件进行符号运算来寻找变系数复mKdV方程的单孤子解和双孤子解。若用q=0作为种子解，借助一阶和二阶达布变换，分别能够求得此方程的单孤子解和双孤子解。

在图1中，用达布变换求解得到的单孤子和双孤子解的具体形式被完整的展示出来。注意到，这些孤子解的形式与其他文献中变系数复mKdV方程不一样。而且，使用Mathematica软件进行验证的结果表明求得的孤子解为精确解，即代入原方程能够保证其成立。

2 孤子动力学模拟

在这节中，选择常数非线性（即g（t）=1），并设置色散为周期性的（f（t）=sin（t）），使用符号计算软件对单孤子和双孤子的动力学演化进行模拟。图2展示了单孤子和双孤子的三维演化图。由于h（t）在此参数限制下为周期函数，“增益”和“损耗”交互变化，于是孤子的行为也表现出周期性行为。

（a）单孤子

（b）双孤子

图2 孤子演化图

3 结论

本文使用达布变换，得到了包含增益”或“损耗”项的变系数复mKDV方程孤子和双孤子的严格解。另外，使用符号计算软件模拟了单孤子和双孤子的动力学行为。结果表明：若选择特定的参数，孤子的动力学演化呈现出周期性。

参考文献：

[1]V.N.Serkina，T.L.Belyaevab，Novel conditions for soliton breathers of the complex modified Korteweg-de Vries equation with variable coefficients[J]，Optik，2018，172：1117-1122.

[2]谷超豪，胡和生，周子翔.孤立子理论中的达布变换及其几何应用[M].上海：上海科学技术出版社，2005.

基金项目：国家级大学生创新创业训练计划项目（项目编号：201810531014）

作者简介：昌霞（1998-），女，2016级物理学专业本科生，研究方向：可积系统;雷宇，2017级物理学专业本科生;谭家宁，2016级物理学专业本科生;唐炳，博士，副教授，研究方向为理论物理。