PMSM驱动机器人的哈密顿与Fal函数PD协调控制

王 悦，于海生，吴贺荣

WANG Yue, YU Hai-sheng, WU He-rong

（青岛大学 自动化学院，青岛 266071）

0 引言

由于在实际的机器人动力学当中存在动态耦合、高非线性、时变参数和未知干扰等诸多不良因素，机器人的跟踪控制问题依然具有挑战性[1]。近几年来，为了克服这一具有挑战性的问题学者们提出了不同的控制策略。文献[2]提出了一种基于位置-转矩转换的滑模反演控制方法，实现了对机械臂伺服电机的直接控制。文献[3]提出了一种结合了时滞控制与极点配置的自适应滑膜控制方法，这种方法最终使跟踪误差收敛到了一个极小的界限。文献[4]所提出的两种用以控制参数不确定的机器人系统的自适应控制方法。文献[5]提出了一种以多关节的机械手指为对象的模糊自适应方法，以此来克服机器人难以精确建模的问题，但是，其位置跟踪控制的控制精度并不理想。文献[6]提出的一种基于时滞估计的连续分数阶非奇异终端滑模的机器人跟踪系统，具有优秀的动态性能。近年来越来越多的学者从能量的角度出发设计机器人位置跟踪控制器。其中，端口受控哈密顿耗散（PCHD，port-controlled Hamiltonian dissipation）系统在非线性系统控制中有着极其重要的应用[7,8]。文献[9]从能量平衡的角度提出了机器人位置跟踪控制器。文献[10]提出了未知端口的哈密顿系统的L2神经网络自适应控制策略。文献[11]设计了哈密顿模型的鲁棒性积分控制，并给出全局渐近稳定的证明方法。文献[12]对于传动机构摩擦力进行了详细建模并在此基础上采用无源性控制策略对机器人进行位置跟踪控制。以上文献对于这一问题的研究控制策略都是从信号或者能量单一角度提出的，但是从单一角度设计控制策略难以满足机器人控制系统所要求的快速性，准确性和稳定性。文献[13]对此做出了初步研究。本文分别从能量和信号的角度设计控制策略，能量控制器选择端口受控耗散哈密顿控制加积分控制[14～16]，信号控制器选择基于模型补偿与Fal函数的比例微分（PD）控制[17～20]，进而设计协调控制策略以此来实现两种控制器对机器人系统的协调控制。从实际角度出发，将机器人动力学与关机伺服电机控制结合起来,采用滑模控制设计隐极永磁同步电机（PMSM，permanent magnet synchronous motor）的电流控制，实现机器人与驱动电机整体控制。

1 二自由度机器人模型

1.1 机器人动力学模型

二自由度机器人如图1所示。机器人动力学方程为：

图1 二自由度机器人示意图

1.2 PMSM数学模型

驱动机器人第i关节的隐极（Ld=Lq）PMSM在d-q坐标系下的数学模型为[16]：

式中，i=1,2；Lqi和Ldi分别是q轴和d轴的定子电感；iqi和idi分别为q轴和d轴的定子电流；uqi和udi分别为d轴和q轴的定子电压；Rsi为定子电阻；npi为极对数；ωi为转子机械角速度；Jmi为电机转动惯量；τLi为负载转矩；Φi为永磁同步电机产生的磁链；θi为永磁同步电机角位移；qi为机器人关节角位移；kri为齿轮减速比。

2 机器人位置控制设计

2.1 机器人控制方案

机器人控制系统方案如图2所示，对于给定的机器人的位置曲线进行跟踪，采用PCHD控制加积分控制作为能量控制器，采用基于模型补偿和Fal函数的PD控制作为信号控制器。采用协调控制策略，将能量控制与信号控制相协调，输出τ1、τ2。通过电流转换得出iqi，同时根据控控制原理，采用滑模控制对隐极PMSM电流进行控制，从而实现机器人与电机的高性能控制。

图2 机器人控制系统示意图

2.2 电流环控制器设计

驱动电机的电流环采用i*d=0原理的滑模控制器。在稳态时有：

根据式(2)中的式(3)、式(5)得：

分别设计滑模面：

分别选择趋近律：

其中，cli、c2i、εli、ε2i、kli、k2i均为大于零的常数。

根据式(3)、式(7)、式(8)可得到滑模控制律为：

选择李雅普诺夫函数Vpmsm=sTs/2，有Vpmsm>0，，该子系统是全局渐近稳定的。

2.3 PCHD控制加积分控制器设计

系统的总能量为：

其中，p为角动量。

由机械手的动力学方程及系统能量方程可以写出，二自由度机械手的PCHD形式：

其中，x=[q p]T；；I为2×2维单位矩阵。系统的平衡点x0=（q10，q20，0，0）T，对于在平衡点处构造新的能量函数Hd，其中Kp=diag{kp1kp2}>0。

存在反馈控制：

使闭环系统为：

由式(10)，式(12)，式(13)得：

由文献[8]可知，子系统是全局渐近稳定的。

根据文献[11]与文献[21]可知引入积分控制后的新的闭环系统仍是PCHD系统，其稳定性不变。

2.4 基于模型补偿加Fal函数的非线性PD控制

近年来，利用Fal函数构造非线性PD控制器的控制策略取得了良好的成果[20]。由于Fal函数具有收敛速度快的特性，为了改善机器人位置跟踪的动态过程，使系统快速达到稳定状态，利用此函数构造非线性模型补偿PD控制[22]。设qi为反馈的实际机器人角位移，qi0为给定的机器人角位移i=1,2。定义ewi=（qi-qi0），得到

存在函数：

设计滑模函数：

基于模型补偿原理，由式(1)、式(14)、式(15)求出控制律为：

其中KD=diag{kD1，kD2}是一个正定常数矩阵。取：

2.5 协调控制策略设计

定义C1、C2、C3、C4分别为能量控制器与信号控制器的协调函数，取：

其中，ai、bi均为常数，i=1,2，根据实际需求设定。由于机械臂在运动过程中存在误差，当|q1-q10|≥0.0005（rad）、|q2-q20|≥0.001（rad）时采用协调控制，协调控制律为：

根据文献[23]可知，如果子系统稳定且协调函数满足t=0时，C1=C3=0，C2=C4=1；当0

3 仿真结果及分析

为了验证控制策略的有效性，在MATLAB/Simulink平台上进行仿真，机器人参数：L1=L2=1m，m1=m2=1kg。PMSM参数：Lid=Liq=0.00085H，Ris=2.875Ω，nip=4，Φi=0.175，Jim=0.02Kgm2，kri=100。选择PCHD控制加积分控制的参数为Kp1=30000，Kp2=40000，r21=300，r22=300，给定跟踪信号为q1=sin（0.8t），q2=sin（0.8t）。相同参数下的PCHD控制与PCHD加积分控制的误差比较曲线如图3、图4所示。显然采用PCHD加积分控制的控制效果明显要优于单纯的PCHD控制。

图3 关节1位置误差比较曲线

图4 关节2位置误差比较曲线

选择基于模型补偿加Fal函数的PD控制参数为δ1=0.07，δ2=0.01，δ3=0.03，δ4=0.01，α1=0.65，α2=0.98，α3=0.75，α4=0.90，K1=10，K2=10，KD1=500，KD2=500。模型补偿加Fal函数的PD控制与传统的PD加重力补偿控制的位置跟踪误差对比曲线如图5、图6所示。显然，与传统的基于模型补偿的PD控制相比，加入Fal函数后的控制策略在过渡过程更加快速，具有更加优秀的动态性能。

图5 关节1位置误差比较曲线

图6 关节2位置误差比较曲线

将能量控制器与信号控制器进行协调控制，目的是为了在兼顾优秀的动态过程的同时，使机器人系统在稳态性能更好由选择协调控制器参数为a1=37，b1=0.18，a2=37，b1=0.22。协调控制策略与单一的信号控制或者能量控制的位置跟踪误差比较曲线如图7、图8所示。协调函数曲线如图9所示，可以看出，在跟踪开始时C1=C3=1信号控制器起主要作用，当0.2s秒左右时，协调函数变化率最大，当0.4S时，C2=C4=1能量控制器起主要作用，这样满足了动态过程的快速性，又保证了稳态运行中的稳定性性。

图7 关节1位置误差比较曲线

图8 关节2位置误差比较曲线

图9 协调函数曲线

由仿真结果知，在协调控制策略下系统兼顾了信号控制动态性能好和能量控制稳态性能好中可靠性高的特点。

4 结语

针对二自由度机器人位置控制系统跟踪控制难以兼顾快速性和准确性的问题，设计了基于能量控制器与信号控制器的协调控制策略。采用PCHD控制加积分控制作为能量控制器，采用基于模型补偿加Fal函数的PD控制作为信号控制器。用滑模控制将机器人伺服驱动控制分解为中间子系统并进行控制，通过电流转换将机器人动力学与伺服电机电流控制结合起来。由仿真结果得出，采用信号控制与能量控制的协调控制策略，机器人控制系统具有兼具快速性和准确性的优点。