浅谈求解四阶抛物方程的几种方法
2019-11-13蒋超周甜胥康
蒋超 周甜 胥康
摘 要：高階抛物型方程问题在工程应用和科学研究中占据着重要地位。本文主要针对四阶抛物型方程混合问题，先后给出了Crank-Nicolson隐式差分格式、Saulyev非对称差分隐格式和一种三层显式差分格式。简要阐述了这三种方法的构造过程，并通过给出其稳定性和截断误差分析，表明这三种方法在求解四阶抛物型方程时是稳定可靠的。
关键词：四阶抛物方程 隐式差分格式 显示差分格式
中图分类号：O175.26 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）06（b）-0045-02
1 问题背景
在科学和工程应用中，抛物型方程[1-2]占据着重要地位，构造可靠的差分格式求解抛物型方程一直是研究重点。虽然目前针对二阶抛物方程的研究颇多，然而对高阶抛物问题的研究同样意义重大。本文针对四阶抛物型方程[3-5]，给出并分析了3种可靠的差分格式。
2 Crank-Nicolson隐格式求解四阶抛物方程
考虑如下的抛物型方程
（1）
先取空间步长，时间步长为τ，对网格进行剖分，网格比。记号是函数u（x，t）在点处的数值逼近。边界条件可处理为：
。用关于t的向前向后差商和关于x的二阶中心差商近似代替和，得到两种古典格式：
（2）
（3）
将上述（2）式和（3）式相加得到Crank-Nicolson隐格式：
由文献可知其具局部截断误差为，且绝对稳定。
3 Saulyev非对称差分隐格式求解四阶抛物方程
针对问题（1），结合中值定理可以构造出如下的Saulyev非对称差分隐格式：
（4）
（5）
（6）
（7）
通过Fouier方法可分析（4）、（5）在时稳定，（6）、（7）绝对稳定，且局部截断误差均为。
4 三层显式差分格式[5，6]求解四阶抛物方程
为了构造三层显式格式，需要添加耗散项得到方程。
其中为待定参数。类似于Crank-Nicolson隐格式的构造过程，用关于t的向前向后差商及二阶中心差商近似代替和，关于x的二阶中心差商近似代替，得到如下格式：。
式中α为权数，和为中心差商。文献证明了其是无条件稳定的，且当时，局部截断误差均为，当α=1/2时，局部截断误差均为。
5 结语
四阶抛物型方程问题在工程应用和科学研究中占据着重要地位，本文针对四阶混合问题，先后给出了Crank-Nicolson隐式差分格式、Saulyev非对称差分隐格式和三层显式差分格式。根据其构造过程，及稳定性与局部截断误差分析，可见这三种方法在求解四阶抛物方程时是可靠的。
参考文献
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