基于可变边界层的永磁同步电机滑模观测器

王 兵，陈 瀚，何孝祖，余 鑫

(1.湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲 412007；2.湖南工业大学 电传动控制与智能装备湖南省重点实验室，湖南 株洲 412007)

0 引 言

永磁同步电机(PMSM)的控制系统中，转速以及转子位置的信息常常通过安装机械式的传感器进行检测后获得，这种方式不易维护并且容易受到温度、湿度等环境的影响，可靠性不高。为了解决这种情况，无传感器技术得到快速发展[1]。

目前，无传感器控制技术一般分为以下两类：一种是运用电机的凸极特性计算得到转子位置及速度信号，此种方案在低速运行的电机系统中拥有较好的估算精度。另一种是利用反电动势或者定子磁链信息估算转子位置和转速信息，此种方法在中高速范围运行电机系统中有着良好的性能，主要包括高频注入法[2]、模型参考自适应法[3]、卡尔曼滤波法[4]，以及滑模观测器法[5-7]。滑模观测器(SMO)一般利用估算的反电动势或磁链信息计算转子位置及转速，一般运用在中高速运行电机中。文献[8]将分数阶的滑模面应用到传统滑模观测器，得到分数阶滑模控制率并将分数阶理论应用到锁相环中，验证了系统具有良好的性能。文献[9]针对传统滑模变结构开关函数不连续的特点，设计了指数趋近率的滑模观测器进行永磁同步电机转速估计，此方法能有效减弱抖振并提高系统性能。文献[10]利用S开关函数取代传统的开关函数，与双级矩阵变换器相结合作用的同时省略一阶低通滤波器和角度补偿模块，获得了优良的传动性能。文献[11]设计了一种自适应同步滤波器与正交锁相环相结合的SMO系统，该系统具有良好的跟踪性能并对参数摄动有很强的鲁棒性。文献[12]提出一种包含两个同步频率提取滤波器的正交锁相环，能够自适应地有效补偿估算的反电动势谐波误差。

为了提高SPMSM无传感器系统的估算精度，首先将一种基于可变边界层S型开关函数应用于SMO系统中，省去了传统滑模观测器系统的一阶低通滤波器和相位补偿模块的同时，能有效削弱系统产生的抖振和延时；针对锁相环动态误差较大的问题，设计一种信号抑制器以提高跟踪性能；最后运用Matlab/Simulink搭建模型仿真，结果表明该策略能够有效提高观测精度，改善系统的跟踪性能。

1 PMSM数学模型

忽略铁心饱和磁滞损耗以及涡流等影响，PMSM在静止两相α-β坐标系下的数学模型为

(1)

式中，[uαuβ]T为定子电压；[iαiβ]T为定子电流；[eαeβ]T为αβ坐标系下的反电动势；Rs、Ld、Lq分别为定子绕组下的电阻以及d、q轴电感；ωe为电角速度；p为微分算子，且满足

(2)

对于表贴式三相永磁同步电机拥有Ld=Lq=Ls的特点，因此反电动势可以被简化成为仅和电机的转速有关的数学模型，则式(1)可重新表述为

(3)

(4)

2 PMSM滑模观测器设计

2.1 传统SMO性能分析

由于滑模变结构对系统参数摄动具有很好的鲁棒性且响应较快，被广泛作用于非线性系统中，其原理是通过设计一个滑模面，迫使系统在此滑模面上做高频低幅度的上下运动，以此实现系统的滑动模态。图1为传统滑模观测器转子位置和速度估算的原理框图，其组成部分分别为基于滑模观测器的PMSM数学模型、开关函数(符号函数sign)、低通滤波器(LPF)、反正切函数计算模块(arctan)、角度补偿模块以及转子位置及速度计算模块。

图1 传统SMO原理框图

根据式(3)所述的PMSM数学模型，构造传统的滑模观测器为

(5)

(6)

式中，[zαzβ]T为开关信号，k为开关增益，将式(5)减去式(3)可得到电流误差方程为

(7)

(8)

(9)

由于一阶低通滤波器会带来相位延迟的问题，需要加入相位补偿才能得到最终的估算值

(10)

由于符号函数的不连续性以及bang-bang控制的特性，导致观测到的反电动势存在大量抖振和谐波信号，需要通过低通滤波器消除高频分量。但使用低通滤波器带来相位延迟以及估算的速度幅值衰减现象又不可避免，需要加入角度补偿模块。虽然这种方式可以提高观测精度，却依然不能实现完全补偿，并且反正切函数使用了除法运算，使得反电动势过零点时出现失真，进一步扩大了转子位置及速度的观测误差。

2.2 改进滑模观测器设计

2.2.1 基于可变边界层的S型滑模观测器

传统的滑模观测器通常以符号函数作为开关函数，具有响应速度快及鲁棒性强的特点，但切换过程中的系统抖振，不仅会影响观测精度，还可能激发高频未建模动态，破坏系统的稳定性，产生震荡甚至是失去稳定性。

为解决以上问题，可采用一种基于可变边界层的S型开关函数，通过选取边界层厚度δ值，削弱抖振，减少观测误差。通常边界层厚度为固定值，为了在减小抖振的情况下同时保持系统的鲁棒性并提高滑模观测器系统观测精度，采用边界层厚度随转速自适应调整的S型开关函数。相对与符号函数，此方法既能保证运动点快速到达滑模面，又能减小到达滑模面时的速度，实现削弱抖振的目的。S型开关函数表达式为

(11)

图2 S型开关函数示意图

当边界层厚度越小时，曲线越平缓，控制精度越高，但控制增益变大，抖振增强，适合低速场合；当边界层厚度越大，曲线越陡，抑制抖振越明显，抖振将减小，适合较高速的场合。其中，b取1时，则为传统的饱和函数；取无穷大时，则十分接近符号函数。因此，采用可变边界层策略时，当系统在低速场合运行，能够自动切换到较小的边界层，系统在高速场合运行则自动切换到较大的边界层。该方法可省掉低通滤波器和相位补偿环节，简化了运算过程，在确保系统有较好的鲁棒性的同时，使稳态误差有效减小，提高了观测精度。

2.2.2 稳定性分析

定义Lyapunov函数为

(12)

若要保证系统稳定，需满足滑模变结构的

(13)

通过式(1)、式(5)和式(13)可得

(14)

k>max(|eα|,|eβ|)

(15)

k>max(|ψfωesinθc|,|ψfωecosθe|)

(16)

而(|sinθe|,|cosθe|)≤1，当开关增益系数k>ψfωe时，即可稳定运行。需要注意的是，过大的k值会导致强烈的抖振，因此，在k值的设定上应综合考虑系统的抖振和稳定性之间的需求。

3 改进锁相环设计

3.1 传统转子位置与转速估计方式性能分析

传统的转速与转子位置估计方式，是将经过滤波后的反电动势进行反正切函数计算，再经过相位补偿得到的。但这一方法存在两个明显的缺陷，由于除法计算将进一步导致高频抖振的放大，从而使角度估算造成较大的误差；一阶低通滤波器截止频率一般选取固定值，但补偿角度是随着速度的变化而改变的，并不能实现完全补偿。锁相环包括鉴相器(Phase Detector，PD)、环路滤波器(Loop Filter，LF)、压控振荡器(Voltage Controlled Oscillator，VCO)，其方法是通过调节角度误差Δθ后，经过比例积分环节计算出转速，转速再经过一个微分环节后即可得出转子位置。传统锁相环结构框图如图3所示。

图3 传统锁相环结构框图

当Δe的误差足够小时可表示为

(17)

传统锁相环的闭环传递函数

(18)

误差传递函数为

(19)

当PMSM匀速运行时，锁相环系统的输入为斜坡函数，此时锁相环稳态误差为

(20)

由式(20)可以看出，当电机匀速运行时，锁相环能够达到转子位置与速度的无静差跟踪；但电机匀加速运行时，锁相环系统输出会有误差。电机角度可写为

(21)

式中,a为电机加速度。运用拉氏变换的终值定理可以得到锁相环系统的动态跟踪误差为

(22)

由式(22)可知，无论如何调节锁相环的PI参数，都不可能对输入实现无静差跟踪。虽然锁相环有参数易于调节，稳定性较好的特点，但锁相环动态响应较差，特别是当电机加、减速时，观测的速度和角度会有静差。

3.2 改进锁相环设计

锁相环在提高永磁同步电机无传感器观测器精度方面应用广泛，由于传统的锁相环是对永磁体磁通参数进行在线实时计算，加大了系统观测器的复杂性，造成动态误差放大，影响观测精度。针对传统锁相环在观测过程中转子位置及转速信号动态误差较大的问题，本文引入归一化处理的锁相环，可抑制因反电动势变化而使得系统带宽发生变化的问题，同时设计一个信号抑制器以削弱Δe在收敛过程中出现的阶跃信号，能够有效改善转子位置及转速信号的观测精度，同时提高系统响应速度，改进的锁相环结构框图如图4所示。

图4 改进锁相环结构框图

(23)

为得到更好的抑制效果，同时保证锁相环系统不失稳，可将式(23)重新设计为

(24)

式中，m的取值可根据环路滤波器的需要灵活调整，相比于传统的锁相环，改进锁相环能够有效提升锁相环的动态跟踪能力，从而使观测器使估算的转子位置及转速的动态误差幅值减小，提升观测器的观测响应速度。

4 仿真分析

通过Matlab/Simulink仿真软件，采用id=0的矢量控制策略，搭建基于可变边界层的隐极式永磁同步电机滑模观测器仿真模型如图5所示，选取PMSM参数如表1所示。

表1 PMSM参数

图5 基于可变边界层的PMSM滑模观测器仿真模型

4.1 转速突变分析

空载条件下，系统转速初始值为600 r/min，0.1 s时转速突然增加到900 r/min，传统滑模观测器和改进的滑模观测器仿真结果分别如图6和图7所示。

对比图6、图7的(a)、(b)图可知，传统滑模观测器转速突增瞬间，动态误差值达到了80 r/min且调节时间不低于40 ms，稳定时的转速误差值超过20 r/min；改进的滑模观测器能够准确估算出实际的转速，虽然在突变瞬间动态误差值达到20 r/min，但在20 ms内恢复稳定，估算误差降为2 r/min，能够基本实现无静差跟踪。对比图6、图7的(c)、(d)图，传统方法的转子位置估算值虽然经过低通滤波器后得到相位补偿，但仍然存在较大滞后，误差达到0.11 rad，且在转速突变过程中误差值较大。图7(e)为未接入动态误差抑制器，可以看出在转速突变期间动态误差明显放大。改进的滑模观测器估算精度较高，能有效抑制突变误差扩大，并在稳定时刻保持0.01 rad的估算误差，基本与实际转子位置保持一致。

图6 传统滑模观测器突增转速仿真图

图7 改进的滑模观测器突增转速仿真图

4.2 负载突变分析

给定系统转速为900 r/min，在0.1 s时由2 Nm突加为6 Nm，传统滑模观测器和改进的滑模观测器仿真波形如图8、图9所示。

图8 传统滑模观测器负载突变仿真图

图9 改进滑模观测器负载突变仿真图

由图8和图9的(a)、(b)图可以看出，负载突变的情况下，传统滑模观测器瞬间转速误差接近50 r/min，需经过30 ms左右才能恢复，不能很好跟随实际转速；改进的滑模观测器在负载突变瞬间转速误差不超过10 r/min，稳态误差波动范围仅在2 r/min左右，能够准确跟踪实际转速。从图8与图9的(c)、(d)图对比可发现，传统滑模观测器转子位置误差值达到0.11 rad，而改进的滑模观测器能对转子位置实现高精度跟踪，最大不差不超过0.02 rad。因此，改进滑模观测器拥有更好的抗扰性及稳定性。

5 结 语

本文根据滑模变结构理论，设计了一种基于可变边界层的滑模观测器，以实现永磁同步电机无传感器的高精度控制。通过可变边界层来削弱抖振并减小稳态误差，在传统锁相环的基础上增加一个动态误差抑制器以减小动态误差幅值并提高响应速度。通过转速突变及负载突变工况下的仿真，表明改进的方法能够快速准确的估算转速及转子位置，抗扰性强，对于高性能永磁同步电机无传感器控制具有一定实用性。