高速磁悬浮直线感应电机高精度推力控制

姜岐广，曲诗健，姜 涛，夏 野

(中车大连电力牵引研发中心有限公司，辽宁 大连 116022)

0 引 言

磁悬浮车辆由于其机械摩擦小、噪声小、无机械的传动装置，较小的整车横截面积，能大大的降低隧道的构造成本等优点，自20世纪60年代起，吸引了世界范围内的广泛研究。而直线感应电机(Linear Induction Motor，LIM)不仅有常规直线电机推力不依赖于静摩擦力，爬坡能力强、转弯半径小等特点，其次级由铝层和铁板复合而成，初级由绕组构成，电机成本较低，且过载能力强，因此常作为磁悬浮驱动系统中的驱动电机而备受关注[1]。

但目前直线感应电机普遍存在高速时推力精度低且波动大[2-3]，模型不准，参数变化明显等问题[4-5]。在大功率应用场合，受限于现有开关管的损耗问题，其开关频率通常小于1 kHz,进一步增加了电流谐波，降低了推力精度以及电机运行效率。针对上述问题，本文首先通过有限元仿真验证了直线感应电机在高速运行时特有的端部效应，分析了电感参数随速度的变化规律。其次，详细的推导了考虑端部效应的直线感应电机动态数学模型和净推力方程，基于此，设计了电机的控制器和磁链观测器。然后，设计了基于锁相环的同步电压空间矢量调制方式进一步减少低频谐波。最后，在半实物实时仿真平台dSPACE上搭建了考虑边端效应的直线感应电机的模型，通过硬件在环仿真验证了所提出的控制系统的有效性。

1 直线感应电机数学模型

1.1 纵向动态端部效应

与旋转感应电机相比，直线感应电机具有独特的端部效应。由于该效应的存在，直线感应电机的数学模型、控制策略均比旋转感应电机更加复杂。直线感应电机的端部效应分为横向端部效应与纵向端部效应两类。在样机的初级铁心宽且次级导电层比初级铁心宽很多时，可以忽略横向端部效应而仅考虑纵向端部效应[1]。纵向端部效应包括纵向静态端部效应与纵向动态端部效应，当极数大于或等于6时，纵向静态端部效应可以忽略。因此，本文仅考虑纵向动态端部效应的影响。

图1 纵向端部效应示意图

纵向端部效应的影响如图1所示。在图1所示的短初级直线感应电机中，次级固定，初级三相绕组产生一个以同步速vs向左运动的磁场，初级则以速度v向右运动。根据电磁感应定律，在入端的次级导电板内将感生涡流，该涡流产生的磁场将反抗由初级引起的磁场增加，削弱端部磁场。同理，在出端的次级导电板也将感生涡流，但是该涡流产生的磁场将使端部磁场得到加强。

图2 次级电流分布

纵向动态端部效应影响下的次级电流分布如图2所示。图中，Im、I2e分别表示励磁电流、端部涡流，二者合成后的次级电流用Ime表示。

1.2 直线感应电机的等效电路与数学模型

纵向动态端部效应使直线感应电机的等效励磁电感减小，同时引起出端与入端的涡流损耗，该项损耗可用励磁支路上的电阻表征。等效励磁电感与的变化规律为

(1)

式中，Lm为初级静止时的励磁电感，

(2)

(3)

式中，D为初级有效长度，Rr为次级电阻，Lr为次级等效自感。

励磁支路上电阻的变化规律为

Re=Rrf(Q)

(4)

方便推导，令

Km=1-f(Q)

(5)

直线感应电机的T型等效电路如图3所示。其中，Rs为初级电阻，Lsσ、Lrσ分别表示初级漏感、次级漏感。纵向动态端部效应的影响在T型等效电路中表现为励磁电感与励磁支路电阻随初级速度变化而变化。励磁电感与励磁支路电阻的改变增加了直线感应电机模型的复杂度，不利于直线感应电机的控制。

图3 直线感应电机T型等效电路

利用坐标变换与磁场定向，可以得到按次级磁场定向MT轴系下的直线感应电机磁链方程与电压方程。磁链方程为

(6)

式中,大写下标M、T表示初级物理量，小写下标m、t表示次级物理量，且

(7)

(8)

电压方程为

(9)

式中，p表示微分算子，ωs、ωf分别为同步角频率、转差角频率。

根据上述磁链、电压方程，联立

(10)

可得次级磁链与M轴初级电流之间的关系为

(11)

其中，

(12)

联立

(13)

可得转差角频率与T轴初级电流之间的关系为

(14)

2 高精度推力控制器

2.1 MT轴电流指令值给定

磁悬浮直线感应电机运行过程中，初级电流一定时，随着电机转差频率变化，电机电磁推力和法向力波动非常大[6-7]。釆用恒转差频率控制方式，选取适宜的恒定转差频率可以实现电磁推力和法向力的最优控制组合，使电机的电磁推力得到有效利用，法向力值较小且在磁悬浮系统允许范围内波动[8]。在恒转差频率控制方式下，MT轴电流指令值的求解实际上就是根据电磁推力指令值与转差角频率指令值计算MT轴电流指令值的过程。电磁推力、转差角频率、次级磁链三者之间的关系为

(15)

由式(15)可得

(16)

由式(11)可知，稳态下

(17)

由此可得

(18)

由式(14)可得

(19)

定义控制模式1：考虑纵向动态端部效应的全部影响；控制模式2：考虑纵向动态端部效应的部分影响，即忽略次级端部涡流损耗，励磁支路电阻为零；控制模式3：不考虑纵向动态端部效应影响。控制模式1对应的MT轴电流指令值已经给出，其余两种控制模式的推导类似。三种模式下MT轴电流指令值的计算公式如表1所示。

表1 恒转差频率控制MT轴电流指令值给定

2.2 滑模控制器设计

大功率逆变器中的低开关频率增加了系统的延时，限制了电流控制器带宽的提升，且直线感应电机参数变化明显，仅仅基于前馈项的传统PI电流控制器将导致控制系统的稳定性和动态性能大大降低，为提高系统的动态响应和对参数的鲁棒性，本文提出的滑模控制器能很好的满足要求。

所提出的控制器数学表达式如下：

(20)

(21)

为证明所提出的控制器能保证系统的稳定性，定义滑模面S=[s1s2]T，其中：

取李雅普诺夫函数为

(22)

显然其为正定的，其导数为

将式(8)带入上式可得：

(23)

其中，

由李雅普诺夫稳定性定理，即李雅普诺夫能量函数的导数小于0，系统能收敛到滑模面的稳定点，即由上式可得能量函数的导数小于0等价于

因此，若滑模系数足够大，电流控制器能收敛至稳态值。

3 调制方式

在大功率的应用场合，逆变器的开关频率通常都低于1 kHz，在电机转速较高时，一个电周期内输出空间矢量的数量减少，导致低频谐波增加以及出现推力波动。理论分析表明采样同步空间矢量可以减小低频电流谐波。但传统的同步空间矢量调制技术在用于直线感应电机电流闭环控制时存在一些问题：直线感应电机电压矢量与转子磁链位置高度相关，在转速变化或转速测量存在误差以及磁链观测不准的情况下，传统方法选定输出的同步电压矢量可能和电机所需的电压矢量存在偏差，导致控制性能的下降。

3.1 同步调制原理

矢量控制系统中，每个控制周期开始时，电流控制器将生成一个电压指令空间矢量，在整个控制周期中，调制模块调制出该电压指令值并作用。在理想的正弦稳态下，电机的端电压构成的空间矢量应该在空间中匀速旋转的，而电流控制器生成的电压指令空间矢量可以看作对理想空间矢量的采样并逼近。根据电压指令空间矢量与同步位置误差的大小，调整该控制周期的长短，从而使下一个电压指令空间矢量更接近同步位置。多个周期之后，电压指令空间矢量将会与同步位置完全重合。其中，同步位置是事先计算好的最优位置。图4为实现同步的过程，当采样电压矢量位置超前于同步位置时，增大采样周期，使下一次采样滞后，使采样得到的矢量靠近同步位置，直至重合。在实际系统中，采样发生在调制用三角载波的底点处，一个三角载波周期为一个控制周期，且发生一次开关动作。调整三角载波的周期即可改变采样周期。图中实线空间矢量为实际输出矢量，虚线矢量为同步位置矢量，通过调整，实际输出矢量逐渐趋近同步位置。

图4 同步过程示意图

3.2 基于锁相环的同步方法

空间矢量在A相轴线上投影为一正弦波，以该正弦波相位为例进行相位同步的数学推导。正弦波相位与空间矢量相位存在这一一对应的关系，使用正弦波来表述相位同步的过程更为清晰。

相同频率下的信号才能有恒定的相位关系，故使用公式

φ1,c=Mod(φ1(N,2π)

(24)

将参考波相位折算到载波频率。式中φ1为参考电压相位,φ1,c为折算后的参考电压相位，如图5所示。

图5 参考相位与载波相位调整的过程

在t(k)时刻的采样点k，参考波相位为φ1(k)，参考波实际频率为f1，因为频率测量存在误差ef，此时的基准载波频率为N1f1(1+ef)。锁相环输出u将改变载波频率，第k个控制周期被调整为

(25)

故第(k+1)个采样点的时刻变为

(26)

此时的采样得到的参考波相位变为

(27)

由于在采样点处的载波相位始终保持不变，故载波与基波之间的相位差变化量为

(28)

因此，调整载波周期可控制载波与基波之间的相位差，使用一个PI控制器来对载波周期进行调节，其系统结构如图6所示。

图6 锁相环系统

4 仿真结果

为了更好的模拟实际的磁悬浮直线感应电机控制系统，减小因模型简化、计算延时带来的误差，本文在半实物仿真平台dSPACE的DS5203 FPGA板卡上搭建了考虑边端效应的直线感应电机数学模型，其计算步长10 ns，能精确模拟实际系统的运行状况，控制器采用了TI的TMS320F28335芯片，直线电机参数如表2所示。

表2 直线感应电机参数

控制器参数kPM=kPT=0.086，kIM=kIT=2，kSM=kST=50。控制频率为5 kHz，开关频率最高为750 Hz。电机参数如表2所示，整个控制系统的原理框图如图7所示。

图7 控制系统原理框图

4.1 不同模式下的推力比较

给定推力指令值，根据MT电流指令值计算考虑的因素不同，可分为三种模式，不同给定方式将导致实际的输出推力与给定推力出现偏差，如图8所示，其中本文提出的模式一不仅考虑了纵向端部效应导致的等效励磁电感减小的影响，同时考虑了由于次级铝板产生的涡流导致的推力下降问题，相比其他两种给定值计算方式，本方法能在全速度范围内保持推力的高精度输出。

图8 不同模式下推力精度在不同速度下比较

4.2 滑模控制器动态性能验证

为验证所提出的的滑模控制器的动态性能和稳定性，将其与传统PI带前馈的电流控制器进行比较。

推力突变由5000 N至-5000 N，图9和图10分别为传统PI电流控制器和滑模电流控制器在负载突变时的电流波形。

图9 传统PI电流控制器在高速时负载突变下的电流波形

图10 滑模控制器在高速时负载突变下的电流波形

由结果可见，当推力突变时，由于控制延时以及电机参数不准导致MT电流控制耦合严重，图一励磁M轴的指令值未发生明显的变化，而实际M轴电流反馈值出现了剧烈的动荡，严重时将影响系统的稳定性。而采用滑模控制器后，由耦合导致的电流振荡能在较短的时间内稳定下来，提高了系统的稳定性和动态性能。

4.3 不同调制方式的比较

本文提出的混合调制方式在列车低速时采样异步调制，在高速时采用同步调制，为验证高频时同步调制的有效性，将两者在同样工况下进行比较。图11为采用异步调制的波形，上图为相电流，下图为线电压斩波波形，图12同理。由图可见，在高速时采用同步调制时相电流的THD能得到一定程度减小，同时开关频率大大降低。图13为两种调制方式下初级磁链的空间矢量运行轨迹图，可以直观的看出同步调制的初级磁链谐波为规则的多边形，谐波分布较为集中，而异步调制的导致的空间磁链谐波分布较为分散，且有低频次的谐波侵入基波附近，破坏了电流波形，造成推力波动。

图11 异步调制(THD=9.1%)下相电流波形和线电压波形

图12 三分频同步调制(THD=8.62%)下相电流波形和线电压波形

图13 三分频同步调制和异步调制下初级磁链空间矢量轨迹波形

5 结 语

磁悬浮直线感应电机由于边端效应，气隙时变等影响，导致参数变化明显，给高精度的推力控制带来了挑战，本文在精确的分析数学模型的基础上，将考虑推力衰减的因素均考虑入内，提出了指令值计算的方法，并和之前的其他方法进行了对比，验证了其有效性；其次，针对负载突变的情况下，传统的带前馈的PI电流控制器耦合严重，系统稳定性和动态性不好的问题，提出了滑模控制器并证明了其稳定性；最后从调制方面，针对在高速时传统的异步调制导致电流低频成分增加，推力出现波动的问题，提出采用基于锁相环的同步调制方式，进一步有效的提升了推力的稳定性。通过dSPACE半实物仿真平台搭建了直线感应电机的数学模型，证明了所提出的控制系统的有效性。