从“神奇的莫比乌斯带”一课看数学问题的教育价值

苏清伟 深圳市龙华区清湖小学

1 莫比乌斯带简介

莫比乌斯带是由数学家莫比乌斯(Mobius，德国，1790~1868)于1858年发现的，它是存在于三维空间中的一个环带体，其性质是这个环带体只有一个面，在数学中被称为拓扑图形，用一个民间小故事来解读一下莫比乌斯带：

“聪明的捕快”：有一天，县衙里的捕快抓了个小偷，县太爷发现那个小偷是自己的外甥，于是递给捕快一张纸条，纸条的正面写着：“小偷应当放掉”、背面写着“农民应当关押”。捕快很正直，收到纸条后就想该怎么办。终于，他想出了一个法子。捕快将纸条转了半个圈重新粘贴，并从“应当”处断开，形成了一张新的纸条，于是他当众宣读：“应当放掉农民，应当关押小偷。”县太爷知道了很生气，叫来捕快问话，但是一看捕快手里的纸条，那确实是他自己的笔迹，无奈只好放掉农民。

其逻辑推导过程：假设(小偷)“应当放掉”这四个字写在纸条的正面，这个命题成立(p)，那么剪断纸条后，“应当放掉”(农民)这四个字写在纸条的反面，推出前面的命题不成立，反之亦然，在这里推出了一个矛盾等价式。由命题真可推出命题假，由命题假可推出命题真，这一悖论逻辑与说谎者悖论的逻辑一致。

2 教学内容设计

数学综合实践课的学习中学生才是最绚丽的舞者。这样的思想使我对“莫比乌斯带”的教学进行了重新设计。课程伊始，“步入奇妙的魔幻世界”环节中，我让将长方形纸条粘贴成“莫比乌斯带”的学生滔滔不绝地向同学介绍他那饶有创意的作品。孩子们赞同地接受着这个新鲜的事物，并尝试着制作。面对前后两个不同做法制作的圆环和“莫比乌斯带”，孩子们提出了自己的疑问：“圆环和莫比乌斯带有什么不同？”“为什么圆环有1个面，莫比乌斯带有2个面？”“还有什么方法做出各种神奇的带子？”“莫比乌斯带有什么用？”面对杂乱的提问，有的学生提出要归类整理下，提高解决问题的效率。我惊讶于孩子们的想法，我相信孩子们会将更多的数学知识应用到生活中。

3 教学思想

本节课程体现了现代数学中“数学活动”的概念。但教师是否足以让学生在活动中感受到移动服的神奇？数学游戏不仅要让学生认识到数学的乐趣，还要让学生清楚地了解数学。在学生的头脑中研究数学问题的种子，即使他们没有完全理解它们。如果沈元先生没有在数学课上播下哥德巴赫猜想的种子，那么陈景润是如何夺取数学之珠的呢？作为一名数学老师，应该让学生在数学课上提出问题并引导学生思考。

4 教学策略

教师需要引导学生关注莫比乌斯带的边缘和普通几何图形的边缘是不同的。普通图形的两侧是直的，例如矩形和正方形。如果它是圆形或椭圆形，则莫比乌斯带的侧面是弯曲的一侧，但是圆形和椭圆形的弯曲侧面是不同的。椭圆的表面在二维平面中创建，但是移动区域的弯曲侧不能在二维平面中创建。它只能在三维平面上生产。当计算直边或弯曲的边数时，必须是光滑的，没有转折点。例如，矩形具有四个角度。因此，四条边是圆形，椭圆形，莫比乌斯带的边是光滑的，没有折角，所以它是一条边。

5 小结

数学问题和数学问题解决活动的领域和范围，数学知识社会建构的学习背景以及学校数学是集体实践的思维背景都显示出与原始研究框架的差异。与此同时，他们都展示了一种新的研究视角和方向，即他们需要关注学校数学之外的共同点。人类学习和解决问题的情况和特点。正是基于这种理解，我们才会走出原始的研究框架，即不是从数学课程和数学教学中考虑问题解决和数学教学，而是首先考虑学习的基本性质，从如何人们学习，这种学习方法对教学提出了什么样的要求和启示。探究问题解决和数学教学，因为数学学习的主题和数学教育的对象都是需要挖掘自己学习潜能的学习者，包含无限的创造力和独特性，而不是等待容器填写知识。只有这样，我们才能尊重和遵守人类自身的学习规律，并符合当前的形势。知识，学习和教学可以真正满足当前社会转型中创新人才的需求。