认识线性规划问题 关键抓截距

对于线性规划问题中的线性目标函数：z=Ax+By(B≠0),如果把其中的z看成一个参数,那么,线性目标函数：z=Ax+By(B≠0)就是一个直线系方程,即该方程可以变形为,其中为斜率为截距。于是线性规划问题中所要解决的z的最值问题就转化为观察直线系方程中的截距如何达到最值。当然,要由截距的最值而获得z的最值,其中B的正负必须明确。具体过程如下：

(1)当B＞0时,当直线系经过可行域上的点使其纵截距最大时,由于此时B＞0,则相应的z也取得最大值；反之,纵截距达到最小值时,由于此时B＞0,则相应的z也取得最小值。

(2)当B＜0时,与B＞0时情形正好相反。当直线系经过可行域上的点使其纵截距最大时,由于此时B＜0,则相应的z反而取得最小值；当纵截距取得最小值时,由于此时B＜0,则相应的z反而取得最大值。

由此可见,当我们要求解线性目标函数：z=Ax+By(B≠0)中z的最值时,首先,要明确的是其中B的正负；然后,把线性目标函数：z=Ax+By(B≠0)转化为斜截式形式的直线方程

例1已知实数x,y满足若z=x+2y,则z的取值范围为________。

解析：如图1所示,为不等式组表示的可行域,解得点A(5,15)。

图1

当z=x+2y过点A(5,15)时,z=x+2y取得最大值,zmax=5+30=35。

当z=x+2y过点O(0,0)时,z=x+2y取得最小值,zmin=0+0=0,故z的取值范围为[0,35]。

点评：该题线性目标函数z=x+2y中的B=2,于是截距就为故截距最大时z就最大,截距最小时z就最小。

例2已知实数x,y满足线性目标函数z=x-3y,则z的最小值是____。

解析：线性约束条件定义的可行域如图2所示,当线性目标函数z=x-3y经过点A(2,3)时,z取得最小值,zmin=2-3×3=-7。

图2

点评：该题线性目标函数z=x-3y中的B=-3＜0,截距就为-故截距最大时z就最小,截距最小时z就最大。