地震作用下建筑结构的静态输出反馈H2/H∞控制

段 寅，许庆虎

(1.淮南联合大学建筑工程系，安徽 淮南 232001；2.安徽建筑大学土木工程学院，安徽 合肥 230601)

近年来，建筑结构的振动控制研究已经受到了越来越多的关注[1]。H∞控制算法作为一种常用的主动控制策略，在建筑结构的抗震控制中有着广泛的应用[2-4]。然而H∞控制算法虽然能够较好地解决系统的鲁棒性，却牺牲了系统的其他性能[5]。鉴于此，综合了H∞控制的鲁棒性和H2控制的调节性能的混合H2/H∞控制方法具有重要的研究价值。文献[6]采用动态缩聚法对20层建筑结构降阶模型设计了H2/H∞控制器。控制器的鲁棒性避免了忽略高阶模态而引起的不稳定溢出问题，保证了控制系统的稳定性。文献[7]基于线性矩阵不等式技术提出了混合H2/H∞控制策略，用以降低地震作用下建筑结构的动力响应，并通过数值模拟对该方法的可行性和有效性进行了验证。文献[8]设计了多目标H2/H∞混合控制器，通过调节系统的H∞性能来提高H2性能，从而进一步抑制结构的加速度响应，保证了系统的稳定性和抑制性能。文献[9]应用线性矩阵不等式技术，研究了基于状态反馈的分散H2/H∞鲁棒控制方法，对一个多自由度的高层建筑结构进行了数值分析，探讨了分散控制策略的适用性。文献[10]考虑了建筑结构模型参数的不确定性，推导了输出反馈H2/H∞鲁棒控制方法的设计过程，并与LQG控制方法进行了对比，说明了该方法的优越性。

在以往控制器的设计中，通常不考虑驱动器的饱和特性，即认为驱动器是理想化的，出力值可以无限大。而驱动器在实际应用中是有最大出力值限定的，因此理想驱动器与实际情况是不相符的，可能会导致控制系统的失效。本文将H2/H∞控制理论与静态输出反馈控制策略相结合，提出了基于线性矩阵不等式(LMI)技术的静态输出反馈H2/H∞控制方法，综合了H∞控制的鲁棒性和H2控制的调节性能，使得控制系统的性能更加均衡。在控制器的设计过程中考虑了驱动器的饱和特性，即限定了驱动器的最大出力值，与理想驱动器相比更加符合控制系统的实际情况。将提出的控制算法应用于地震作用下的8层建筑结构剪切模型中，数值仿真分析结果表明了该方法的适用性，保证了系统的稳定性、快速性和鲁棒性[11]。输出反馈保持了系统的能控性和能观性不变，结构简单，只用到外部可测信号[12]，从技术的角度来说实际应用更易于实现。

1 建筑结构系统的描述

对于地震作用下具有n个自由度的受控集中质量结构模型，运动方程可表示为

(1)

式中：x(t)∈Rn×1表示结构相对地面的位移向量；M，C，K∈Rn×n分别表示结构的质量、阻尼和刚度矩阵；u(t)∈Rr×1表示控制力向量，w(t)表示地震激励向量；Tu∈Rn×r，Tw∈Rn×1分别表示控制力和外激励的位置矩阵。

将式(1)转化为状态空间形式：

(2)

(3)

其中，In×n为n×n维单位矩阵；0n×n，0n×r，0n×1分别为n×n维、n×r维、n×1维零矩阵。

2 H2/H∞控制方法描述

考虑如图1所示的系统，其中S(s)和G(s)分别是受控对象模型和控制器模型，该受控系统的状态空间方程可表示为

(4)

式中：Z为状态向量，u为控制力输入，w是外部扰动输入，Z∞和Z2分别表示与H∞和H2性能指标相关的控制输出，A为系统矩阵，C∞，C2为状态向量影响矩阵，B，D∞，D2为控制力影响矩阵，E为外部扰动影响矩阵。

图1 鲁棒H2/H∞控制系统示意图

H2/H∞控制器设计应使得闭环系统满足以下性质[13]61-63：

(1) 闭环系统是渐近稳定的；

(2) 从w到Z∞的闭环传递函数TZ∞w(s)的H∞范数不超过给定的上界γ1，即‖TZ∞w(s)‖∞<γ1，以保证闭环系统具有良好的鲁棒性；

(3) 从w到Z2的闭环传递函数TZ2w(s)的H2范数不超过给定的上界γ2，即‖TZ2w(s)‖2<γ2，以保证闭环系统的性能处于一个较好的水平。

考虑一个静态输出反馈的控制器u(t)=Gy(t)=GCyZ(t)并应用到系统(4)，得到闭环系统：

(5)

定理1对于系统(4)和一个给定标量γ1>0，且以下优化问题

minγ2

(6)

有一个最优解X，Y，则系统(4)的输出反馈H2/H∞控制问题是可解的。

证明：引入Lyapunov函数V(Z(t))=ZT(t)PZ(t)，其中P为对称正定矩阵，V(Z(t))关于时间的导数为

ZT(t)[P(A+BGCy)+(A+BGCy)TP]Z(t)+

wT(t)ETPZ(t)+ZT(t)PEw(t)

(7)

在零初始条件下，引入下列指标

(8)

(9)

将式(7)代入式(9)，整理得

(10)

根据文献[14]中的引理1，式(10)等价于

(11)

由于系统是渐进稳定的，有V(Z(∞))=0，且系统的初始条件为Z(0)=0，因此上式成立的充分条件为

(C∞+D∞GCy)T(C∞+D∞GCy)+

PA+ATP+(PBGCy)+(PBGCy)T+

(12)

对上式分别左乘和右乘P-1，得

P-1(C∞+D∞GCy)T(C∞+D∞GCy)P-1+

AP-1+P-1AT+(BGCy)P-1+P-1(BGCy)T+

(13)

令X=P-1，Y=GCyX=GCyP-1，式(13)等价于

(C∞X+D∞Y)T(C∞X+D∞Y) <0

(14)

根据矩阵的Schur补性质[13]8-9，式(14)等价于定理1中的条件(i)。

根据文献[13]60，性质(3)的充要条件是存在一个对称正定矩阵P1，W，使得

(A+BGCy)P1+P1(A+BGCy)T+EET<0

(15)

(16)

(17)

令X=P1，即可得到定理1中的条件(ii)和(iii)，定理1得证。

输出反馈控制器u(t)=Gy(t)=GCyZ(t)中的增益矩阵G需要经过一定的处理后才能分离出来。求解增益矩阵G的步骤为[15-16]：

(1)寻找一个n×(n-p)维满秩矩阵Qy，使CyQy=0；

(2)求解线性矩阵不等式(6)，设

Y=YcCy

(18)

其中，Xq和Xc分别为(n-p)×(n-p)维和n×n维对称矩阵，Yc为m×p维矩阵。

(3)求解增益矩阵G

(19)

3 算例仿真与分析

以一栋8层建筑结构剪切模型为算例，假定每一楼层均设置主动控制器，结构的驱动形式采用层间驱动方案，如图2所示。该结构模型的参数为：mi=3.456×105kg，ki=3.404×108N/m，ci=1×105N·s/m，(i=1， 2，…， 8)。地震输入选用El Centro波，加速度峰值为3.417m/s2，持时30s，采样步长为0.02s。

图2 8层建筑结构模型

考虑结构驱动器的出力限制，并具有以下的形式[17]：

(20)

式中：[fmax]i为驱动器的最大出力值，vi(t)为相应的层间速度，sgn(x)=x/|x|为正负号函数。

结构各层驱动装置的布置方案如表1所示。

表1 建筑结构的驱动器布置方案

首先采用第2节所述的控制方法设计静态输出反馈H2/H∞控制器，与H2和H∞性能指标相关的输出为

Z∞=Q∞[d1，d2，…，d8，u1，u2，…，u8]T，

Z2=Q2[a1，a2，…，a8，u1，u2，…，u8]T

其中，di，ai和ui(i=1，2，…，8)分别表示第i层的位移、加速度和控制力。经过试算，相应的参数分别取为

为了说明本文提出的静态输出反馈H2/H∞控制方法的有效性，将计算结果与传统LQR控制方法进行比较。表2给出了地震作用下结构的位移峰值和层间位移峰值对比，表3给出了地震作用下建筑结构的加速度峰值对比。图3～6分别给出了地震作用下结构的绝对位移峰值、层间位移峰值、加速度峰值和最大控制力。

表2 建筑结构的位移和层间位移峰值对比

由表2数据和图3可得，静态输出反馈H2/H∞控制方法的位移控制效果达到65.65%～69.17%，平均控制率为67.67%；LQR控制方法的位移控制效果达到65.15%～66.67%，平均控制率为66.12%；由表2和图4可知，静态输出反馈H2/H∞控制方法的层间位移控制效果达到54.92%～69.17%，平均控制率为64.05%；LQR控制方法的层间位移控制效果达到58.20%～66.67%，平均控制率为63.46%；由表3数据和图5可知，静态输出反馈H2/H∞控制方法的加速度控制效果达到32.40%～56.98%，平均控制率为46.34%；LQR控制方法的加速度控制效果达到27.84%～52.62%，平均控制率为42.31%。由上述数据对比可知，本文提出的输出反馈H2/H∞控制方法在各项动力响应平均控制率上均优于LQR方法。

图3 位移峰值 图4 层间位移峰值

图5 加速度峰值 图6 最大控制力

表3 建筑结构的加速度峰值对比 /(m·s-2)

图7和图8分别给出了地震作用下结构顶层的层间位移反应和加速反应时程曲线。可以看出受控结构的层间位移和加速度幅值均得到了有效抑制。

图7 顶层层间位移反应时程

图8 顶层加速度反应时程

4 结论

本文将H2/H∞控制理论与静态输出反馈控制策略相结合，提出了基于线性矩阵不等式(LMI)技术的静态输出反馈H2/H∞控制方法，并首次应用于建筑结构的振动控制问题中。本方法在控制器的设计过程中考虑了驱动器的饱和特性，即限定了驱动器的最大出力值，并对地震作用下的8层建筑结构剪切型模型进行了数值模拟与分析：

(1)本文提出的方法综合了H∞控制的鲁棒性和H2控制的调节性能，使得控制系统的性能更加均衡，保证了系统的稳定性和鲁棒性；

(2)数值计算结果表明，本文提出的控制方法能够有效地抑制地震作用下结构的动力响应，结构绝对位移、层间位移和加速度的平均控制率分别比LQR方法高出1.55%、0.59%和4.03%，证明了该方法在建筑结构振动控制领域应用的有效性和适用性；

(3)输出反馈保持了系统的能控性和能观性不变，结构简单，只用到外部可测信号，从技术的角度来说实际应用更易于实现。