具有加权梯度源项的半线性抛物方程解的爆破时间下界❋

2019-11-21马羚未方钟波

中国海洋大学学报（自然科学版） 2019年1期

马羚未，方钟波

(中国海洋大学数学科学学院，山东青岛 266100)

迄今为止，已有许多学者致力于抛物型方程解的整体存在性与爆破现象及定性性质方面的研究，且已有许多专著和综述性的成果(见文献[1-4])。特别是，Quittner和Souplet专著[2，第 3,4章]中详细介绍了具有Dirichlet边界条件和常系数a的反应-扩散模型中解的定性性质。粗略地概括，爆破的发生以及类型依赖于常数系数a，初始值以及区域的选取，且梯度模型的另一个显著特点是在适当的条件下可能发生边界或内部中梯度爆破现象。最近，爆破问题中爆破时间的上下界估计的研究方面有新的进展。实际上，关于抛物型方程解发生爆破时爆破解的爆破时间上界(见文献[5]中六种方法)的技巧较多。然而，爆破解的爆破时间下界一般较难确定且大部分文献限制在三维空间中，主要困难在于Sobolev最优化常数的确定。这里提供给读者参考文献[6-9](不含梯度项),文献[10-13] (含梯度项)及相关文献。特别地， Marras在文献[11]中研究了如下具有齐次Dirichlet边界条件和梯度源项的半线性抛物型方程组的初边值问题

并在三维空间中具有光滑边界的凸区域上得到了解发生爆破时爆破时间的下界。

关于具有空变系数的反应模型，Song和Lv[14,15]最近研究了具有加权内部源项的局部抛物型方程

ut=Δu+axf(u), (x,t)∈Ω×(0,t*),

a1:ax>0，x∈Ω；ax=0，x∈∂Ω，或

其中c，c1，c2为正常数。当初边值问题具有非线性Neumann边界条件，且权函数满足a1或a3或a4时，得到了三维空间中问题解发生爆破时爆破时间界的估计(见文献[14])。在文献[15]中，考虑了问题具有齐次Dirichlet和齐次Neumann边界条件且权函数满足a1或a2的情形，在高维空间中得到了初边值问题解的爆破时间界与爆破速率的估计。

综上所述，在高维空间(N≥3)上具有加权梯度源项的半线性抛物型方程Dirichlet初边值问题解的爆破分析方面的研究还未得到展开。因为方程中含有加权梯度源项，所以微分不等式技巧的应用中遇到困难。本文中，受Marras[11]工作启发，在高维空间中考虑具有加权梯度源项的半线性抛物方程

ut=Δu+axf▽u,x,t∈Ω×0,t*,

(1)

给出齐次Dirichlet边界条件和初始条件

ux,t=0,x,t∈∂Ω×0,t*,

(2)

ux,0=u0x,x∈Ω。

(3)

a1:ax>0，x∈Ω；ax=0，x∈∂Ω，或者

非负初始值u0x为C1类连续函数且满足相容性条件。因此，由抛物方程经典理论可知问题(1)～(3)存在唯一的非负古典解。解的最大存在时间t*∈(0,+∞]。此外，若t*<+∞，则ux,t以C1-范数意义下在有限时刻发生爆破(见文献[16，定理 10,p.206])；即

模型(1)常常称为具有黏性的Hamilton-Jacobi方程且与物理学理论中描述界面生长及粗化的Kardar- Parisi-Zhang方程有密切联系，见文献[17-18]以及相关文献。本文的目的是在高维空间中适当的加权测度意义下建立问题(1)～(3)解发生爆破时爆破时间下界的估计，并给出应用举例。