一类Abel积分的零点个数估计

王喜红

(宁夏师范学院 数学与计算机科学学院, 宁夏 固原 756000)

1 引言和主要结果

考虑超椭圆Hamilton系统

其中,P(x)∈R[x],degP(x)=5.不失一般性,假设最高次项的系数为正,与H(x,y)相应的Hamilton系统有4个奇点(0,0)、(μ,0)、(λ,0)和(1,0),其中0≤μ≤λ≤1.Gavrilov等[1]给出H(x,y)的规范型为

(1)

与其相对应的Hamilton系统为

(2)

文献[1]考虑了如下形式的Abel积分

的零点个数问题,其中

Γh⊂{(x,y)∈R2|H(x,y)=h}.

2013年,Wang等[2]研究了当Γh是文献[1]中退化卵形线时,Abel积分(2)的零点个数问题，并证明了此类Abel积分恰好有一个零点.

当λ=μ=0时,系统(1)变为

(3)

与其相应的Hamilton函数为

(4)

α0J0(h)+α1J1(h)+α2J2(h)+α3J3(h),

其中

图 1 系统(3)的相图

本文的主要结果如下.

2 预备知识

首先介绍一些本文用到的概念和结论,更详细的结果见文献[3-4].

定义 2.1设f0,f1,…,fn-1是开区间I⊂R上的解析函数.

1) {f0,f1,…,fn-1}是I上的Chebyshev系统(简称T-系统)当且仅当任何非平凡的实线性组合α0f0(x)+α1f1(x)+…+αn-1fn-1在I上至多有n-1个孤立零点.

2) 如果{f0,f1,…,fk-1}是I上的Chebyshev系统,k=1,2,…,n,则{f0,f1,…,fn-1}是I上的完全的Chebyshev系统(简称CT-系统).

3) 如果对每个k=1,2,…,n,任何非平凡的线性组合α0f0(x)+α1f1(x)+…+αk-1fk-1在I上至多有k-1个孤立零点(计重数),则{f0,f1,…,fn-1}是I上的扩展的完全的Chebyshev系统(简称ECT-系统).

4) 如果任何非平凡的线性组合α0f0(x)+α1f1(x)+…+αn-1fn-1在I上至多有n+m-1个孤立零点,则{f0,f1,…,fn-1}是I上具有精度m的Chebyshev系统.

注 2.1根据文献[5-6]中结果,如果{f0(x),f1(x),…,fn-1(x)}是I上的ECT-系统,则对每个k=1,2,…,n-1,存在{f0,f1,…,fn-1}的一个实线性组合在I上恰好有k个孤立零点.如果{f0(x),f1(x),…,fn-1(x)}是I上精度为m的T-系统,则存在{f0,f1,…,fn-1}的实线性组合在I上至多有n+m-1个孤立零点.

引理 2.1{f0,f1,…,fn-1}是I上的ECT-系统当且仅当对每个k=1,2,…,n和所有的 x∈I,Wronsky行列式W[f0,f1,…,fk-1](x)≠0.

Γh⊂{(x,y)|H(x,y)=h,

h0

P在x轴上的投影是区间(xl,xr),且xl<00,则存在唯一的解析对合函数z(x),xl

A(x)=A(z(x)),x∈(0,xr).

考虑Abel积分

h∈(h0,0)或h∈(0,h1),

其中gi(i=0,1,…,n-1)是区间(xl,xr)上的解析函数,s∈N.定义区间(0,xr)上的解析函数

(5)

则由引理2.1可得下面的代数准则(见文献[3]中定理B和文献[4]中定理A).

引理 2.21) 如果s>n-2,对每个i=0,1,…,n-1和x∈(0,xr),W[l0,l1,…,li]≠0,则{I0(h),I1(h),…,In-1(h)}是区间(h0,0)或(0,h1)上的ECT-系统.

2) 如果s>n+m-2,对每个i=0,1,…,n-2和x∈(0,xr),W[l0,l1,…,li]≠0,且W[l0,l1,…,ln-1]在(0,xr)上有m个零点(计重数),则{I0(h),I1(h),…,In-1(h)}在(0,xl)上至多有n+m-1个孤立零点(计重数).

其中

3 定理1.1的证明

令x=1-u,y=-v,把系统(3)的中心C(1,0)移到原点(仍记为( x,y)).系统(3)变为

(6)

与它对应的 Hamilton 函数是

它在原点取局部最小值,且卵形线γl围绕原点(0,0),其中

q(x,z)=4x4-15x3+4zx3+20x2-14zx2+

4z2x2-10x+20zx-15z2x+

4xz3-10z+20z2-15z3+4z4,

进而可得

30zx+8z2x-10+20z-15z2+4z3]/

[4x3-15x2+8zx2+20x-30zx+

12z2x-10+40z-45z2+16z3]≜Θ.

(7)

对系统(6),定义

其中

因为n=3,s=1,引理2.2中的s>n-2仍不满足,需要再次提高y的幂.再由引理2.3可得

其中

(8)

定义

计算可得

φi(x,z)=η1(x,z)mi(x,z),

其中

mi(x,z)是(x,z)的多项式.由引理2.2,只需证明对任意的x∈(0,1)有

W[m1]≠0,W[m1,m2]≠0,

W[m1,m2,m3]≠0.

事实上,令

其中 Θ由(7)式定义.计算可得

W[m1]=m1(x,z),

其中z=z(x)满足q(x,z)=0,σi(x,z)(i=1,2)是(x,z)的多项式，有

ξ(x,z)=4x3-15x2+8zx2+20x-30zx+

12z2x-10+40z-45z2+16z3.

(9)

下面用Maple计算2个多项式之间的结式,并应用斯图姆定理证明这2个多项式没有公共零点.

q(x,z)和m1(x,z)关于z的结式是(x-1)42ζ0(x),其中ζ0(x)是x的62次多项式.由斯图姆定理可得ζ0(x)≠0,x∈(0,1).因此,W[m1]≠0,x∈(0,1).q(x,z)和ξ(x,z)关于z的结式是

R(q,ξ,z)=8 000(4x+1)3(x-1)6×

(4x3-15x2+20x-10).

类似于引理3.1的证明可得如下引理3.2.

引理 3.3当0<-h≪1时,Jk(h)(k=0,1,2,3)有下列展式:

其中r1>0和r2<0是常数.

证明因为

(10)

其中

首先计算Ii(h)在x=0处的展式.由文献[7]可得

I(h)=α0I0(h)+α1I1(h)+α2I2(h)+α3I3(h)=

其中

如果c2=c3=0,计算可得

其中r1>0和r2<0是常数.注意到

I(h)=α0I0(h)+α1I1(h)+α2I2(h)+α3I3(h)

和(10)式,即可得结论成立.证毕.

证明令x=u+1,y=v,则系统(11)变为

α2(u+1)2+α3(u+1)3)v.

(12)

令u=rcosθ,v=rsinθ,则当0

化为

令

F(r,ρ)=

对F(r,ρ)在(r,ρ)=(0,0)处应用隐函数定理,存在一个光滑函数r=φ(ρ)和常数δ,0<δ≪1,使得当0<ρ<δ时,F(φ(ρ),ρ)≡0.计算可得

(13)

注意到

α3(u+1)3)vdu.

由(13)式可得

α3(u+1)3)vdu=

α3(u+1)3)dudv=

α2(rcosθ+1)2+α3(rcosθ+1)3)rdr.

(14)

I(l)=c1l+c2l2+c3l3+c4l4+O(l5),

(15)

其中

c1=2π(α0+α1+α2+α3),

24 606 689α2-10 431 649α3).

因为

I(h)=α0I0(h)+α1I1(h)+

α2I2(h)+α3I3(h),

再注意到(10)式,即可得结论成立.证毕.

证明直接计算可得

由引理3.3和引理3.4可得

P2(0-)=0,P3(0-)=0,

α0J0+αiJi=J0(α0+αiPi(h)),i=2,3,

证明当α3=0时,有

J(h)=α0J0(h)+α1J1(h)+α2J2(h)=

J0(h)(α0+α1P1(h)+α2P2(h)).

所以J(h)的零点个数等于直线L:α0+α2P+α1P1=0与曲线Σ1的交点个数.直接计算可得

再由引理3.3和引理3.4可得

1 599.565 8>0.

时,L和Σ1至少有5个交点(计重数),进而可得

类似于定理3.1的证明,可得下面定理.