连续性小波变化概要

夏源骋

摘 要：本文从小波分析的提出背景、具体变换过程、小波特性再到其具体应用等方面对连续性小波变化进行了立体形象的介绍。小波的最大优势在于可以对序列的时域和频域同時进行分析，因此能迅速而又准确地求解出序列的完整特性。

关键词：小波变化;时域分析;频域分析

在经济学中常常有项目同时涉及多个频段，或者在同一时段中有多个项目，总的来说，经济事件序列是不同频率分量的集合体。为了对这些序列进行分析，过去人们往往采用傅里叶分析法，这也是现在国际上最常用的方法之一。但是傅里叶分析法只能对序列的频域进行分析，而忽略了时域的性质。但近些年来，有学者提出一种名为连续性小波分析的方法，这种分析方法能同时对序列的时域和频域进行分析，从而使连续小波成为分析业务周期的有力工具。本文接下来就将对这种分析方法做简要介绍，笔者希望可以通过这篇文章来实现三个主要目标：（1）提出与连续小波变换相关的理论结果的总结;（2）描述如何在实践中实施这种变换;（3）推广小波分析提供的时频框架的多重和部分相关概念。

傅里叶分析法忽略了序列在时域方面的特性，正是由于序列时域信息的缺失，就使得在短暂的时间延迟后序列的结构变化难以判断。而小波分析法以时间序列的频谱特性的估计值作为时间的函数，揭示了时间序列的不同周期分量如何随时间变化。小波变换的一个主要优点就是能够对时间序列进行自然局部分析：小波可以延伸到一个长函数来测量低频运动，也可以压缩成一个短函数来测量高频运动。这样就实现了对序列的时域和频域同时进行分析的目标。

那么连续小波变换的过程到底是怎样的呢？先是从母波开始，通过简单的缩放和平移来获得子波，在这个过程中可以通过控制变量来控制变换的宽度和位置，还可以限制在所选范围内的积分，执行原始系列的带通滤波。据笔者所知，除了Aguiar-Conraria等人（2008）和Aguiar-Conraria和Soares（2011）没有人使用反演公式作为带通滤波器。

小波分析法也分为很多种，其中一种是广义莫尔斯小波，它能较为精确地分析时域和频域的变化，但它无法将小波中的分量规模大小转换为频率，这是因为峰值频率与其中心瞬时频率不同，也不同于能量频率。对于需要考虑峰值频率的经济学家来说，这是这种小波分析法的明显缺点。不过根据笔者考证，世界上还没有分析方法能做到小波中的分量规模大小的转换，故这个缺点也没那么打眼。

小波还可以研究不同时间序列之间的同步性，在这个分析过程中最重要的是选择包含幅度和相位信息的相应变换的小波，因此，能同时显示幅度和相位的复数小波成为最佳选择。复数分析小波不仅能够捕获结构断裂和瞬态关系，它们还可以区分同时发生但在不同频率中发生的不同关系。

小波变化小波变化的准确性往往是将小波先归一化后再来检验，在归一化检验方面，目前还没有一种方法能对小波的相位差进行良好的统计检验。因此，笔者认为索性就不对小波的相位差进行显着性检验，而是通过检查其一致性意义来补充。

小波应用极为广泛，它在对GNP的分析、对股票市场的分析、对油价的分析都发挥了巨大的作用，以对股票市场的分析为例，我们收集FTSE AllShare（英国），标准普尔500指数（美国）和DAX（德国）价格指数的月度数据，并评估了三种不同股票市场指数之间的协调性，通过小波一致性和相位差分析来研究两个时间序列之间的同步。从结果中发现看到标普指数和富时指数以及标普指数和DAX指数之间的小波相干性，而且很明显地，纽约和伦敦有更多的地区具有更高的一致性。如果有读者关注1980年和1990年在更高频段（14年）的几十年时，这一点尤为明显。这些结果也与国外学着Rua和Nunes（2008）的结论一致，他们还判断得到，在过去的四十年中，美国和英国的股票市场具有高度的共同性。

小结：（1）小波分析能够轻松捕获在时间和频率上不稳定的瞬态周期，这是传统的傅立叶分析难以提取的;（2）交叉小波可以捕获不同频率下两个时间序列之间的瞬态关系;（3）通过更高阶的一致性可以检验小波分析法的准确程度。

参考文献：

[1] Luis Aguiar-Conraria， The Continuous Wavelet Transform A Primer， [C]， 2011

[2] Maria Joana Soares， The Continuous Wavelet Transform moving beyond uni and bivariate analysis， [C]， 2012.2.11