经历数学活动过程 促进学生深度学习

朱长和

【摘要】《义务教育数学课程标准》要求，让学生在经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程中，发展推理能力，清晰地表达自己的想法，发展学生的数学思维。在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题，并加强反思，积累数学活动经验。在课中，我们要注重数学的理性和学生思维的缜密性，促深度理解;动手实践和数学思考相结合，促深度感悟;探究活动与积累数学活动经验相结合，促深度体验，真正促进学生深度学习。

【关键词】数学活动;数学经验;思维

一、课前思考

这是一次探索计算规律的活动，是在学生已经认识奇数、偶数、质数、合数等概念，并在已经积累较多探索数的特征的活动经验的基础上安排的。通过活动，一方面能使学生感受数学规律的多样性和趣味性，感受数学知识间的广泛联系;另一方面则有利于学生从新的角度进一步丰富对奇数和偶数的认识，提升数学思考的水平。

二、课堂回放

片段1：研究两个数和的奇偶性，重在观察、归纳

师：这里的和一定是两个数的和吗？

生1：不一定

生2：可能是三个数的和，也可能是四个数的和，或者许多个数的和。

师：对，研究这样比较复杂的问题，通常从最简单的情况开始。

先研究两个数相加的情况，同桌的两人学号加起来。

师：观察三道算式的和都是什么数？为什么它们的和都是奇数呢？

生：因为它们都是奇数+偶数。

师：那什么情况下和是偶数呢？

学生举例加法算式并板书。

师：任意两个数的和的奇偶性都是这样的状况吗？有无例外呢？我们在数学领域通过几个例子发现的情况还只能算是猜测，要通过更多的举例去验证。

学生再举例。

师：有两个问题，1.有没有反例？2.例子能举得完吗？

生：有无数个例子，举也举不完。

师：大家举的例子一下子就能够通过算出答案而知道和的奇偶性。出示587634+1458963，计算起来就麻烦了，能看出来和是什么数吗？

生：奇数，判断一个数是奇数还是偶数只要看它的个位。

出示表格，一一列举了所有两个数的和的奇偶性情况。

师：表格列举了两个数和的所有情况，未发现一个反例，说明了上面的猜想是正确的，可以转化成结论。

【思考】归纳往往从观察开始，数学观察是学生学习数学的重要方法，不仅用眼看，还需要进行积极的数学思考，往往还伴随着数学猜想。所以，教学中应注意设计观察活动，让学生充分经历观察和猜想的过程，体验如何观察、猜想和的奇偶性特征;在观察的基础上，开展相应的比较和归纳，从不同的算式中发现本质规律;启发学生开展相应的合情推理，形成一定程度的数学抽象，进行一般性和普遍性的数学建模。表格一一列举所有的两个数的和奇偶性情况，培养了学生思维的缜密性，为相对理性的思考和讨论提供支持，这节课不能只有举例，也不该只有不完全归纳，也要讲道理，使学生明白为什么是这样的，其实数学课堂，无需贪多贪全，更不可以偏概全，应求真，应不厌其深。

片段2：研究多个奇数和的奇偶性，重在探究、交流

师：研究了若干个偶数和的奇偶性问题，我们接下来研究什么？

生：多个奇数相加的情况。

师：你打算怎么研究？需要提醒什么？

生：可以举例。

……

师：问大家一个问题，他即将和大家分享观点，我们干什么？听什么？

生：……

师：我们既要听明白对方所说的话，还得把自己带入场景中听，听一听他的思路和自己的思路有什么相同和不同的地方，能做到吗？

学生展示，互相交流、补充、 质疑。

师：刚才讲了，通过举几个例子凭直觉发现的情况只能算是猜测，数学得讲理，为什么是这样呢？

结合学生的回答，在课件上每两个奇数圈为一组，和是偶数。追问：和若干个奇数和的奇偶性主要看什么？

【思考】“探索规律”的教学必须以完整真实的探究过程为主线，让学生有足够的时间和空间理解和提出问题，寻求解决问题的思路，在艰难曲折的探究活动中对规律本质内涵有深度理解，对探究过程有理性的认识。“怎样探究”“怎样举例” 最大限度唤醒学生以往研究规律性质的数学活动经验，促使学生主动思考探究方案，并在交流、思辨中不断优化完善，使数学活动经验悄悄走进学生心中。课堂不应该是学生独善其身的场所，应成为协同合作的阵地，学生经历实践探究，必然会产生体验、感悟，个体认知需要伙伴的分享、倾听与交流，需要团体的补充、修正和完善。尽管表达可能不是很流暢，举例可能不是很全面，但这些都是学生真实的自主的学习状态，教师有目的地进行点拨，学生质疑补充，整个过程实际就是将学生碎片化的认知变成系统化、结构化的过程，是学生将新知纳入旧知，将知识和经验提升的过程，使自主建构在互动交流中得以实现。由不完全归纳发现若干个奇数和的奇偶性规律，经过演绎推理来证明猜测， 帮助学生形成“根据已有的数学命题-寻找命题间的逻辑关系-得出特殊结论”的演绎推理思维模式。

片段3：研究多个数和的奇偶性，重在比较、推理

出示3个奇数相加的算式，判断和的奇偶性，并依次加4个偶数，一个一个地加，一次一次地和前面的结果对比， “现在的和还是奇数？”学生说结论并完善。

师追问：加了几个偶数，对和的奇偶性有没有影响？

生：总共加了四个偶数，它们的和还是奇数。

师：如果再加一个奇数呢，和还是奇数吗？那么和的奇偶性与什么数有关，和什么数没有关系？

生：与奇数的个数有关，与偶数无关。

【思考】控制变量法，即把多因素的问题变成多个单因素的问题，而只改变其中的某一个因素，从而研究这个因素对事物影响，分别加以研究，最后再综合解决。在3个奇数的和是奇数的基础之上，每次加一个偶数，看和的奇偶性有没有变化，一直加了4个偶数，一次一次对比，“现在和还是奇数”;一次一次推理判断，加了偶数对和的奇偶性没有影响;而加奇数，和的奇偶性便会发生变化。通过运用控制变量法，结合前面结论“偶数+奇数=奇数”“奇数+奇数=偶数”进行推理，引导学生主动对前后结果的异同进行比较，得出最终结论“和的奇偶性和加数中奇数的个数有关，与偶数没有关系”，积累了数学规律探究的经验，发展了学生的数学思考。

三、课后反思

1.注重数学的理性和学生思维的缜密性，促深度理解

让学生长期经历归纳推理和演绎推理的过程，获得推理的真实体验，最终形成数学思维模式。具体看，一方面提供典型的、有代表性的数学事实，通过简单举例让学生将相邻学号相加，进行猜测，经歷由特殊到一般的不完全归纳推理过程，得出一般性的数学结论或提出数学问题，形成“观察个别数学对象-发现相同特征或形成本质联系-概括出一般结论”的归纳推理思维模式。通过问题“一定是这样吗？”，使学生初步体会从有限的实例中归纳出来的结论具有不确定性，举例和相关结论之间存在一定的或然性，验证环节不仅重要而且必不可少，由此将学生的数学思考推向深入。验证这一环节，受小学生的知识和思维发展水平所限，通常采取举例验证的方法，他们尽管不能穷举所有的例子，但是可以在归纳出结论之后选择不同的例子进行验证，并由老师对穷举式做一个简单介绍，使得学生的发现由不完全归纳上升到初步的理性思考层面，以体现数学思考的严谨性和数学结论的确定性，也体现了“猜想-验证”这一数学方法的精神内核，即：只有结论能够满足一定范围内的“所有情形”，这样的结论才具有足够的可靠性，发展了学生的数学理性精神。而对于若干个奇数和的奇偶性问题，通过不完全归纳发现结论，经过演绎推理来证明结论，促进学生形成“根据已有的数学命题-寻找命题间的逻辑关系-得出特殊结论”的演绎推理思维模式。这样的思路不仅具有严谨的内在逻辑，而且也渗透了研究问题和探索规律的一般方法，有助于学生在活动过程中不断积累经验，促进对知识的深度理解。

2.动手实践和数学思考相结合，促深度感悟

动手实践和数学思考相结合，一方面让学生在动手实践中思考怎么举例，为什么这样举例，另一方面还要在实践的基础上进行反思，增强对实践的感悟和体验。教学是教学生学，是引导学生的思维在学的过程中提升，而不是琢磨应该怎样节省时间，怎样顺利地走完教的过程。教之于学，应该是开导，应该是促进学生思考感悟。其实，数学知识与技能只是承载思考的载体，使学生获得更有价值的数学思考才是教学的根本目的。没有学生的思考就没有真正的数学学习，这节课的根本目的很明显不是得到规律，而是让学生经历探究的过程，提升数学思考的水平。在探究若干个奇数和的奇偶性规律时，如果单一使用教师提供的完整的表格进行整理，学生其实只是被动填写，所发现的结论是肤浅而不完整的，缺乏了思维的主动性，学生难以体会探究的真谛，阻碍了学生思维的发展。波利亚认为，学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。多元表征促进多维思考，可以举例，也可以直接运用前面结论进行演绎推理，不同形式不同角度理解多个奇数和的奇偶性规律，及时沟通联系，在比较中促进深度感悟。学生经历了自主探究的过程，才能真正理解多个奇数和的奇偶性规律，真正发展了学生思维。

3.探究活动与积累数学活动经验结合，促深度体验

《义务教育数学课程标准》倡导，在设定目标的情况下，能针对具体问题提出设计思路，制定简单的方案解决问题，可见鼓励学生设计制定实验方案也是增强实证意识、积累数学活动经验的一个重要举措，教师不急于牵着学生往下走，不直接给出探究“若干个奇数和的奇偶性规律”的具体方案，而是通过问题，“你想怎样来研究？”最大限度唤醒学生以往研究规律性质的数学活动经验，即举例;“想一想怎样举例？”促使学生主动思考探究方案，这既能增强探究活动的计划性，又可以帮助学生体会探究活动的关键，如多举一些例子，举例要全面典型等，并在交流、思辨中不断优化完善，促进深度体验，使数学活动经验悄悄走进学生心中。