基于LINGO线性规划的DVD租赁问题的研究

张君如 高雅 朱振中 彭阳阳

摘要：本文以0-1规划模型、多目标规划模型为理论基础构建DVD在线租赁的购买与分配问题的数学模型。探究租赁周期与所需光盘数量的联系及可分配订单比例与光盘数量的关系， 获得应准备的DVD数量; 借鉴多目标规划模型， 解决获得最大满意度的分配问题， 在此基础上，为保证利润最大化，建立DVD租赁奖励制度模型，鼓励会员及时归还DVD，加速DVD流通。

关键词：多目标线性规划模型;0-1规划矩阵;满意度;归还周期;条件性奖励

中图分类号：TP311      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）23-0191-02

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

1 问题重述

1.1 问题背景

随着信息时代的到来，各个网站面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。DVD租赁系统中，顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求，它要求网站尽可能满足顾客需要与自身盈利最高。

1.2 问题提出

如何对DVD进行合理分配才能使得满足顾客需求与实现DVD成本最低，是每一个网站开发人员值得深思的问题。根据以下DVD租赁规则：每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD，会员看完3张DVD之后，才可进行下次租赁，提出网站的分配任務的具体有三种不同情况：（1）使尽量多顾客满足对DVD需求;（2）DVD成本最低即购买适当价格的DVD;（3）顾客满意度最高。

1.3 待解决问题

根据上述三种情况，本文需要解决以下三项任务：

任务1：对一般问题进行研究，建立DVD分配模型并给出相应的求解算法;

任务2：利用网站订单参数的数据，建立基于最大满意度原则建立优化的DVD分配模型。

任务3：根据会员需求和市场调研，在保证会员满意度的同时，建立基于归还周期的DVD租赁奖励制度模型，以此求得DVD购买量，满足利润最大化。

2 问题分析

2.1 对问题1进行分析

保证一定数量会员能够看到愿意观看的DVD的基本思路是计算在一定时间内一张DVD的利用率，进而通过计算需求该DVD的人数，两者乘积建立模型1，求得需要的DVD的数量。

2.2 对问题2进行分析

本文先对题目中的偏爱程度做倒数处理成满意度，通过0-1 矩阵表示该用户是否租赁该DVD，并对每人获得DVD数和拥有每种DVD总数进行约束，对满意度最大值进行线性规划建立模型2，最终求得0-1矩阵值和最大满意度值。

2.3 对问题3进行分析

为既能保证经济效益，又能保证会员满意度，本文对满意度值最高和DVD数量购买最小进行综合分析，进而由两者差值作为目标函数建立模型3，求其最大值。结合问题1模型约束条件，进而求得每种DVD最小购买数量。

2.4 对问题4进行分析

因为归还周期越小，DVD流转次数越多，购买DVD数量越少，也就能满足更多会员需求，基于这种情况，本文设立最佳归还周期，在此周期之内归还的会员，给予奖励措施，鼓励会员能够尽早归还DVD，以此建立模型4。本文以一个月为标准，为保证最大满意度，取100%以满足所有会员需求。其次，为保证利润最大化即成本最小（成本由DVD购买量反映），目标函数设置为DVD购买量最少。同时，结合实际情况和市场调研，对租赁的DVD未来一段时间需求量进行分析，在购买初期，对未来一段时间较热门DVD购买量适当增加，以防止后期不能及时满足会员需求。对未来较冷门DVD，可将其作为赠品，鼓励会员在最佳归还周期归还DVD，加速DVD流通。

3 问题假设

（1）假设每张DVD在每次被返还后能快速再次租赁，无空闲时间;

（2）假设每张DVD在租赁过程中，都为完好无缺;

（3）假设网站在运营期间不发生任何意外，资金周转正常;

（4）假设同一种DVD每人只能租赁一次;

（5）月底DVD全部回收，继续下个周期的租赁。

4 模型的建立与求解

4.1 基于Lingo线性规划分配模型的建立与求解

本文基于lingo分析顾客需求及满意度等因素对问题进行最优规划并建立模型。

4.2 模型建立

基于60%的会员每月租赁DVD两次，可以得出40%会员在一个月内只租用一次。所以在一个月内归还的DVD可以租赁给下一个对该DVD有需求的会员。即假设一个月为30天时，从一般情况出发，若月初第一次租赁出的DVD，在月中被还回来，返还的DVD立即再租赁出去，这时归还周期为15天。由于所购买的是新的DVD，吸引力较大，可以假设该DVD一直在周转中，没有出现空闲情况。

可认为一张DVD在一个月内有60%的概率满足两个会员，40%的概率满足一个会员，从而一张DVD的利用率为：

[Use=40%sT/30+60%sT/T]     （1）

根据表1中不同DVD的喜好程度，为保证满足相应会员人数对DVD的需求，根据上述分析，对需要准备的DVDi的张数建立模型1：

[Qi=N*Pi*k*Use    （i=1，2，3，4，5）] （2）

4.3 模型求解

本文假设归还周期为15天，为保证愿意观看该种DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，将[T]=15，[sT=30]，[k=50%]代入公式（1），（2）。

为保证愿意观看某DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD，假设归还周期为15天，将[T]=15，[sT=90]，[k=95%]代入公式（1），（2）。Lingo求解可得DVD数量入表2所示。

上述假设归还周期为15天，但这不一定符合实际情况，本文针对一个月内归还周期T利用Lingo进行实时数据处理，每一次求解模型时，LINGO都会提示为参数[T]输入一个值。根据大量调查，归还周期普遍在[7，15]天内，故本文对[T]分别取7，8，9，10，11，12，13，14，15，可得不同归还周期下各DVD的购买数量，如图（2）所示。

4.3.1 基于最大满意度的DVD分配模型的建立与求解

在现有DVD数量一定的情况下研究如何分配可以使会员满意度达到最大是待解决问题之一。本文使用0-1型整数规划，将题中的偏爱程度转化为满意度，以求得满意度的最大值。

4.3.2 基于一定時间内最大满意度的DVD分配模型的建立与求解

作为管理人员，需要考虑购买和分配问题。不仅要兼顾减少购买成本，还要考虑会员对DVD有不同的偏爱度，使其满足一定的服务水平。对此，我们建立购买和分发统一的多目标规划模型，考虑分发次数和服务约束。假定DVD在月初分发一次，月中分发一次，即归还周期[T]为15天。

4.3.3 基于归还周期的DVD租赁奖励制度模型的建立与求解

基于上述问题所求可得当会员满意度最高，DVD购买数量最少的情况。但由于归还周期[T]的不确定性，[T]只能由一般情况假设得出，但[T]直接决定DVD利用率，从而影响DVD购买量。当会员数一定时，[T]越小，DVD购买量越少。经过大量DVD租赁市场调研，得到DVD租赁周期[T]普遍在7～15天左右。当设立[T]=10时，经过市场调研及会员反馈可得，95%的会员可接受此归还周期。故设立最佳归还周期[T]为10，在此周期之内归还的会员，DVD租赁公司给予奖励措施，鼓励会员能够尽早归还DVD，并以此建立模型。

5 模型评价

5.1 模型创新点

（1）根据实际情况，会有短时间就归还的情况，故本文从一张DVD利用率[Use]出发，考虑归还周期[T]对[Use]的影响，对[Use]进一步求解，以此使需求的DVD数更符合实际情况。

（2）在模型4中，从经济效益和会员满意度两方面考虑，基于归还周期[T]对成本大小的考虑，建立DVD租赁奖励制度模型，求得在满足最佳归还周期时， DVD购买数量的最小值。

（3）考虑市场对DVD的需求量与时间变化的关系，将当前DVD种类进行分类，分为热门和冷门，并以此对未来一段时间DVD需求量进行预测，将不再受欢迎的冷门DVD当作奖励赠出，将未来仍受欢迎的热门DVD，在购买初期即加大购买量，以备后期能够及时满足会员需求。

5.2 模型缺点

（1）本文使归还周期满足均匀分布，即在归还周期时，所有会员都会统一归还。但实际上，每个会员都会有自己的归还时间，不一定会同一归还周期内归还。

（2）本文假定DVD归还后立即会被借出，即DVD始终处于流通状态。但在实际情况中，DVD归还后，可能处于“闲置期”，且DVD也可能会有损坏情况，不能再被借出。所以DVD利用率[Use]实际会偏低。

【通联编辑：李雅琪】