SCARA并联机构刚度和动力学分析

2019-11-04马致远沈惠平吴广磊

农业机械学报 2019年10期

朱伟郭倩马致远沈惠平吴广磊

(1.常州大学机械工程学院，常州 213016; 2.大连理工大学机械工程学院，大连 116024)

0 引言

SCARA型并联机构具有三平移一转动运动输出特征，由于具有速度快、精度高、操作性能好等优点，受到国内外学者的广泛关注，该型机械手对于完成装配、包装、抓拿及码垛等高速重复性工作具有独特优势[1]。

文献[2-5]先后发明了一类由4条R-(SS)2支链(其中R表示转动副，S表示球副)和双平台组成的SCARA型高速并联机械手，分别称H4、I4、Par4和Heli4。黄田等[6]在H4机构的基础上，设计了一种支链为2-(2-R(SS)2)R的三平移一转动并联机构，用于生产线中高速搬运，称为Cross—IV型机器人。刘辛军等[7]采用4条相同支链R-(SRS)2-R，得到一种单平台SCARA并联机构——X4，并通过尺寸性能优化，实现了较大角度的转动输出。沈惠平等[8-9]基于方位特征(POC)理论和机构结构降耦原理，设计了一类非对称低耦合度能实现三平移一转动(3T1R)的SCARA并联操作手机构。

机构刚度是描述并联机构抵抗变形能力的重要指标，分析方法有虚拟关节法和虚拟弹簧法。如文献[10-11]根据虚拟关节法，建立支链末端刚度矩阵，进而建立机构的近似整机静刚度解析模型。这种方法应用较广泛，在关节中添加虚拟关节，极大简化了模型，但没有考虑机构空间六自由度的刚度耦合。WU等[12]利用虚拟弹簧方法，对Ragnar和Quattro机器人进行刚度建模，通过对机构末端的笛卡尔刚度矩阵无量纲化,得到机构转动和移动两类刚度指标。这种方法可对支链单独建模，从而可较方便地得到机构的整体刚度性能。

本文提出一种可实现SCARA运动的四自由度高速并联机器人机构，由2条R(SRS)2R支链和2条RSS支链构成。分析机构的拓扑结构特征及运动学位置反解，根据虚拟弹簧法建立机构的笛卡尔刚度矩阵，引入2个无量纲化性能指标，分别评价机构的平移刚度和旋转刚度性能，并分析机构定位移和定姿态下的刚度分布；根据虚功原理方法建立机构的动力学方程，通过仿真验证动力学模型的正确性。

1 机构运动学分析

1.1 机构描述

机构的CAD模型如图1所示，由动平台、静平台及4条支链组成，原理图如图2所示。机构第1、2两支链为R(SRS)2R混合支链，记为HSOC{-Ri1-(Saj,Rej,Sbj,Scj,Rfj,Sdj)-Ri2-}(i=1,2；j=1,2)。(Saj,Rej,Sbj,Scj,Rfj,Sdj)为平行四边形闭合回路，记为(SRS)2，其中两转动副Rej和Rfj的轴线平行且垂直于(Saj,Sbj,Scj,Sdj)所在的平面。转动副Ri1轴线平行于球铰Saj和Sdj的连线，转动副Ri2轴线垂直于球铰Sbj和Scj的连线，且Ri1⊥Ri2。第3、4两支链为RSS支链，记为：SOC{-Ri1-Si2-Si3-}(i=3,4)。转动副R12、R22，球副S33、S43分别位于动平台上，R12和R22的轴线平行，且垂直于动平台平面；转动副R11、R21、R31、R41的轴线分别位于静平台的4条边，且R11∥R31，R21∥R41。

图2 机构原理图Fig.2 Mechanism schematic diagram

1.2 机构拓扑结构

两类支链末端构件的POC集[13]分别为

则机构动平台的POC集为

第1、2支链(i=1,2)构成的第1个独立回路的独立位移方程数ξL1为

由第1、2支链组成子并联机构和第3支链(i=3)构成的第2个独立回路的独立位移方程数ξL2为

由第1、2、3支链组成子并联机构和第4支链(i=4)构成的独立回路的独立位移方程数ξL3为

则机构自由度为

式中F——机构自由度

fi——第i个运动副自由度

ξLj——第j个独立回路的独立位移方程数

1.3 位置反解

为了便于分析，将机构模型等效为图3所示的结构简图。假设动、定平台均为正方形，在定平台的中心O点建立静笛卡尔坐标系Oxyz，x轴沿OA1方向，y轴沿OA2方向。设4条支链的主动臂AiCi与定平台夹角为θi(i=1,2,3,4)，l1、l2、l3、e分别为主动臂AiCi、从动臂CiDi、CiBi、短杆DiBi的长度，OAi的长度为R，PBi的长度为r，在动平台的中心P点建立动笛卡尔坐标系Px′y′z′，x′轴沿PB1方向，y′轴沿PB2方向。

图3 结构简图Fig.3 Structure diagram

P点指向Bi点的矢量为

(1)

O点指向Ai点的矢量为

(2)

Di点指向Bi点的矢量为

(3)

主动臂AiCi的单位矢量为

(4)

其中

式中s为正弦函数，c为余弦函数。

由图3可知，各支链满足闭环矢量方程

p+si=ri+l1ui+l2vi+ei(i=1,2)

(5)

p+si=ri+l1ui+l3wi(i=3,4)

(6)

式中vi——从动臂CiDi的单位矢量

wi——从动臂CiBi的单位矢量

由式(5)和式(6)可得

(7)

(8)

根据式(7)、(8)，整理可得

Eisθi+Ficθi+Gi=0

(9)

其中E1=E2=2l1(p+si-ri-ei)T

E3=E4=2l1(p+si-ri)T
F1=F2=2l1(p+si-ri-ei)T(cαi+sαi)
F3=F4=2l1(p+si-ri)T(cαi+sαi)

依据机构装配模型，由式(9)解得机构的位置反解为

(10)

2 刚度分析

2.1 弹性静力学模型

并联机构的动、静平台相比支链连杆，具有更好的抗变形能力，故将其动、静平台视为纯刚体，机构整体刚度只和驱动及连杆刚度有关。根据虚拟弹簧法[14]理论，杆件的弹性变形可通过杆件末端的n-DOF(n表示自由度数)的虚拟弹簧表示，而杆件变形与受力的映射矩阵可由Euler-Bernoulli梁理论[15]得到。本机构由R-S-S无约束支链和R-(SRS)2-R混合支链组成，分别建立支链的虚拟刚度模型。

2.1.1R-S-S支链刚度模型

采用虚拟弹簧法建立R-S-S支链弹性静力学模型，如图4所示。

图4 R-S-S支链弹性静力学模型Fig.4 Elastic static model of R-S-S branch

图4中，1-DOF虚拟弹簧表示驱动关节R的伺服刚度，6-DOF虚拟弹簧描述机构中主动臂AiCi和从动臂CiBi(i=3,4)在空间中的弹性形变量，可分别用(Δd1,Δd2,…,Δd6)和(Δd7,Δd8，…,Δd12)表示，3-DOF的被动关节是考虑静力作用下球铰发生运动对支链刚度的影响，微小变形量可用(Δp1,Δp2,Δp3)表示。

在R-S-S支链中建立图5所示的局部笛卡尔坐标系C3x1y1z1和B3x2y2z2，x1轴沿A3C3方向；x2轴沿C3B3方向；y1轴和y2轴平行于中心为A3的转动副轴线方向，由于该支链直接连接动平台与静平台，故末端点直接选择动坐标系原点P。

图5 R-S-S支链局部坐标系标注Fig.5 Local coordinate system labeling of R-S-S branch

利用螺旋理论，建立杆件变形和被动关节运动到末端的变形量ΔT，可表示为

(11)

(12)

式中 Δtr、Δtt——支链末端转动和移动变形量

bi、ci——Bi、Ci在静坐标系的位置矢量

ui、ai、gi、wi、hi——x1、y1、z1、x2、z2局部坐标轴的方向矢量

其中

空间中单一连杆采用6×6的刚度矩阵来描述其刚度特性，记作kij，由Euler-Bernoulli[15]梁理论可得矩阵中每一项为

式中l——杆件长度

A——杆件截面积

Ix——杆件截面极惯性矩

Iy、Iz——截面惯性矩

E——材料弹性模量

G——材料切变模量

由文献[11]可知，静力平衡方程为

(13)

式中O3×3——零矩阵

由式(13)可得，支链刚度矩阵Ki为

(14)

(15)

图6 平行四边形结构Fig.6 Parallelogram structure

2.1.2R-(SRS)2-R支链刚度模型

对于包含平行四边形结构的复杂支链，必须先将平行四边形结构作为独立结构进行刚度建模。根据文献[11]将(SRS)2结构运动特性简化为R-Pa-R(Pa为平行四边形)结构，并建立弹性静力学模型，如图6所示。

将两短边杆视作刚体，两长边杆视作悬臂梁，根据式(11)～(15)，可得在局部坐标系中参考点D1处的刚度矩阵为

式中d——长度(图6)q——被动副转角

由于平行四边形末端点D1可绕局部坐标系Y(垂直于X、Z轴)轴转动，故没有沿Z轴方向的线性刚度，该支链末端以5自由度虚拟弹簧来描述其刚度特性。建立R-(SRS)2-R支链的弹性静力学模型如图7a所示。

图7 R-(SRS)2-R支链刚度建模Fig.7 Stiffness modeling of R-(SRS)2-R branch

在第1条支链中建立图7b所示的局部笛卡尔坐标系C1x4y4z4、D1x5y5z5、B1x6y6z6，其中x4轴沿A1C1方向，x5轴沿C1D1方向，x6轴沿D1B1方向，y4轴和y6轴平行于中心为A1的转动副轴线方向，z5轴垂直于x5轴和y5轴形成的平面。

根据式(14)得到Ki(i=1,2)，由式(15)得到机构整体的刚度矩阵K。

2.2 刚度性能指标

将笛卡尔刚度K矩阵拆分为量纲一致的子矩阵

(16)

式中Kmr、Kmt、Kfr、Kft——量纲一致的3×3子矩阵

用无量纲化参数的方法[16]对刚度矩阵式(16)进行分析，将外力f和力矩m分开表示[17]，即

(17)

其中

式中 Δγ——转动变形量 Δε——移动变形量

β=Λβpβ

(18)

pβ——与向量β等维的系数向量

在不同矩阵下，用无量纲参数将Δγ、Δε表示为

(19)

λγ、λε、ωγ、ωε——对应的无量纲向量

将式(19)代入式(17)得

(20)

其中Gm=[KmrΛγKmtΛε]λ=[λγλε]

Gf=[KfrΩγKftΩε]ω=[ωγωε]

式中Gm、Gf——m、f的量纲一致的系数矩阵

用系数矩阵Gm和Gf的欧几里得范数定义机构在不同位姿下刚度的性能指标κm(N·m)和κf(N)，即

(21)

由欧几里得范数的性质可知，指标越大，则机构的刚度性能越好。

2.3 数值算例和分析

机构相关参数如表1所示。

表1 机构参数Tab.1 Mechanism parameters

为了分析3T1R机构在不同位姿下的刚度性能，分别对动平台在z方向的不同高度和不同转角φ进行分析。

根据机构运动逆解方程(10)，从机构的可达工作空间中取底面半径为100 mm，高为90 mm的圆柱体的工作空间，如图8所示。设定动平台转角φ=0°，通过对机构在工作空间中圆柱顶部(z=-100 mm)和底部(z=-230 mm)进行刚度分析。

图8 工作空间Fig.8 Workspace

计算κm、κf指标值如图9、10所示。由图9可知，动平台在定姿态φ=0°时，机构的刚度性能指标值图谱在静坐标系关于y=x对称，这一点符合机构结构的部分对称特征。机构刚度指标的峰值都出现在对称轴两侧，并且在顶部和底部不同高度上，峰值分布差异较大。另外R-(SRS)2-R支链的刚度明显大于R-S-S支链，这是由于平行四边形回路具有较大的刚度特性。

图9 不同高度下的κm等高线Fig.9 Contours at different heights when φ=0°

图10 不同高度下的κf等高线Fig.10 Contours at different heights at φ=0°

对比图9a、9b可以发现，在抵抗扭转变形的能力上，工作空间顶部均优于底部，顶部峰值靠近复杂支链R-(SRS)2-R一侧，而在工作空间底部，刚度峰值接近简单支链RSS；在抵抗力变形的能力上，如图10所示，顶部图10a和底部图10b的刚度性能仍存在明显差异，越接近高度顶部时，机构的抗变形能力越优，当在顶部时，抵抗扭转变形和抵抗力矩变形的性能分布相似。

当动平台转角φ=±45°时，机构底部在工作空间中刚度性能的变化如图11所示。可见，当转角φ=±45°时，两种姿态下机构的刚度性能分布也沿y=x轴线对称。图形四周的刚度特性变化较大，中心易出现极值。比较指标κm和κf的变化趋势，可以发现在底部时，机构扭转刚度和线刚度的变化趋势相似。

图11 φ=±45°时刚度指标等高线Fig.11 Stiffness index contour line at φ=±45°

3 动力学分析

3.1 动平台速度、加速度分析

(22)

(23)

对式(5)、(6)两边同时对时间求导，得

(24)

(25)

ki=r(-s(φ+αi)，c(φ+αi)，0)Τ

式(24)、(25)两边分别点乘vi、wi，可得

(26)

(27)

由式(26)和式(27)得到机构速度方程为

(28)

式中J——机构雅可比矩阵

对式(28)求一阶导，整理可得机构加速度方程为

(29)

(30)

式中E3——3阶单位矩阵

C——四阶方阵，且矩阵元素C44=1，其余都为0

3.2 支链及质心点速度、角速度分析

设机构第i支链上Ai点的坐标系为{Ai}，Ci点的坐标系为{Ci}，Di点的坐标系为{Di}；Bi点的坐标系为{Bi}，如图5和图7所示。上述各坐标系{O}到{Ai}的旋转变换矩阵记为AiRO，以此类推。

在{Ai}坐标系下，主动臂AiCi质心速度为

(31)

其中

则质心Ci速度为

Aivci=2Aivi1

(32)

在{Ai}坐标系下，因为短杆DiBi(i=3,4)与动平台保持垂直，且动平台绕着其法线方向转动，因此点Di、Bi的速度和DiBi杆的质心点速度相等，即

Aivbi=Aivdi=Aivi3(i=1,2)

(33)

由式(31)和式(33)可得从动臂CiDi质心点速度为

(34)

其中

在坐标系{Ai}下，点Bi的速度为

(35)

其中

JBi=AiROJ-1+Jsi

由式(31)和式(33)得从动臂CiBi质心点速度为

(36)

其中

对式(26)两边同时叉乘Aivi,可得从动臂CiDi(i=1,2)在坐标系{Ai}的角速度为

(37)

式中Ui——ui2的反对称矩阵

对式(27)两边同时叉乘Aivi，可得从动臂CiBi(i=3,4)在{Ai}坐标系的角速度为

(38)

3.3 支链质心加速度、角加速度分析

在坐标系{Ai}下，对式(24)两边关于时间求一阶导，并两边同时叉乘Aivi，化简得从动臂CiDi(i=1,2)的角加速度为

(39)

在坐标系{Ai}下，对式(25)两边关于时间求一阶导，并两边同时叉乘Aivi，化简得从动臂CiBi(i=3,4)的角加速度为

(40)

对式(34)和式(36)求一阶导，可得从动臂CiDi(i=1,2)和CiBi(i=3,4)质心加速度为

(41)

3.4 动力学方程

3.5 动力学模型

(1)动平台受力分析

忽略和动平台固连的DiBi杆，不考虑摩擦力的影响，根据达朗贝尔原理可得动平台质心处的惯性力为

(42)

(2)主动臂、从动臂受力分析

在坐标系{Ai}下，主动臂惯性力和惯性力矩可表示为

(43)

同理，从动臂惯性力和惯性力矩可表示为

(44)

(45)

式中AiQi1、AiQi2——主动臂和从动臂在坐标系{Ai}下的惯性力

AiTi1、AiTi2——主动臂和从动臂在坐标系{Ai}下的惯性力矩

在不同坐标系下，惯性张量矩阵的变换是矩阵的二次型变换[18]，即

式中AiIi1——主动臂AiCi在坐标系{Ai}下的惯性张量矩阵

Ii1——主动臂AiCi在坐标系{Ci}下的惯性张量矩阵

AiIi2——从动臂CiDi和CiBi在坐标系{Ai}下的惯性张量矩阵

Ii2——从动臂CiDi和CiBi在{Di}(i=1,2)、{Bi}(i=3,4)坐标系下的惯性张量矩阵

(3)动力学模型

根据虚功原理[19-20]，机构动力学方程为

(46)

其中

式中M——驱动力矩矢量

δX、δθ——动平台质心处的虚位移和虚转角位移矢量

δiXi1、δiXi2——驱动臂、从动臂在坐标系{Ai}下的虚位移矢量

δiθi1、δiθi2——驱动臂、从动臂在坐标系{Ai}下的虚转角位移矢量

(47)

将式(47)代入式(46)，整理得

(48)

3.6 算例仿真

(49)

根据动力学模型式(48)可计算出4条主动臂的输入转矩，将计算所得的驱动力和ADAMS模型仿真所得的进行比较，如图12所示。由图12可得，两者结果相差不大，表明动力学方程式(48)的正确性。仿真误差主要是由于ADAMS模型中没有考虑机构重力的影响造成的，且惯性参数设置误差和质量参数的估算误差也是原因之一。