关于偏导数计算的注记

摘要：在本文中，作者举例说明了对于二元函数的偏导数计算方法需要准确的理解.一般地，作者定义了可分离函数，并且对其偏导数计算进行了讨论。

关键词：二元函数；偏导数；可分离函数

中图分类号：G642

关于二元函数的偏导数计算，高等数学的经典教材[2]里有这样一段描述“至于实际求z=f（x，y）的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题。求fx时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求fy时，则只要把x暂时看作常量而对y求导数。”根据这一描述中的方法，对于具体表达式给定的二元函数而言，求其偏导数本质上就是求导数。但是，笔者在教学实践中发现有学生对这一方法的理解是不准确的。例如，对于二元函数z=f（x，y）=3xy=3x·3y的偏导数计算，有学生运用此方法会求得如下错误的结果：

fx=（d3xdx）·3y=13x-23·3y，fy=3x·（d3ydy）=13y-23·3x。

按照偏导数的定义，二元函数f（x，y）=3xy的偏导数为

fx=13x-23·3y，xy≠0

0，y=0，fy=13y-23·3x，xy≠0

0，x=0。

學生那样计算出现了错误的结果，原因是什么？原因在于对描述中的方法没有做到准确的理解，以求fy为例，虽暂时把x看作常量，但不能忽视这个常量x会影响二元函数f（x，y）在点（x，y）处对y的偏导数是否存在。就拿二元函数f（x，y）=3xy来分析，f（x，y）在点（1，0）处对y的偏导数是不存在的，但在点（0，0）处对y的偏导数是存在的。为什么二元函数求偏导数时会出现这种现象？本质上归结为对于一元函数的导数计算我们需要注意到：对于给定常数k和函数g（x），当k≠0时，kg（x）与g（x）在点x处的可导性是一致的；当k=0时，kg（x）与g（x）在点x处的可导性不一定是一致的。用数学符号来描述计算方法通常会显得简洁明了，我们用如下的定理来展现二元函数偏导数的计算可以看作是一元函数的导数计算。

定理设二元函数f（x，y）在点（a，b）的某一邻域内有定义，且f（x，b）在点x=a处可导（f（a，y）在点y=b处可导），则

f′x（a，b）=df（x，b）dxx=a（f′y（a，b）=df（a，y）dyy=b）。

证明：令φ（x）=f（x，b），则由题意知

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=limΔx→0φ（a+Δx）-φ（a）Δx=φ'（a）=df（x，b）dxx=a存在，

所以f（x，y）在点（a，b）处对x的偏导数存在，且f′x（a，b）=df（x，b）dxx=a。

同理可证，当f（a，y）在点y=b处可导时有f′y（a，b）=df（a，y）dyy=b

注：求二元函数f（x，y）在某一固定点的偏导数时，用上述定理可以减少运算量。一般地，设I是开区间，对任一x∈I二元函数f（x，y）在点（x，b）的某一邻域内有定义，且f（x，b）在区间I上可导，则有f′x（x，b）=df（x，b）dx，x∈I。 如果不强调区间I的话，有f′x（x，b）=df（x，b）dx[1]。

前面所举例的二元函数是某类二元函数里的特殊情形，为了理解得透彻，我们给出这类二元函数的定义：若二元函数f（x，y）可写成g（x）h（y），则称f（x，y）为可分离函数。我们将对其偏导数计算进行讨论。

定理1设二元函数f（x，y）=g（x）h（y），且g（x）在点x=a处可导，h（y）在点y=b处可导，则f（x，y）在点（a，b）处的偏导数存在，且f′x（a，b）=g′（a）h（b），f′y（a，b）=g（a）h′（b）。

证明：因为g（x）在点x=a处可导，h（y）在点y=b处可导，所以f（x，y）在点（a，b）的某一邻域内必有定义，并且有

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δx·h（b）=g′（a）h（b），

limΔy→0f（a，b+Δy）-f（a，b）Δy=g（a）·limΔy→0h（b+Δy）-h（b）Δy=g（a）h′（b），

故f（x，y）在点（a，b）处的偏导数存在，且f′x（a，b）=g′（a）h（b），f′y（a，b）=g（a）h′（b）。

推论设二元函数f（x，y）=g（x）h（y），且g（x）在开区间I1上可导，h（y）在开区间I2上可导，则f（x，y）在区域I1×I2上可偏导，且f′x（x，y）=g′（x）h（y），f′y（x，y）=g（x）h′（y），（x，y）∈I1×I2。

定理2设二元函数f（x，y）=g（x）h（y）在点（a，b）的某一邻域内有定义，且h（b）≠0，则函数f（x，y）在点（a，b）处对x的偏导数存在当且仅当函数g（x）在点x=a处可导。

证明：因为f（x，y）=g（x）h（y）在点（a，b）的某一邻域内有定义，且h（b）≠0，所以

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）h（b）-g（a）h（b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δxh（b）故limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx存在当且仅当limΔx→0g（a+Δx）-g（a）Δx存在，即f（x，y）在点（a，b）处对x的偏导数存在当且仅当g（x）在点x=a处可导。

注：如果函数f（x，y）=g（x）h（y）无零点，且定义域为区域，则fx=g′（x）h（y），fy=g（x）h′（y）。

定理3设二元函数f（x，y）=g（x）h（y）在点（a，b）的某一邻域内有定义，且h（b）=0，则函数f（x，y）在点（a，b）处对x的偏导数存在，且f′x（a，b）=0。

证明：因为f（x，y）=g（x）h（y）在点（a，b）的某一邻域内有定义，且h（b）=0，所以

limΔx→0f（a+Δx，b）-f（a，b）Δx=

limΔx→0g（a+Δx）h（b）-g（a）h（b）Δx=limΔx→00Δx=0

故函数f（x，y）在点（a，b）处对x的偏导数存在，且f′x（a，b）=0。

注：如果可分离函数f（x，y）=g（x）h（y）的定义域为区域，且h（b）=0，则f′x（x，b）=0，x∈Dg。

更一般地，可分离函数这一概念可以推广到多元函数，相应的结论也可以类似得证。

参考文献：

[1]费定晖，周学圣.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，1999（第2版）.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008（第5版）.

作者简介：阎航宇（1981），男，汉族，浙江宁波人，博士，中国药科大学讲师，研究方向：代数及其应用。