连续型随机变量的概率密度与分布函数

常娟

摘  要：在概率论与数理统计中，根据连续型随机变量的定义，讨论连续型随机变量的概率密度与分布函数的互求问题。结合实例分析给出结论：（1）对于一维连续型随机变量，当分布函数的非连续导数点是有限个时，只要将概率密度补充适当的定义，即可满足要求。（2）对于二维连续型随机变量，当分布函数的二阶混合偏导数在有限条光滑曲线上不连续时，只要将概率密度补充适当的定义，即可满足要求。

关键词：连续性随机变量  分布函数  概率密度

中图分类号：O212    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）08（b）-0188-02

Abstract： In probability theory and mathematical statistics， according to the definition of continuous random variables， the mutual problem of probability density and distribution function of continuous random variables is discussed. Combined with the example analysis， the conclusion is given：（1）For one-dimensional continuous random variables， when the non-continuous derivative points of the distribution function are finite， the probability density can be supplemented with appropriate definitions to meet the requirements.（2）For two-dimensional continuous random variables， when the second-order mixed partial derivatives of the distribution function are discontinuous on the finite strip smooth curve， the probability density can be supplemented with appropriate definitions to meet the requirements.

Key Words： Continuous random variable; Distribution function; Probability density

在概率论与数理统计的学习中，经常会有连续型随机变量的概率密度与分布函数互求问题。但是在概率论的教材及参考书中，涉及到已知分布函数求概率密度的内容比较少，初学者往往没有正确理解相关的概念及性质，在应用上产生一定的偏差，算出错误的结果。因此本文讨论了连续型随机变量的概率密度和分布函数的互求问题。

1  一维连续型随机变量的概率密度与分布函数的互求问题

1.1 已知一维连续型随机变量的概率密度求分布函数

设X是一维连续型随机变量，X的概率密度与分布函数分别为f（）与F（），则由概率论与数理统计的知识得：分布函数是概率密度的积分上限函数，即[1]。

例1 设连续型随机变量X的概率密度为：

求随机变量X的分布函数F（）[2]。

解：（1）当<0时，因为在区间（-∞，）内，有概率密度f（）=0，所以。

（2）当0≤<2时，根据单积分具有积分区间的可加性，有：

（3）当≥2时，根据单积分具有积分区间的可加性，有：

即随机变量X的分布函数F（）为：

1.2 已知一维连续型随机变量的分布函数求概率密度

设X是一维连续型随机变量，X的概率密度与分布函数分别为f（）与F（），则由概率论与数理统计的知识得：在概率密度函数f（）的连续点处有F′（）=f（）。

对于一维连续型随机变量，真正有实际意义的是概率密度的积分，概率密度的积分得到的是随机变量在某个区间上取值的概率，因此要求密度函数必须可积，但是可积函数不一定是连续函数，所以概率密度函数f（）不一定连续。

一般来说，概率密度的不连续点只有有限个，改变概率密度在有限个点处的函数值不影响分布函数F（）的取值，因此并不在乎改变概率密度在有限个点处的值。有鉴于此，在概率密度的连续点处有F′（）=f（）;在概率密度的不连续点处，只要将概率密度适当补充定义（取非负实数）即可。

例2 设连续型随机变量X的分布函数为：

求随机变量X的概率密度f（）。

解：在概率密度的连续点处有

（1）当<1时，F（）=0在区间（-∞，1）内有连续导数，求导得F′（）=f（）=0。

（2）当1<

（3）当>e时，F（）=e在区间（e，+∞）内有连续导数，求导得F′（）=f（）=0。

（4）当=1，=e时，F（）不可导，但是可以补充概率密度在個别点处的值，为了概率密度的表达式简单整齐，所以指定f（1）=0，f（0）=0。即随机变量X的概率密度为f（），则：

2  二维连续型随机变量的概率密度与分布函数互求问题

2.1 已知二维连续型随机变量的概率密度求分布函数

设（X，Y）是二维连续型随机变量，（X，Y）的概率密度与分布函数分别为f（，y）与F（，y），则由概率论与数理统计的知识得：分布函数是概率密度的二重积分，

即[3]。

例3 设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为

求随机变量（X，Y）的分布函数F（，y）。

解：根据，则：

（1）由二重积分具有积分区域的可加性，当>0，y>0时，有：

（2）当，y不属于第一象限时，则有：

即随机变量（X，Y）的分布函数F（，y）为：

2.2 已知二维连续型随机变量的分布函数求概率密度

设（X，Y）是二维连续型随机变量，（X，Y）的概率密度与分布函数分别为f（，y）与F（，y），则由概率论与数理统计的知识得：在概率密度函数f（，y）的连续点（，y）处有。

对于二维连续型随机变量，真正有实际意义的是概率密度的积分，概率密度的二重积分得到的是随机变量在某个区域上取值的概率。因此要求密度函数可积，但是二元可积函数不一定是二元连续函数，所以概率密度函数f（，y）不一定连续。

一般来说，对于二维连续型随机变量，概率密度只在有限条光滑曲线上不连续，改变概率密度在有限条光滑曲线上的函数值并不影响分布函数F（，y）的取值，因此并不在乎改变概率密度在有限条光滑曲线上的值。有鉴于此，在概率密度的连续点处有;在概率密度的不连续点处，只要将概率密度适当补充定义（取非负实数）即可。

例4 设二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数为

求随机变量（X，Y）的概率密度f（，y）。

解：因为F（，y）的二阶混合偏导数是连续函数，即当-∞<，y+∞时，有：

例5 设二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数为：

求随机变量（X，Y）的概率密度f（，y）。

解：因为F（，y）的二阶混合偏导数是连续函数，即当-∞<，y+∞时，有：

例6 设二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数为：

求随机变量的概率密度。

解：（1）当>0，y>0时，F（，y）的二阶混合偏导数是连续函数，即当>0，y>0时，有：

（2）当<0或者>0，y<0时，有F（，y）=0，则：

（3）当≥0，y=0或者=0，y≥0时，为了概率密度的表达式简单整齐取f（，y）=0。即随机变量（X，Y）的概率密度f（，y）为：

参考文献

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：42-44.

[2] 陳灿.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2013：27-28.

[3] 张国华.概率论与数理统计[M].西安：西安交通大学出版社，2014：51-53.