在用一元二次方程解决问题中寻找矩形

用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找实际问题中的等量关系，而矩形是一个我们非常熟悉的图形，它自身就含有两个比较简单的等量关系：长+宽=[周长2]，长×宽=面积。这给我们列方程提供了便利。那现在就让我们到一元二次方程解决实际问题的题目中找一找矩形的身影吧。

一、围栏中的矩形

例1 （苏科版《数学》九年级上册第24页）

用一根长22cm的铁丝：

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32cm2的矩形？

【解析】本题的问题是能不能围成规定面积的矩形，题目中的矩形长、宽均不知道，因此我們可以将问题转化为能否求出满足条件的长、宽，如果可以求出合理的解，那么就可以围成这样的矩形，否则就不能围成。题目的大条件是铁丝长度（矩形周长）为22cm，第（1）小题的小条件是矩形面积30cm2，因此等量关系就是长+宽=[222]，长×宽=30。因为周长的等量关系是一次式，所以利用这个关系，长、宽可用含同一未知量的一次式表达，那么面积的等量关系就可以用来列方程了。第（2）小题同理。

解：设这根铁丝围成的矩形长是xcm，则矩形的宽是（11-x）cm。

（1）根据题意，得x（11-x）=30，即x2-11x+30=0。

解这个方程，得x1=5，x2=6。

当x1=5时，11-x1=6;当x2=6时，11-x2=5。

答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。

（2）根据题意，得x（11-x）=32，即x2-11x+32=0。

因为b2-4ac=（-11）2-4×1×32=121-128=-7<0，

所以此方程没有实数根。

答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形。

【点评】本题所给铁丝长度就是整个矩形的周长（四条边长度之和），列方程所使用的等量关系非常简单，因此列方程的关键就变成了如何用含同一个未知量的一次式将矩形的长、宽表达出来。同时需要注意，方程的两个根即使都符合题意，也要检验所求的另一个量是否满足题意。

变式 如图1，要建一个面积为130m2的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长16m），在与墙平行的一边开一扇1m宽的门，其余各边所用篱笆总长为32m，求养鸡场的长和宽。

图1

【解析】本题和例1是同一类型题，知道矩形周长关系，矩形面积需要满足条件。因此解题策略和上一题一样，利用周长关系得到长、宽的表达式，利用面积关系列方程。值得注意的是，本题的周长（篱笆总长为32m）不是矩形四条边长度之和，因为一边靠墙，且开了一扇1m宽的门，所以（长-1）+2个宽=32。

解法一：设养鸡场的宽是xm，则养鸡场的长是（33-2x）m。

根据题意，得x（33-2x）=130，即2x2-33x+130=0。

解这个方程，得x1=10，x2=[132]。

当x1=10时，33-2x1=13;

当x2=[132]时，33-2x2=20。

因为20>16（墙长），所以舍去x2=[132]。

答：养鸡场长13m，宽10m。

解法二：设养鸡场的长是xm，则养鸡场的宽是[33-x2m]。

根据题意，得x（[33-x2]）=130，即x2-33x+260=0。

解这个方程，得x1=13，x2=20。

因为20>16（墙长），所以舍去x2=20。

当x=13时，[33-x2]=10。

答：养鸡场长13m，宽10m。

【点评】本题围成的矩形一边靠墙，因此墙的长度是对根的限制，平行于墙的那条边的长度必须小于等于墙的长度。设长为未知数还是设宽为未知数都是可以的，可以结合本题的两种解法思考一下，不同的设法在列方程、解方程以及取舍根的时候有什么不同，如何选择。

二、道路中的矩形

例2 （苏科版《数学》九年级上册第30页1.4习题第5题）如图2，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪。要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少？

图2 图3

【解析】本题可以看成将道路抽掉，剩下的草坪拼成一个新的矩形，如图3。题目中的等量关系：新矩形的长=原矩形的长-道路的宽;新矩形的宽=原矩形的宽-道路的宽;新矩形的长×新矩形的宽=草坪面积760。选择前两个等量关系表达新矩形的长、宽，利用第三个等量关系列方程。

解：设道路的宽为xm。

根据题意，得（40-x）（22-x）=760，即x2-62x+120=0。

解这个方程，得x1=2，x2=60。

因为60>22，所以舍去x2=60。

答：道路的宽为2m。

【点评】本题也可以利用等量关系“原矩形面积-2条道路面积+道路中间重叠的小正方形面积=草坪面积”来列方程。但是将图形拼接之后再利用矩形面积关系来列方程比较简洁，也能很好地避免漏加重叠部分的正方形面积，因此此解法是解这类问题的首选方法。

变式 （2018·南京秦淮期中）如图4，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑三条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的铺上草坪。要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少？

图4

【解析】本题与教材上的习题几乎是同一题，只有图略微不同而已。因此等量关系和解答过程完全一样。

解：设道路的宽为xm。

根据题意，得（40-x）（22-x）=760，即x2-62x+120=0。

解这个方程，得x1=2，x2=60。

因为60>22，所以舍去x2=60。

答：道路的寬为2m。

【点评】此题中道路形状变了，但是处理方法都是一致的，就是可以将道路抽掉，剩下的图形拼成一个新的矩形，利用矩形面积关系来列方程。

三、改造中的矩形

例3 （2008·南京）某村计划建造如图5所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1。在温室内，沿前侧的侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道。当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？

图5

【解析】本题等量关系如下，温室长∶温室宽=2∶1;蔬菜种植区长=温室长-前侧空地宽-内墙通道宽;蔬菜种植区宽=温室宽-2个内墙通道宽;蔬菜种植区的长×蔬菜种植区的宽=蔬菜种植区面积288。选择第一个等量关系表达温室的长、宽，利用第二和第三个等量关系表达蔬菜种植区的长、宽，利用最后一个等量关系列方程。

解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm。

根据题意，得（x-2）·（2x-4）=288。

解这个方程，得x1=-10（不合题意，舍去），x2=14。

所以2x=2×14=28。

答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2。

变式 （2012·南京）“？”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。

[题目：某村计划建造如图6所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？

图6

解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，    ？

根据题意，得x·2x=288。

解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12。

所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）。

答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2。

]

小明的结果也正确。

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”。

结果为何正确呢？

请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程。

【解析】本题提供了小明的解法，那么设未知数和列方程就不是要解决问题了，而是要能发现小明的错误在哪里，并进行纠正。小明的解法迷惑性较高，他用了2∶1的关系设未知数，并且解出的答案和正确答案的数值是一样的。但是题目中是温室的长宽比为2∶1，他误将其认为是蔬菜种植区长宽比为2∶1。之所以答案是正确的，是因为此题中蔬菜种植区的长宽比也正好为2∶1。

解：小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由。

在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm”前补充以下过程：

设温室的宽为ym，则长为2ym。

所以矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m。

因为[2y-3-1y-1-1]=[2y-4y-2]=2，

所以矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1。

【点评】2008年与2012年的这两道南京中考题看似相同，实则不同，只是选用了同一个实际背景。前一题是利用一元二次方程解决实际问题，需要找准等量关系列方程，而此题需要解决的是在一个有缺陷的解答中找出缺陷原因，并完善解答。这题的能力考查要求我们不仅会做题，还要会批改，找出错因。做题时我们需要厘清思路，不可盲目解答。

（作者单位：江苏省南京市第三高级中学文昌初级中学）