基于差分法研究热辐射强度与距离的关系

杨东侠，刘安平，欧 琪，杨骏骏，张选梅，何光宏，韩 忠

(物理国家级实验教学示范中心(重庆大学)，重庆 401331)

测定热辐射强度与距离关系是近代物理实验中热辐射综合实验的重要内容之一，在热辐射成像实验中，测定热辐射强度-距离关系采用直接测量拟合法：在辐射源前选择几个不同的距离点直接测量辐射强度，然后根据数据拟合辐射强度-距离关系，这种处理方法得到的结果比较粗糙，也没有考虑空气对实验的影响，导致热辐射值测量不准确. 本文考虑了空气的影响后，改进了实验方法，采用差分方法推导，计算其影响因子. 由于均匀介质对电磁波的吸收函数形式已知为指数形式[1]，该方法需预设热辐射强度与距离的关系为未知幂次的幂函数造成了一部分的失真，得到辐射强度-距离的分段近似公式，并且可以得到空气对辐射的吸收因子.

1 数学推导

不考虑空气影响时，根据斯特藩-玻尔兹曼定律,单位面积的黑体辐射强度I与绝对温度T的关系为[1-4]

I0=αT4.

(1)

考虑空气的影响时[1]有

I=αT4e-μ d,

(2)

其中，e-μ d为在空气中的衰变因子，α为与距离有关的系数，设

α=α0dm，

(3)

代入式(2)有

I=α0dmT4e-μ d.

(4)

对式(4)两边取对数，有

lnI=ln (α0T4)+mlnd-μd，

(5)

再对距离d求偏导数，得

(6)

(7)

2 实验测量

实验器材如图1所示，包含DHRH-1测试仪、黑体辐射测试架、红外热辐射传感器、光学导轨(60 cm)、计算机软件以及专用连接线等.

图1 热辐射实验仪器

调节实验仪，将温度设置在80 ℃，选择辐射体的黑面并转动到正对红外传感器，以20 mm处设置为辐射体与接收器的零点距离，每次增加距离10 mm，依次测量辐射强度. 探头位置x及对应的辐射强度I数据如表1所示. 辐射源位置：40 mm.

表1 探头位置x和辐射强度I的实验数据

3 数据处理

图2 散点图

图3 面源热辐射示意图

又由能量守恒可知，与热源距离不同而且平行于热源的不同平面上的辐射强度不变. 假设该辐射强度为k，此时再考虑空气的影响，则辐射强度为

I=ke-μ d.

(8)

对式(8)两边取对数,再求导,得

(9)

图4所示为将反常点除去后用其余的点做最小二乘法拟合的直线.

图4 去反常点的拟合直线

4 误差分析

设实验结果中测量的误差为Δ，有

lnI=Δ+ln (α0T4)+mlnd-μd，

(10)

求导后用差分代替导数后,新增加了二阶误差项ο(h2)，有

(11)

因为最小二乘法的计算方法是令所有的拟合项yi与原数据项axi+b的误差项为

εi=yi-(axi+b)

的平方和最小，而该差即为ο(h2)+Δ′，尽管使用了差分方法处理数据，但其误差与传统的误差相同，用传统方法做误差分析时差分误差也会被包含进去，所以不需要单独分析.

令

用最小二乘法的误差计算方法可得

σγ=0.000 23,σμ=0.000 15，σm= 0.028，

μ和m的相对偏差分别为8.2%和3.5%. 可以看到所得的μ与m比较准确.

实验得出辐射距离在10～34 cm区间时，考虑空气的影响时辐射强度与距离的关系为

I∝d-0.893T4e-0.001 5d；

(12)

如果不考虑空气的影响时，辐射强度与距离的关系为

I∝d-0.893T4.

(13)

5 结 论

在数学推导中假设了α=α0dm的关系，将面热源近似处理为点热源，效仿点热源的情形直接用幂函数进行拟合. 但是幂函数形式的热传递关系只适用于点热源，而实验中所用的是面热源，可以预见当距离d越来越大时m会逐渐趋向于-2(点热源的辐射强度与距离的关系)；当距离很近或很远时形状不规则的热源的热辐射与距离的关系都可近似为标准的无限大平面或点热源模型，此时关系是清晰的常值或平方反比关系；而一般情况下实验的辐射距离d是有限的距离范围，在该范围内并非严格遵从辐射强度与距离平方的反比关系(m>-2). 通过差分方法推导，拟合出了在考虑空气的影响时，热辐射强度与距离的关系，经过误差分析，计算得到较为准确的空气吸收因子和距离影响因子.