分数阶vanderPol振子的超谐与亚谐联合共振

姜源 申永军 温少芳

摘要： 基于平均法研究了分数阶van der Pol振子3次超谐与1/3次亚谐联合共振时的动力学特性。得到了系统的一阶近似解析解，提出了超、亚谐联合共振时等效线性阻尼和等效线性刚度的概念。建立了联合共振定常解幅频曲线的解析表达式，又结合变分方程进行线性化处理，推导出分数阶van der Pol振子在联合共振时的周期解稳定性判断准则。通过与单一谐波下超谐共振、亚谐共振的对比，发现在不同基本参数下该系统可分别表现出单谐波超谐共振、单谐波亚谐共振以及两者共存时的特征现象。研究表明，分数阶微分项参数通过等效线性阻尼和等效线性刚度的形式对系统的响应幅值、共振频率、定常解稳定性、周期解数量、共振区域、曲线拓扑结构及跳跃现象等复杂动力学特性均产生重要影响。

关键词： 非线性振动; van der Pol振子; 联合共振; 分数阶微分; 平均法

中图分类号： O322; O241.8 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2019）05-0863-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.015

引 言

早在1695年，分数阶微积分作为一项重要的数学分支由德国数学家Leibniz和法国数学家Hopital在一次探讨半阶导数的通信中被首次提出。分数阶微积分几乎与经典微积分同时出现，距今已有300多年的历史，但是由于技术的局限性，其相关应用在当时并未受到过多关注。进入20世纪以后，随着计算机技术的发展，有關分数阶微积分的研究及应用重返研究人员关注的舞台，大量科研成果脱颖而出，其中包括黏弹性系统[1-2]、混沌动力学[3-4]、非哈密顿系统[5-6]、量子力学[7]、热动力学[8-9]等。在工程问题中，其应用领域主要分为两类：一类是在控制系统中引入分数阶反馈控制从而改善系统的鲁棒性和控制效果，如无人机滑模姿态的控制[10]、永磁同步电动机的双闭环控制[11]、速度反馈的PID控制[12]、集成神经网络的控制[13]等领域。另一类是用来模拟含记忆特性工程材料的真实本构关系，如隔振器件的建模（油气悬架的建模[14]、空气悬架的建模[15]、磁流变阻尼器的建模[16]等）、单相逆变器的建模[17]、非定常蠕变本构模型的研究[18]、黏弹性材料变形研究[19]等领域。

目前，分数阶微积分在动力系统中的研究包含定性分析、数值计算和解析研究，其中具有代表性的导数定义形式又可分为以下三种：Riemann-Liouville型、Grünwald-Letnikov型和Caputo型定义。近几年，有关分数阶微积分理论知识的研究成果颇为丰硕，例如申永军、杨绍普等[20-24]通过平均法对含分数阶微分项的线性和非线性单自由度振子进行了动力学研究，并提出等效线性阻尼和等效线性刚度概念，分析了分数阶微分项参数对系统响应特性的影响规律;李常品等[25-27]在分数阶微积分的数学理论方面进行了大量研究，提出了一些高效数值算法;Atanackovic等[28]研究了分数阶欧拉-拉格朗日方程;王学彬等[29] 通过Riemann-Liouville型和Caputo型两种常见的分数阶导数定义，研究了如何利用拉普拉斯变换方法求解分数阶微分方程;陈明杰[30]研究了一种崭新的信号分析工具即分数阶傅里叶变换，并用经典的傅里叶变换观点对分数阶傅里叶变换进行了充分的解释等等。

1927年，荷兰电子工程师van der Pol为了描述电子电路中三极管的振荡效应，首次推导出了著名的van der Pol方程。此后，在物理学、生物学、神经学、甚至经济学中，van der Pol方程已经成为描述振荡过程的一种基础模型。在非线性动力学中，van der Pol方程由于具有丰富的动力学行为而极具代表性。近几年来，有关分数阶导数在非线性系统中的研究受到诸多学者的青睐。例如分数阶van der Pol振子的超谐共振[31]、分数阶van der Pol振子的亚谐共振[32]、宽带噪声激励下分数阶van der Pol-Duffing振子的可靠性分析[33]、分数阶van der Pol振子网络的混沌同步[34]等等。但是，在相关文献中绝大多数的研究仅局限于单一谐波激励下非线性系统的响应规律，较少涉及到多频激励。在实际工程中，多频激励的发生并不少见。因此，多频激励下非线性系统具有更加丰富的现象，尤其是联合共振较为突出。如Nayfeh等的专著[35]中以整数阶Duffing振子联合共振为例，简单介绍了其中复杂动力学现象。在分数阶Duffing振子的联合共振[36]中，其非线性现象更加丰富。本文对一类分数阶van der Pol振子的3次超谐与1/3次亚谐联合共振进行了研究，采取平均法得到了系统的定常解及稳定性判断准则，并与单一谐波下的超谐共振、亚谐共振进行了对比，分析了分数阶微分项参数对系统的响应幅值、共振频率、定常解稳定性、周期解数量、共振区域、曲线拓扑结构及跳跃现象等复杂动力学特性的影响。

3.2 整数阶van der Pol振子联合共振幅频特性曲线  选取一组基本系统参数m=5，k=15，α1=45， F1=20，F2=180，K1=0和p=0.4，对系统进行仿真分析。此时，该系统为传统整数阶van der Pol振子的3次超谐与1/3次亚谐联合共振。根据式（31），可以得到整数阶van der Pol振子联合共振下的幅频曲线如图2所示。分析图2可知，在一定激励频率范围内，该系统可以出现多至7个解共存的特征现象。再根据式（38），对定常解稳定性条件分析判断，其解的特征存在4种可能性：a） 1个非平凡的稳定解;b） 3个非平凡解，其中一个是不稳定的;c） 5个非平凡解，其中2个是不稳定的;d） 7个非平凡解，其中3个是不稳定的。可见，联合共振系统丰富的多解性体现出单一谐波下超谐共振与亚谐共振的双重特征，这与传统整数阶Duffing振子联合共振时的幅频曲线特征近似[35]。

3.3 分数阶微分项参数对联合共振稳定性参数的影响  由于在一定激励频率范围内存在着几个定常解共存的现象，需要对解的稳定性进行分析，尤其是稳定性条件参数R。设置一组基本系统参数m=5，k=15，F1=20，F2=180，和α1=46对系统进行仿真分析。根据式（38），可以得到分数阶微分项参数对联合共振稳定性参数的影响规律，如图3所示。可知，当R>0时，该系统存在着稳定的周期解如图3中实线部分所示;反之，当R<0时，圆圈标记线为系统不稳定的周期解。其中图3（a）为K1=0.5，阶次p从0逐渐增大到1时，对系统稳定性参数的影响。可以看出在一定激励频率范围下，随着阶次p的逐渐增大，该系统周期解的个数依次呈7，5，3递减的趋势，最后保持2个稳定解、1个非稳定解。当0    

3.4 分数阶微分项系数对幅频特性曲线的影响

考虑到响应幅值能够反映稳定周期解能量的大小，下面研究分数阶微分项参数对联合共振幅频特性曲线的影响。设置第1组基本系统参数m=5， k=45， F1=47， F2=2 和α1=2对系统进行仿真分析。根据式（31）可以得到该系统的幅频曲线如图4所示。图4（a）为p=0.5，系数K1依次取0（传统整数阶），0.5，1和1.5时的幅频特性曲线图。可以看出，随着分数阶系数K1的逐渐增大，图中幅频曲线呈现向高频方向移动的趋勢且发生变形，并且系统的振幅衰减，共振频率增大，周期解的个数变为一个且稳定，共振区面积及多值性发生显著变化。图4（b）为K1=1，阶次p依次取0，0.1，0.2和0.3时的幅频曲线。可以看出，随着分数阶阶次p的逐渐增大，图中幅频曲线呈现向低振幅方向移动的趋势，并且拓扑结构发生改变，系统的振幅衰减，解的多值性及跳跃现象消失，周期解的个数降为一个并且稳定，共振区面积发生显著变化。显然，在系统发生3次超谐与1/3次亚谐联合共振的情况下，当高次谐波项幅值F1高于低次谐波项幅值F2数倍时，该系统出现与分数阶van der Pol振子超谐共振时的相似情况，表现出3次超谐共振[31]特性。

设置第2组基本系统参数m=5， k=15， F1=2， F2=40 和α1=15对系统进行仿真分析。根据式（31）可以得到该系统的幅频特性曲线，如图5所示。图5（a）为p=0.5，系数K1依次取0，1，3和5时的幅频曲线。可以看出随着分数阶系数K1的逐渐增大，图中“卵形”幅频曲线呈现向高频方向移动的趋势且发生缩减，并且系统的振幅衰减，共振频率增大，共振区面积减小，周期解的个数及稳定性并未发生显著变化。当系数K1持续增大到某一范围时，“卵形”幅频曲线逐渐缩减，最终在特殊位置缩聚成一点。图5（b）为K1=0.5，阶次p依次取0，0.4，0.7和1时的幅频特性曲线图。可以看出，随着分数阶阶次p的逐渐增大，图中“卵形”幅频曲线呈向低频方向移动的趋势，并且系统的振幅衰减，共振区面积、解的多值性及跳跃现象等并未发生显著变化。因此，当高次谐波项幅值F1低于低次谐波项幅值F2数倍时，该系统出现与分数阶van der Pol振子亚谐共振时的相似情况，表现出3次亚谐共振[32]特性。

设置第3组基本系统参数m=5， k=15， F1=20， F2=120和α1=35对系统进行仿真分析，研究不同分数阶微分项参数对多解情况下幅频曲线的影响，结果如图6所示。图中左侧为p=0.5，系数K1依次取3，5和7时的幅频曲线。可以看出，随着分数阶系数K1的逐渐增大，共振区内部结构发生变形，而整体轮廓并未发生显著变化。该系统3个解的发生区域向高频方向移动且逐渐缩减，5个解、7个解的发生区域向高频方向移动并逐渐扩大。可见分数阶系数K1在小范围变化时，对联合共振系统的幅频曲线影响并不明显。当系数K1持续增大到某一范围时，该系统会出现与上述曲线类似现象，其最大幅值衰减，共振频率增大，周期解数目减少，跳跃现象消失等。图中右侧为K1=5，阶次p依次取0.5，0.75和1时的幅频曲线。可以看出随着分数阶阶次p的逐渐增大，图中幅频曲线呈向低振幅方向移动的趋势且内部结构发生显著变形。由于等效线性阻尼的增大导致系统的稳定解幅值开始衰减，内部不稳定解幅值开始增长，共振频率减小，同时对系统解的多值性及跳跃现象也有很大影响。随着p的逐渐增大，对多解现象的发生将起到抑制作用。当p增大到一定程度时，系统的7个平凡解现象随之消失，系统发生共振区面积不断缩减，振幅多值现象随之减少，跳跃现象逐渐消失。

4 结 论

本文针对含一类分数阶微分项van der Pol振子的3次超谐与1/3次亚谐联合共振进行了研究，采用平均法得到系统的一阶近似解析解，并建立了联合共振定常解幅频曲线的解析表达式与周期响应的稳定性判断准则。通过联合共振等效线性刚度和等效线性阻尼的概念分析了分数阶微分项参数对系统幅频曲线及周期解稳定性的影响，并与单一谐波下的超谐共振、亚谐共振进行了对比。仿真结果显示，在不同的基本参数下，该系统可分别表现出单谐波超谐共振、单谐波亚谐共振以及两者共同存在时的特征现象。除此之外，分数阶微分项参数对系统的响应幅值、共振频率、定常解稳定性、周期解数量、共振区域、曲线拓扑结构及跳跃现象等都有重要影响。

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Abstract： Based on the averaging method， the dynamical characteristics of third-order super-harmonic and one-third order sub-harmonic simultaneous resonance of a van der Pol oscillator with a fractional-order differential term are analytically studied. The first-order approximate analytical solution is obtained， and the definitions of the equivalent linear damping coefficient and the equivalent linear stiffness efficient for super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonance are presented. The analytical amplitude-frequency equation for steady-state solution of the simultaneous resonance is established. Combined with the variational equation for linearization， the criteria for the periodic solution stability of the van der Pol oscillator under simultaneous resonance are derived. Through the comparison with super-harmonic resonance and sub-harmonic resonance under single harmonic excitation， it is found that the system can exhibit characteristic phenomenon of single harmonic super-harmonic resonance， single harmonic sub-harmonic resonance and both existence of these two resonances under different system parameters. The results show that the system parameters in fractional-order differential term have important influence on the response amplitude， the resonance frequency， the stability of stationary solution， the number of periodic solutions， the resonance region， topological structure of the amplitude-frequency curve， jumping phenomena and other complex dynamic characteristics through the equivalent linear damping and equivalent linear stiffness.

Key words： nonlinear vibration; van der Pol oscillator; simultaneous resonance; fractional-order derivative; averaging method

作者簡介： 姜 源（1992-），男，研究生。电话： 15032270856; E-mail： 416560053@qq.com

通讯作者： 申永军（1973-），男，博士，教授，博士生导师。电话： （0311）87936710; E-mail： shenyongjun@126.com