基于卡尔丹公式的三层平面刚架自振频率求解

杨佳洁 周海龙

摘  要：文章从结构力学教材中的一个例题，引出对三层平面刚架自振频率计算的思考，分析了目前一元三次方程的解法，给出了“卡尔丹公式”简明的推导过程，巧妙地将其应用于求解结构力学中三层平面刚架的自振频率问题，为研究刚架的主振型提供了方便。

关键词：一元三次方程;刚架;自振频率;卡尔丹公式

中图分类号：TU311.3 文献标识码：A 文章编号：2095-2945（2019）32-0005-03

Abstract： This paper draws on an example of structural mechanics teaching material， and leads to a reflection on the calculation of the self-vibration frequency of the three-layer plane rigid frame， and analyzes the solution of the current unary cubic equation， and gives a concise derivation process of the Cardan Formula. In addition， the author ingeniously applied Cardan Formulas into solving natural frequency for three-layer plane frame in structural mechanics， which provided convenience for main vibration mode research of frame.

Keywords： unary cubic equation; frame;natural frequency; Cardan Formula

《結构力学》[1]教材中动力学部分涉及多层刚架自振频率的计算与主振型的确定问题，对于三层的平面刚架，就会出现一般形式的一元三次方程求解的问题，作者针对此问题，查阅了许多文献资料，发现利用“卡尔丹公式”进行求解，不仅形式简单，而且便于记忆，笔者将其用于计算三层平面刚架的自振频率，并给出了简明的推导过程，为此类问题的解决提供了参考。

1 问题的提出

式（1）为一个一元三次方程，由此可以看出，体系自振频率？棕的计算问题转化为上述一元三次方程根？浊的求解问题。

2 一元三次方程的求解

对于形如式（2）的一元三次方程解法有数值解法[2]（包括弦截法、牛顿迭代法（或称为切线法）和二分法）、解析法（包括试算法、因式分解法、卡尔丹公式法[3]、盛金公式法[4]和换元法[5-6]）、图解法（包括笛卡尔方法[7]）。

数值解法需要经过多次迭代，才可以求得近似解，一般用自编的程序进行计算;解析法中的试算法与因式分解法适用于特殊形式的一元三次方程，使用具有一定的局限性;盛金公式虽然比较完美地诠释一元三次方程的根及个数的确定，但应用上不方便;换元法，通过引入三角函数或者引入新的变量，多次替换，显得很繁琐，而且很费解;笛卡尔方法，它是利用平面解析几何的理论，通过圆与抛物线y=x2的交点来求解一元三次方程或一元四次方程，但计算工作量大，而且容易出错;卡尔丹公式，不仅形式简单，而且与大家先前熟悉的一元二次方程根的形式特别相似，判别式也非常简单，从工程应用的角度讲，它具有其他方法无可比拟的优越性。

以下给出“卡尔丹公式”求解一元三次方程解的通俗易懂的推导过程。

（1）当？驻>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根;

（2）当？驻=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根;

（3）当？驻<0时，方程有三个不相等的实根。

以上的推导过程是以p，q为实数的情况，当p，q为复数时，卡尔丹公式也成立。

于是，可以用卡尔丹公式（15）计算频率方程（1）的根为

然后按照《结构力学》中的方法计算主振型。

3 结论

一元三次方程的解法很多，但从工程应用的角度看，作者认为卡尔丹公式不仅形式简单，而且很有规律性，容易被使用者记住，在三层刚架自振频率与主振型的计算中是值得推崇的方法。此外，作者也给出卡尔丹公式的清楚易懂的证明过程，为了更好地理解与记忆该公式起到了很好的帮助作用。

参考文献：

[1]周竞欧，朱伯钦，许哲明.结构力学（下册）（第三版）[M].上海：同济大学出版社，2014.

[2]朱小琨.用计算机方法求一元三次方程的根[J].高等函授学报（自然科学版），2003，16（5）：15-18.

[3]邢富冲.一元三次方程求解新探[J].中央民族大学学报（自然科学版），2003，12（3）：207-218.

[4]范盛金.一元三次方程的新求根公式与新判别法[J].海南师范学院学报（自然科学版），1989，2（2）：91-98.

[5]段堰工.一元三次方程的一种解法[J].南都学坛（自然科学版），1992（1）：113-115.

[6]魏映雪，袁仲贤.一元三次方程的一个新解法[J].天津师大学报（自然科学版），2000，20（3）：46-50.

[7]A.D.亚历山大洛夫.数学它的内容、方法和意义[M].北京：科学出版社，2001.

基金项目：内蒙古自治区教育科学“十三五”规划课题（编号：NGJGH2018063）;内蒙古自治区研究生教育教学改革研究与实践项目（编号：YJG20181012902）

作者简介：杨佳洁（1984-），女，硕士，高级讲师，研究方向：力学与工程测量。

*通讯作者：周海龙（1981-），男，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：力学与土木工程。