数学核心素养下的三角函数高考试题分析及建议-基于近五年全国Ⅰ卷数学(理科)试题的研究

李霞 姜晶 聊城大学数学科学学院 山东聊城 252000

一、引言

2018年,山东省教育厅发布的《山东省2018年普通高等学校考试招生工作(夏季高考)实施意见》,提出所有考试科目统一使用全国Ⅰ卷."三角函数的内容至关重要,三角函数不仅是连接几何和代数的一座桥梁,还是沟通初等数学与高等数学的一条通道【1】."本文基于近五年全国Ⅰ卷高考理科数学试题,对其中涉及到的三角函数试题的内容、考点以及部分三角函数试题所考查的数学核心素养进行分析并提出教学建议.

二、三角函数的内容分析

高中数学教材中,三角函数部分编排在必修课本中.尽管教材版本存在差异,但总体来说,三角函数的内容概括为如下几个方面:任意角的三角函数、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和解三角形.

根据《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》对三角函数部分的要求,可以分为13个知识考点,具体的知识考点如下:任意角和弧度制、任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式 周期函数的定义、三角函数的图象与性质、函的图象与性质、三角函数的简单应用 两角和与差公式、二倍角公式、简单的三角恒等变换 正余弦定理、正余弦定理的简单应用.

三、数学核心素养下的三角函数考题分析

1.考题中的考点分析

对2014-2018年新课标全国Ⅰ卷理科数学试题的统计发现,共有12个题目考查了三角函数的内容.2014至2015年,均以填空题和选择题的形式考查 2016至2018年均以一个解答题和一个填空题或选择题的形式进行了考查.对这12个题所涉及的考点进一步分析发现,每年至少会涉及到13个考点中的5个考点,而且每道题目都是多个考点综合考查,有的题目还会与其他章节的知识结合起来进行考查.

2.考题中包含的核心素养分析

《普通高中数学课程标准(2017)》指出,数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面【2】.笔者结合近五年全国Ⅰ卷理科数学试题,抽取三角函数的部分题目,基于数学核心素养来进行策略分析.

例 1.(2014高考新课标I,理6)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( ).

分析:本题考查了任意角的三角函数和正弦函数的图象.该题目注重对学生直观想象、数学运算和数学建模三大核心素养的考查.题中点P是动点,则需借助直观想象的数学核心素养,分析点P的运动规律,利用图形解决数学问题 建立动点P的位置与"点M到直线OP的距离"之间的关系,进而探索解题思路,得到解析式.本题的背景正是借助单位圆给出了三角函数的自然语言表征与图象表征,即"点M到直线OP的距离"与四个图象的选项.考生要建立这两者的关联,即需要学生具备数学建模的关键能力.

例2.(2015高考新课标 I,理 8)f(x)=cos(ωx+φ),函数的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )

分析:三角函数的单调区间可以通过分析三角函数的解析式得到.本题中给出函数图象,但解析式未知,所以要先求出函数的解析式,确定解析式f(x)=Acos(ωx+φ)+b的步骤如下:

(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则

.

(3)求φ:常用方法是代数法,即把函数图象上的一个最高点(或最低点)代入解析式,进而求出φ的值.本题中A=1,b=0已知,所以只需要求出ω和φ即可.这样就得到了三角函数的解析式,再利用其性质求单调递减区间.本题是对学生数学建模、逻辑推理和数学运算素养的考查.

则( )

分析:公式的活学活用在三角函数这一部分尤其重要.本题中给出α,β的范围,并且给出一个关系式,学生要学会使用转化的思想,即要注意公式的逆用和变形,本题的解法中用到了同角三角函数的基本关系,两角差的正弦公式等知识.总体来看学生应掌握三角函数公式的活用技巧,即在解题的过程中头脑中要有一定的逻辑性,本题主要是对学生逻辑推理素养的考查.在解题过程中还考查到了数学运算素养.

通过以上分析可以看出,三角函数这一部分除了数据分析外,其他核心素养教学过程中都会有所体现,所以在教学中除了要求学生掌握基本知识,也应该发展学生的核心素养.

四、核心素养下三角函数部分的教学建议

根据对近五年全国Ⅰ卷理数试题中三角函数部分的试题分析,我们认为应激发学生的学习兴趣,将核心素养应用于实际教学中,提升数学教学质量."应建构以能力培养为抓手,提升学生数学素养的教学策略【3】."因此,从数学核心素养角度出发,提出以下建议:

1.利用数形结合,发展学生直观想象的核心素养

"数学概念是数学的基石【4】."将抽象的数学概念转化为具象的数学图形可以加强学生的理解,这就要求学生具备直观想象的核心素养.根据三角函数概念的基本特征,教师应从数和形两个方面来加深学生对基本概念的理解,从而发展学生直观想象的核心素养.例如,在求解例1时,需要利用数形结合帮助学生理解用单位圆定义三角函数这一概念,发展学生直观想象的核心素养,进而帮助学生理解该题的运算方法.

2.借助多媒体,提升学生数学建模的核心素养.

例2考查了学生的数学建模核心素养,要培养学生的这一核心素养,可以借助多媒体来帮助学生理解三角函数的图象和性质.正弦和余弦函数图象非常相似,有些学生经常混淆相关的知识点,多媒体能够直观的展示出图象的变化过程,帮助学生理解参数对图象变化的影响,从而提升学生数学建模的核心素养.

3.利用口诀记忆,培养学生数学运算的核心素养

在求解例1~3时,都用到了数学运算的核心素养.尤其是解例3时,要求学生对三角函数公式能够活学活用.为方便学生对公式准确记忆,更好的进行数学运算,我们可以根据公式特点概括出相应口诀,促进记忆,从而培养学生数学运算的核心素养.例如,对于诱导公式,可以总结出"奇变偶不变,符号看象限"的口诀.

4.加强思维训练,发展学生逻辑推理的核心素养

在求解例2~3的过程中,都考查了逻辑推理的数学核心素养.为了发展逻辑推理这一核心素养,要注重学生思维能力的培养.首先,培养逻辑表达能力.教师应充分利用三角函数知识特点,积极开展合作学习,引导学生进行分析和总结.其次,注重逻辑思维同步模仿训练.教师要充分调动学生学习的积极性和主动性.最后,注重思维过程的展示.教师应通过示范和启迪,充分展示自己多层次的思维过程,以发展学生的逻辑推理的核心素养.

5.注重讨论探究,提升学生数学抽象的核心素养

抽象来自于对于具体事物的抽象与概括,数学抽象是指抽取出同类数学对象本质的属性或特征.在三角函数的教学过程中,注重学生的讨论探究更有利于学生对本章知识的理解.例如,在任意角三角函数这节课的学习过程中,可以先复习定义,然后将角放入直角坐标系中,经过学生的讨论探究,就可以抽象出任意角的三角函数的定义了.