一道反证法题目的解法分析

洪婷

反证法是高中数学的一种重要的的证明方法，也是间接证明的一种基本方法，它在不等式和立体几何中经常被用到。

反证法证明题目的大致步骤分为三步：（1）反設：作出与求证的结论相反的假设;（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果;（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立。其中，导出矛盾是关键。通常情况下，有几下几种矛盾：与已知矛盾，与定义、公理、定理、事实矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等。

反证法主要用于以下两种情形：（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰;（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。

下面，就以我在教学过程中遇到的一道题目为例，来谈谈利用反证法证明此题可能遇到的哪些矛盾，具体如下：

正确作出反设，是使用反证法的一大关键。要分清命题的条件和结论，结论和反设间的逻辑关系。结论的反面不止一种时，需反设后，对各种情况进行归谬，做到无一遗漏。如何导出矛盾，归谬，是反证法的关键，也是困难所在。导出矛盾的过程，没有固定的模式，要凭借我们已经拥有的知识和具备的能力，善于从反设和条件中，抓住蛛丝马迹，突破攻克难点。导出矛盾，要从反设出发，否则，推导将成为无源之水，无本之木，推理必须严谨，必须有理有据。本例通过一题多解，学生可以掌握此题导出矛盾的不同方法，贯穿所学知识，触类旁通，锻炼了学生思维的灵活性和广阔性。

反证法的作用很大，它不仅在我们数学中有广泛的应用，在日常生活或解决某些数学问题时，有时也会不自觉地去使用。它既是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想。反证法的独特的思维方式和证题方法对提高学生创造性地分析问题和解决问题的思想素质有重要的意义。