基于单元定数截尾数据信息融合的串联系统可靠性的贝叶斯分析

马建军　王立君

摘 要：为了解决小子样成败型串联系统可靠性评估的问题，本文基于单元定数截尾数据，利用Monte-Carlo方法，提出了模拟先验分布的方法，給出了融合单元信息的成败型串联系统可靠性评估的贝叶斯方法。

关键词：成败型试验;串联系统可靠性;定数截尾数据;贝叶斯估计

0 引言

在系统可靠性评估中，由于系统复杂、昂贵，获得系统的试验数据是很困难的。一些系统将单元集成之后，只能进行成败型的试验，如炮弹、导弹等一些军工产品。在成败型试验可靠性评估中，若样本容量为n，失败次数为f，置信水平为γ，可靠度的单侧置信下限由下式计算

当时，有，得，n为所需试验最少次数。成败型试验中失败次数为零时，当，时，n=16，当γ=0.90，时，n=22，当γ=0.80，0.95时，n=32，当γ=0.90，0.95时，n=45。

结果说明成败型数据所包含的信息量少，需要进行大量试验才能保证给定的置信水平。而且可靠性越高，试验样品越多。若条件限制不允许进行大量的试验，汇总各方面的信息进行综合评估的方法是评估系统可靠性的主流方法。

1 指数单元串联系统的可靠性

考虑由多个单元串联构成的系统，例如某型导弹可以按主要功能分为推进单元、控制单元、毁伤单元等多个单元。根据已有的单元数据，可以获得系统的可靠性先验信息。

假定系统由m个单元组成，每个单元的寿命服匀从指数分布，其密度函数为

在t0时刻第i个单元的可靠度为

记m个单元串联系统的寿命为，则～Exp（λ1+

λ2+λ3+…+λm），其中Exp（λ）表示参数为λ的指数分布。

假设对第i单元有ni次独立观测，其中有ki次失效，它们的失效时间记为，

则参数的极大似然估计（MLE）为

其中第i个单元的为总失效时间，。且有[1]

根据极大似然估计的不变性，m个单元串联系统寿命分布参数λ的极大似然估计为。

若m单元定数截尾观测都是独立的，则有

（1）

则串联系统的可靠性的极大似然估计为。

2 系统可靠性的Bayes估计

假定m个单元组成串联系统，单元寿命服从指数分布。如果需要评估在t0时刻的系统可靠性，只要利用先验信息估确定先验分布中参数a，b即可。在这一节中，在给定试验数据下，利用Monte-Carlo方法来估计参数。

在给定数据时，可以认为。此处用到了信仰推断的思想，认为参数是一个随机变量。我们从分布中抽取随机数，利用矩法估计参数。具体步骤如下：

（1）分别从分布中抽取一组随机数，，;

（2）计算，;

（3）对于给定的时刻t0，将代入下式计算Rs（t0），

（4）计算Rs（t0）的均值与方差

（5）估计参数，利用贝塔分布数学期望与方差的公式[2]

可以得到参数的估计为

3 可靠性的Bayes可信下限

假定系统可靠性的先验分布为贝塔分布，记为，密度函数为

其中a和b为验前超参数，，。

若成败型系统进行了n次独立重复试验，试验中成功x次，则系统可靠性的后验分布为，

其后验均值与后验方差分别为[3]

根据BAYES准则[4]得到可靠性的点估计为

给定可信度为γ，系统可靠性的可信下限是分布的上γ分位数，即

4 实例分析

某型号系统由三个单元串联构成。历史数据对单元一的寿命共有160次观测，在5年内共有40个观测失效，失效时间记录为：0.1，0.1，0.2 ，0.4 ，0.4，0.7，0.8，0.8，1.1，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.9，2.1，2.1，2.3，2.7，2.9，2.9，3.0，3.1，3.2，3.3 3.6 ，3.7，3.8，4.0，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.6，4.7，4.7，4.9。对单元二进行了120次独立观测，在4年内共有26个观测失效，失效时间记录为0.1，0.1，0.2，0.2，0.7，1.0，1.1，1.2，1.2，1.4，1.7，2.2，2.2，2.3，2.4，2.5，2.5，2.6，2.7，2.7，2.8，3.2，3.3，3.6，3.7，3.8。对单元三进行了90次独立观测，在2年内共有8个观测失效，失效时间记录为0.1，0.1，0.4，0.7，1.2，1.6，1.7，1.9。

下表中的符号：t0系统工作时间;，系统先验分布的参数;n试验的次数，x表示n次试验中成功的次数;表示系统可靠性的Bayes点估计，1-α表示可信度，RL表示可信度为Bayes可信下限，在这里可信度均取0.9。

5 结论

Bayes方法是系统可靠性小子样评估的有效方法，由于单元寿命分布数据容易获得，所以本文提出的方法是一种行之有效的评估方法，并且本文提出的方法可以由单元寿命数据确定任意时点的系统可靠性的先验分布。

参考文献：

[1]蔡洪，张士峰，张金槐.Bayes试验分析与评估[M].国防科技大学出版社，2004.9：285-339

[2]张国志，杨光，巩英海.复杂系统可靠性分析[M].哈尔滨工业大学出版社，2009.7：1-6，92-105

[3]金星，洪延姬.系统可靠性评定方法[M].国防工业出版社，2005.6：1-5，106-121.

[4]Pandey M， Upadhyay SK.Bayes estimation of reliability in stress - strength model of Weibull distribution with equal seale parameters [J]. Microelection Reliability， 1986，26 （2）：275-278.