基于ARIMA模型和残差自回归模型的安徽省城乡居民PCDI分析与预测

宋 亮吴 杨

（1.安庆师范大学，安徽 安庆 246133；2.铜陵学院，安徽 铜陵 244000）

一、引言

为了了解安徽省城乡居民人均可支配收入的发展成果和发展趋势，本文获取了近38年以来安徽省城镇和农村PCDI数据。在我省改革开放以来经济的长足发展的背景下，预防收入差距的扩大也是社会越来越关注的话题。从历年数据上来看，安徽省城乡收入差距已然亟待有效的控制，如果把实物性收入和补贴都算入个人收入的一部分，那么实际上的城乡收入差距问题将更为突出（李实，2003）[1]。保障城乡居民收入持续增长趋势的同时，政府应当避免城乡收入差距进一步扩大，以此实现安徽省城乡协调可持续发展。本文为了研究安徽省城乡居民人均可支配收入的发展，采用纵向的时间序列视角观察了安徽省城乡居民收入的差距的动态变化数据，并用两种一元时间序列分析方法对PCDI数据进行了分析，对数据的模型拟合进行了优化，以达到更好的预测效果。

二、安徽省城乡居民收入差距现状分析

我们根据政府工作网站所获取的数据统计了1981-2018年以来的安徽省城乡居民收入情况，我们尝试基于R3.6.0软件对38年安徽省城乡居民人均可支配收入情况进行绘制，以判断安徽省城乡均衡发展状况，如图1所示。

图1 1981-2018年安徽省城乡人均可支配收入情况

从图1可以明显看出，安徽省城镇居民和农村居民人均可支配收入（PCDI）均呈逐年上升趋势，图表清晰地反映了改革开放以来安徽省城乡居民生活水平有了长足的提高。

但以2002年为节点来看，农村居民的PCDI在增长速度上相较于城市居民有一定程度的落后。原因在于城市居民得益于所在区域经济的更快速发展，人均可支配收入每年的增长率大部分时间都高于农村居民；而且从02年以后我们可以明显地看到农村居民人均可支配收入绝对值与城市居民之间存在较大差距。我们需要解决的是如何在保障城乡居民收入持续增长趋势的同时避免城乡收入差距进一步扩大、从而实现更高水平的城乡协调可持续发展，并据此分析了三十八年间安徽省城乡居民人均收入比的变化情况，见图2。

从图2中我们可以得出结论，近22年来城乡居民人均收入比在2007年以前呈扩大趋势，这一现象在07年以后显著扭转，似乎说明政府更加重视城乡协调发展，致力于缩小城乡收入差距[2]。结合图1和图2我们可以发现在维持城乡居民收入增长的同时，07年以来安徽省城乡收入差距的缩小主要归因于农村收入的持续增长。

图2 1981-2018年安徽省城乡人均可支配收入比

三、基于ARIMA模型对安徽省城乡收入比的预测

（一）模型的建立

首先我们对安徽城乡收入比序列做出平稳性的判断。根据图2我们发现安徽省城乡收入比序列具有一定的趋势性，经过测试我们对序列做二阶差分运算，效果如下：

图3 1981-2018年安徽省城乡收入比2阶差分序时序图

我们对二阶差分后的序列通过自相关图和ADF检验判断其平稳性。自相关图如下方左侧所示，Dickey-Fuller值为-4.204,7，结果显示序列平稳性显著（p-value=0.013,14）。偏自相关图如下方右侧所示，根据平稳后的二阶差分序列时序特征显示，可以进行时间序列模型的拟合和分析。

图4

（二）模型的检验与预测

经过平稳后的二阶差分序列时序特征判断，我们选定二阶差分进行时间序列模型的拟合和分析。根据差分运算之前的序列建立安徽省城乡收入比序列 ARIMA（0，2，1）模型，检验效果显示，所建立 ARIMA模型AIC值很低，各项指标显示模型有效。

表1

所建立的模型如下：

接下来我们对据此建立的模型进行残差白噪声检验。得到白噪声序列，就说明时间序列中有价值的信息已被充分提取，剩下的信息均为无法预测和使用的随机扰动。残差序列如果通过了白噪声检验，则建模终止；如果残差不是白噪声，就说明残差中还有有用的信息，需要修改模型或者进一步提取。我们根据Box-Pierce test检验显示：X2=13.641，P值高度显著（p-value=0.0002214）判断模型通过检验。接下来我们用R3.6.0软件对模型进行预测：

图4

上图左侧为安徽省城乡收入比序列预测图，右侧为对应未来十年安徽省城乡收入比预测。根据预测的结果我们可以看出安徽省城乡居民收入比将进一步下降，城乡发展趋于均衡，但是城乡居民人均可支配收入之间仍有一定差距。

四、基于残差自回归模型对安徽省城乡收入比的预测

（一）拟合关于时间的线性回归模型

残差自回归（auto-regressive）模型是首先通过确定性因素分解方法提取序列中重要的确定性信息，观察残差序列的自相关性，以弥补ARIMA模型在差分过程中提取确定性信息时再模型直观解释上的缺憾[3]。在之前的观测中我们发现安徽省城乡收入比序列疑似具有确定性趋势，我们可以通过残差自回归模型来对其进行进一步的解释[4]。首先我们拟合关于时间的安徽省城乡收入比线性回归模型，并对其进行效果检验，观察发现模型对时间的敏感性很小，回归模型具有固定效应。

（二）残差自相关性模型的检验和拟合

在R3.6.0中我们加载LMTEST程序包以对残差自回归模型进行检验，在Durbin-Watson检验中备择假设为“模型的真实自相关程度大于零”，检测结果显示DW值为0.2193,P值非常显著（p-value=2.827e-16）。

接下来我们对模型的自相关性和偏自相关性进行绘制，同时比较残差自回归模型的统计特征图，我们得出结论，模型符合正态分布的假设。为了进一步提取模型残差的充分信息，我们根据残差自回归模型的偏自相关特征建立 ARIMA（1，0，0）模型，检验效果显示，所建立的ARIMA模型AIC值很低，各项指标显示模型有效。

表2

图6

表3

所建立的模型如下：

综合前面的分析，对1981-2018年安徽省城乡收入比序列我们可以用如下残差自回归模型进行拟合：

最后我们对残差自相关模型进行显著性的检验，Box-Pierce检验效果显示=26.897,P值非常显著（p-value=2.146e-07）。据此可以表明我们对原序列的残差自回归模型信息已作出充分的提取。

五、结语

结合上文对近38年安徽省城乡居民人均可支配收入分析，利用ARIMA模型建立的时间序列模型拟合了安徽省城乡居民收入差距的发展趋势，模型通过博克斯-皮尔斯检验；并对城乡收入比序列的残差进行了自回归模型的分析。通过模型的预测我们得出结论：未来十年安徽省城乡居民收入比将进一步下降，城乡发展趋于均衡，但是城乡居民PCDI仍有一定差距，未来较长时间内安徽省城镇居民仍将高出农村居民的人均可支配收入两倍左右。通过以上的模型我们更易于直接解释安徽省城乡收入比的波动趋势：在07年以前不断扩大，07年年以后，安徽省城乡居民收入差距得到一定的控制，并从11年以后快速下滑；14年城乡收入比趋于平稳，未来将稳定下滑至2倍差距附近。同时，模型还受到诸多随机因素的影响，导致随机波动序列有不明显的短期自相关性。