例谈几类抽象函数问题解题策略

张才

【摘要】本文主要是通过举例说明几个抽象函数关于奇偶性、单调性、对称性及周期性问题的解题策略.

【关键词】奇偶性;抽象函数;解题

一、抽象函数中的奇偶性

一般地，如果对函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），则称f（x）为这一定义域内的奇函数或偶函数.奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图像关于y轴对称.

例1 （1）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），判断f（x）的奇偶性.

（2）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（-1）=0，判断f（x）的奇偶性.

（3）已知函数f（x）对任意实数x，y满足fxy=f（x）-f（y），f（-1）=0，判断f（x）的奇偶性.

（4）已知函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（0）≠0，判断f（x）的奇偶性.

解 （1）令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）;

再令y=x=0，得f（0）=0;

即0=f（x）+f（-x），f（-x）=-f（x），

∴f（x）是奇函数.

（2）令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），

又f（-1）=0，即f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数.

（3）令y=-1，得f（-x）=f（x）-f（-1），

又f（-1）=0，即f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数.

（4）令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），

再令x=y=0，可得f（0）=1，∴f（x）是偶函数.

点评 解决此类问题时，只要根据奇偶函数的定义，并应用赋值法（因x，y是任意实数），就不难解决.

二、抽象函数中的周期

一般地，对函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期.

常见结论：

（1）f（x+a）=f（x），则T=a（a是非零常数）.

（2）f（x+a）=-f（x），则T=2a（a是非零常数）.

（3）f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），则T=10.

例2 已知f（x）为偶函数，其图像关于x=a（a≠0）对称，求证f（x）是一个以2a为周期的周期函数.

证明 ∵函数f（x）的图像关于x=a（a≠0）对称，

∴f（x+2a）=f（-x）;

又∵f（x）為偶函数，

∴f（x+2a）=f（x），即T=2a.

例3 设f（x）是R上的奇函数，且f（x+3）=-f（x），求f（2004）的值.

解 ∵f（x+3）=-f（x），

∴f（x+6）=f（x+3+3）=-f（x+3）=f（x），

即周期T=6.

又f（x）是R上的奇函数，有f（0）=0，

从而f（2004）=f（6×334）=f（0）=0.

点评 解决本题的关键是：首先，由f（x+3）=-f（x），可得6是该函数的一个周期;其次，若奇函数f（x）在x=0处有定义，则必有f（0）=0.

三、抽象函数中的单调性

一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2），都有f（x1）f（x2）），那么就说f（x）在这个区间上是增函数（减函数）.

例3 定义在R上的函数f（x）同时满足条件：（1）f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R;（2）当x>0时，f（x）<0，且f（1）=-2.求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值.

解 由（1）可知f（x）是奇函数;又因x1>x2>0时，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）<0，所以f（x）是R上的减函数.因而，易得函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值分别是6和-6.

例4 已知偶函数f（x）在[0，+∞]上是增函数，解不等式f（x-1）>f（1-2x）.

解 （1）当x≤12时，x-1<0，1-2x≥0，由于f（x-1）=f（1-x），故原不等式即为f（1-x）>f（1-2x），再由f（x）在[0，+∞]上递增，得1-x>1-2x，即0

（2）当12

（3）当x>1时，x-1>0，1-2x<0，由f（x-1）>f（1-2x）=f（2x-1），得x-1>2x-1，即x<0这与x>1矛盾.

综合（1）（2）（3）得原不等式的解为0

点评 可见例3中判断函数f（x）的奇偶性和单调性是关键;例4中解不等式f（x-1）>f（1-2x），必须设法去掉符号“f”，而去掉符号“f”只能依据f（x）的单调性.当然，也可考虑运用特殊化的思想方法，即用一个满足条件的具体函数，代替抽象函数，使问题迎刃而解.这种特殊化方法在解客观题时优势特别明显.

四、抽象函数中的对称性

对称问题：

（1）点关于点对称：点（x，y）关于点（a，b）对称的坐标为（2a-x，2b-y）.

（2）直线关于点对称.

（3）曲线关于点对称：曲线f（x，y）=0关于点（a，b）对称的曲线f（2a-x，2b-y）=0.

（4）點关于直线对称.

（5）直线关于直线对称.

（6）常见对称：f（-x）=f（x），即函数f（x）关于y轴对称;f（-x）=-f（x），即函数f（x）关于原点（0，0）对称;f（a-x）=f（a+x），即函数f（x）关于直线x=a对称;f（a-x）=-f（a+x），即函数f（x）关于点（a，0）对称.

例5 已知f（x）满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），x，y∈R.

（1）如f（5）=9，求f（-5）.

（2）已知当x∈[2，7]时，f（x）=（x-2）2;求当x∈[16，20]时，函数f（x）的表达式.

解 （1）方法一：∵f（x+2）=f（2-x），

即f（x）=f（4-x）=f（7-3-x）=f（3+x+7）=f（x+10），T=10，

∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9;

方法二：f（-5）=f（2-7）=f（7+2）=f（9）=f（2+7）=f（7-2）=f（5）=9.

（2）由题意知，函数f（x）关于直线x=2，x=7对称，且周期T=10.

当x∈[16，17]时，f（x）=（x-12）2;

当x∈（17，20）时，f（x）=（x-22）2.

总之，在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法（如例3、例5），则抽象问题又会变得更加具体形象，更有利于问题的解决.

【参考文献】

[1]陈睿.关于抽象函数的一点思考[J].考试周刊，2008（15）：70.

[2]邢菊义.抽象函数问题背景函数引导法[J].数学教学研究，2008（1）：39-41.