感知、突破、真知

翁昌来

数学思维是数学教学重要组成部分，数学思维也如同人们认知事物一样，经历感知、突破、真知的思维进阶过程。运用思维进阶理论可以为教材建设提供有益的建议，现以教材、选修读本以及网络讨论的数学应用三例进行阐述。

一、数学背景引入让学生在感知中抽象

数学是抽象的，是对客观世界数与量，空间与形式的抽象，其抽象给学生带来学习困难，难以产生数学思维.而数学思维的学习和培养可以还原思维的发生，通过数学背景的引入，让学生对数学对象的感知，激发思维热情，并在具体的感知中去抽象数学对象的关系，实现思维的发展。

地震是不可抗据的自然现象，研究震级与震时散发能量对地震预防和灾后救助都有积极意义.然而，对震级的破坏力学生只停留在不同震级的破坏力的表象比较中，对震级与破坏力之间关联的比较显得模糊.因此，计算微弱震级差的相对能量比值具有思维的挑战性.

问题的探求中，厘清量与量的函数关系，利用对数运算性质简化方程，根据对数式与指数式的转化获得结论，让学生在求解具体问题中感知数学对象，即对数学信息的觉察、感觉、注意、知觉，完成了从未知至已知，复杂至简单以及关系转化的思维发展.数学背景中的为什么，是什么，如何求成了抽象思维发展的推动力。

让学生感知数学对象，参与知识发生过程，也成了教材修订的共识，以1985年人教社版的乙种本和2008年上海高中数学教材指、对数函数章节为例，可以看到它们都是在概念建立、图象和性质研究以及指、对函数的关系框架上展开的，但上海二期课改后的教材大幅度地增添了数学应用的背景，如人口预测，银行本利和，国民生产总值，里氏震级，学习曲线，马王堆古墓等等问题.这些以数学应用为特征的背景的引入，让数学应用成为抽象思维的载体，在问题解决中实现思维的发展。

当前，STEM课程已引起了国际教育界的关注，其核心是用数学解决科学、技术、工程中的问题，而我国教材早在上世纪80年代开始，在重视思维发生过程和人人学习有用的数学思想指导下，加强数学应用成了教材建设的关注点，相信，又一轮教材的修改定会充分吸收上海二期教材实施经验以及借鉴STEM课程编制的精髓，让学生在数学背景中感知数学积极开展数学思维。

二、微积分学习让学生突破原有的数学思维模式

当前微积分是否需要进入上海高中课程已成了不争事实，从思维发展角度认识高中生微积学习有十分重要意义。

思维从均匀变化转变为非均匀变化是思维方式的突破，认知的飞跃.微积分学习不单是多了一种解决问题的方法，更重要的健全了思维，让学生高中毕业后即使不进入高一级学校学习，也能应对非均匀无限变化过程的问题.显然，思维方式健全的学习，比强调单一的均匀变化解题训练更有意义。

回顾教材修改，1993年微积分曾进入了上海高中三年级（二）的教材，由于受没有严格的极限理论学习不能学习微积分观点的影响，以后的第一与第二期的教材都没有把微积分编写在册。从学生思维发展的现实来看，高中生学习微积分可以对严密的极限理论的获得感知，为以后高等数学学习奠定基础.学生的数学思维发展是由不严密走向严密，如果片面地强调思维的严密性，那么小学生没有数论知识学习，就不能进行数的运算，至今仍只能原地踏步。中学阶段学生所学的微积分虽然对极限理论的表述停留在模糊之中，但不影响对不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化的理解和计算。虽然，初等数学中有许多问题解答能对思维训练发挥重要作用，然而，在微积分中也有许多好问题，能提供更广宽的联系真实世界的思维训练。

目前初等数学教学为应对高考选拨，已由打好基础演变为“题海”“深挖洞”的刷题。解题技巧训练的教学“性价比”太低，浪费了学生精力和青春.面对现实需求和时代的发展要让学生数学思维突破，更需要在教材建设的理念上进行突破，高中数学课程需要高等数学与初等数学合理兼学推进。

三、数学建模活动让学生思维获真知

数学思维目的不单是正确认识数学定义、法则和公式，更重要的是能运用数学规律去服务于研究对象，实现真知。

数学建模是学生运用头脑中的数学模型去分析研究真实世界，在模型的选择、修正中获取贴近客观世界的正确认知。

经历了数学模型的选用和修正，把原腿部运动从直杆（腿）转动修正为足部直线运动，又从直线运动的质量仅为腿部质量修正为全身质量，使得如何省力越来越符合现实。可以在总体恒速的前堤下，对两脚运动作前半步是加速，后半部是减速变化的假设等等。总之，根据不同的需求、从不同的视角采用不同的模型获取答案，虽没有唯一的答案，却有最佳答案.数学建模活动正是在寻找与真实世界最为逼近的模型过程中，去检验思维正确与否，并在思维矫正中获取真知。

目前教材虽然每册中均有探究与实践活动，为数学建模奠定了基础，但与数学建模仍有很大距离。高中生面对信息时代，已有丰富的感受，他们已能用数学眼光去观察世界，不少学校学生撰写的小论文也证实了这一点。

為此，教材中须设立数学建模章节，从数学思维的角度讲述数学建模的方法和步骤，提供数学建模案例.此外，还可以把建模活动中的思维过程融入到教材各章节中.如教材各章节开头的情景引入时，在感知数学模型的实际背景中，改变提练和抽象数学模型过程过于直接和简单，可增加阅读的信息量，让学生去冗余的信息，学会在纷繁的实际背景中去提练、抽象数学元素和关系，即加强数学模型提练和抽象发生的过程.同时，在各章节的练习部分视可能，适度增加对演算推理和结论的“回坯”活动，让学生去联想数学模型背后的实际意义，去创造数学应用问题.使整个章节学习，潜移默化地接受数学建模思想和方法.让学生在数学建模中进行有效学习，成为有为学生。

综上所述，感知、实破、真知是思维进阶的几个阶段，关注思维进阶，在微观上则体现在数学知识、概念的理解和数学问题的解答中，在宏观上则体现在课程体系的构建中，愿应用三例的思考对数学教材建设有所启示。