逻辑悖论视角下的语义信息论研究

摘  要：卡尔纳普等人提出的语义信息论旨在从语义方面考察语句所带有的信息，但矛盾式在该理论中有无穷大的信息量因而与直观不相符。上述语义信息论问题从悖论的角度被加以探讨。在算术语言中证明了，悖论语句的语义信息在基于经典逻辑的语义信息理论中是不可定义的，以此说明经典逻辑对语义信息论研究的限制，并倡导以逻辑多元主义研究语义信息论。

关键词：语义信息;语义悖论;经典逻辑;逻辑多元主义

中图分类号：O236;G201       文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2019）20-0196-03

Abstract：The semantic information theory proposed by Rudolf Carnap et al. aims to measure the information contained in the sentences from the semantic aspect，but the contradiction in the theory has infinite amount of information，so it is inconsistent with the intuition. From the aspect of semantic paradox，the above problem in semantic information theory is discussed. It is proved in arithmetic language that the semantic information of paradoxical sentences is undefinable in the semantic information theory based on classical logic，so as to explain the limitation of classical logic in the research of semantic information theory，and advocate the study of semantic information theory by logical pluralism.

Keywords：semantic information;semantic paradox;classical logic;logical pluralism

0  引  言

语义信息（semantic information）是指从对象（主要为陈述性语句）的语义方面去考察对象所带有的信息。语义信息论最早由逻辑学家卡尔纳普（Rudolf Carnap）和巴希勒（Yehoshua Bar-Hillel）提出[1]。针对香农信息论忽略了的信息的语义方面，卡尔纳普认为一条信息能提供的信息量应取决于它所提供的意义，但显然面向通信应用的香农信息论并不考虑通信中信息内容的语义，也不基于信息内容的语义来测度信息量。

本文称由卡尔纳普等人所提出的语义信息论为经典语义信息论。尽管经典语义信息论并不如香农信息论有着广泛的应用，但作为一种信息论与逻辑学的交叉理论研究，该理论一直得到关注和发展。例如，我国著名信息论学者钟义信在2017年又重新回顾了经典语义信息论[2]，再次审视并强调了这一理论的价值。一些学者则从经典语义信息理论发展出了一些新的语义信息论，近年来相关的工作包含文献[3，4]所述内容等。

不过，经典语义信息理论包含了一个长期存在的困难：矛盾式具有最大的信息量（下文称为矛盾式的经典语义信息问题）。断定语义上总为假的语句具有最大的信息量，这似乎违反了关于信息概念的直观理解，由此引发了不少争论。卡尔纳普等人认为应该接受这种基于经典逻辑的理论构建伴随产物，而一些质疑者从语义信息的概念入手批评经典语义信息理论，例如文献[4]提出了强语义信息理论（Strongly Semantic Information），要求信息必须具有真实性，文献[5]同样持有相似的观点。但文献[6]则对上述问题以及经典语义信息论做出了更为深入的分析和一定程度的辩护。

本文试图从一个与矛盾密切相关的逻辑学对象入手研究语义信息论。这一对象就是逻辑悖论（简称悖论）。特别地，这里主要讨论与语句真假有关的语义悖论，它们也被称为真理论悖论。最为著名的语义悖论是说谎者悖论，它可以用自然语言表达为：

当断定语句（1）为真时，语句（1）为假，当断定语句（1）为假时，语句（1）又为真，两种情况皆产生矛盾，因此无法基于经典逻辑语义学断定语句（1）的语义。本文将证明，在基于经典逻辑的语义信息理论中悖论语句的语义信息是不可定义的。这一结果说明，经典语义信息理论所存在的问题始终源自经典逻辑本身，因此需要基于逻辑多元主义的立场开展语义信息论研究，以突破经典逻辑对语义信息论研究的限制。

1  经典语义信息論

关于语义信息的概念，卡尔纳普在文献[1]摘要中便指出：“在给定的语言系统中，一条语句带有的信息这一概念被等同地看待为语句的内容（Content）”。经典语义信息理论的要求，如果语句A2逻辑地蕴含了语句A1，那么A1所带有的信息应包含在A2所带有的信息之中。经典语义信息论把语句所带有的信息首先理解为语句的内容。记Cont（A）为语句A的内容，上述要求可表示为：

在后文给出了Cont的定义之后，式（IM）就应是理论中可被证明的定理。

在经典语义信息理论中，语句的内容是指一组对象的集合。如果把所有对象构成的集合记为W，有语句A的内容Cont（A）?W。在此种语义信息概念的理解下，就必须要回答空集所对应的语句是什么？经典语义信息论规定：

按照经典逻辑语义学，该规定的合理性在于既然把语句的信息概念看作是对象的集合，那么集合之间的包含关系就能对应于语句之间的逻辑蕴含关系。通过式（TA）和式（IM）容易知道，被任意語句所蕴含的重言式其语句内容为空集。因此，经典语义信息论中重言式并不带有信息。

然后需要明确Cont里面的对象是什么。根据式（IM）的要求，A2逻辑地蕴含A1等价于Cont（A1）被包含在Cont（A2）之中。要满足此要求，可把构成语句内容Cont的每个对象看作是模型，A2逻辑地蕴含A1，等价于所有A2为真的模型中A1必定为真，即等价于在所有A1为假的模型中A2为假。对应于（IM）式，可知Cont里面的对象实际就是使语句为假的模型，有：

这样Cont（A）中包含使A为假的模型越多，A为真的可能性越小，A的信息量应越大。在经典语义信息论中矛盾式的信息量最大，正是因为矛盾式在所有的模型中都为假。这就是引言中所提到的矛盾式的经典语义信息问题。

进一步，假如仍然保留经典语义信息理论中对语义信息概念的理解，考虑通过其他方式定义真谓词T，结果是否会有所不同？比如直观上看来，断定一条语句为真与断定语句本身只会提供同样多的信息，那么从信息的角度来理解T-模式，L+中的经典语义信息理论应有如下要求：

定理1：如果要求式（T）或式（TC）成立，则L+中悖论语句的内容不可按式（CT*）定义，从而不存在关于L+中悖论语句的经典语义信息。

引言中已经指出，不能基于经典逻辑的二值原则考虑真理论悖论语句的语义。定理1则表明，同样也不能在基于经典逻辑的语义信息论中定义真理论悖论语句的语义信息。

3  语义信息论与逻辑多元主义

定理1从语义悖论的角度表明经典语义信息理论的局限性。本文认为，受制于经典逻辑的各项基本原则，如二值赋值原则等，经典语义信息论必然会存在一些源自经典逻辑的问题。要突破经典逻辑所带来的限制，首先需要从多个角度理解信息概念，继而发展多元的语义信息理论。什么是信息？对于这个问题，在信息论以及信息哲学的相关研究中一直没有共识而产生不断争议。但是，从最一般的意义上来讲，一个对象必须在某些方面与其他对象相区分，这个对象才能在这些方面提供信息。举例来说，当接收者得到一条语句之后再收到另一条与之逻辑地等价的语句，仅从语义信息的角度来看接收者的认知状态不会因为后一条语句而发生变化，也即接收者并没有因为后一条语句而形成认知上的差异，因此后一条语句并没有为接收者提供更多的语义信息。

一般地，可称用于比较和测度语句之间语义差异的概念为语义特征，并将其定义为从语句到一组对象的函数c。当说一条语句带有的语义信息较多，是指相比于其他语句，此语句在某个语义特征上更突出。由于有各种语义学特征可供使用，因而相对于某种语义学特征能定义不同的语义信息概念并构建出各种语义信息理论。例如经典语义信息理论通过经典逻辑的可满足性定义语句的内容：语句A的内容就是使A不可被满足的模型。由于矛盾式在任意模型下都是不可满足的，因此矛盾式具有最大的语义信息。但是，假若采用其他语义学特征，得到的理论结果将会不一样。例如，在文献[4]中语句的语义信息通过空洞性（vacuity）和不准确性（inaccuracy）两个语义特征加以测度。

因此，实际可以有多种语义信息概念的定义及其理论并存，其中关键在于理论构建采用了不同的语义特征，而这又源于不同的逻辑语义学立场。定理1的结果恰好说明，从经典逻辑出发只能得到与经典逻辑相一致的语义信息理论。而根据逻辑多元主义，实际可以有包括经典逻辑与非经典逻辑在内的逻辑理论，因而也应该有多种语义信息概念的定义及其理论并存。钟义信在文献[2]中的最后总结也指出，当前基于经典逻辑并不能满足语义信息上的相关推理，而一些非经典逻辑更值得期待。又例如，文献[3]是近年来新提出的较有代表性的语义信息理论，其中引入了克林强三值逻辑等进行了语义信息理论研究。以上这些观点和结果都说明，语义信息理论的发展更需要多元化的逻辑理论研究。

4  结  论

作为一种关于逻辑学与信息科学的交叉研究，语义信息论能从各种逻辑理论中获得启发。其中，语义悖论是现代逻辑学的一个重要研究内容。逻辑学家们为解决悖论问题提出了各种方案，应能为语义信息论研究提供支持。本文主要从真理论悖论入手讨论经典语义信息论，并以此倡导多元的语义信息论研究。同样可通过其他类型的语义悖论研究各种语义信息理论及其问题，例如文献[7-9]正是通过悖论研究强语义信息论所存在的问题。由此可见悖论在语义信息论研究中的独特价值。

参考文献：

[1] CARNAP R，BAR-HILLEL Y. An outline of a theory of semantic information：247 [R]. Cambridge：Research Laboratory of Electronics，Massachusetts Institute of Technology，1952.

[2] ZHONG Y. A Theory of Semantic Information（Invited Paper） [J].中国通信，2017，14（1）：1-17.

[3] ALEXEI Y M. Domains as Models for Semantic Information [J]. Fundamenta Informaticae，2015，138（1-2）：207-225.

[4] LUCIANO F. Outline of a Theory of Strongly Semantic Information [J]. Minds and Machines，2004，14（2）：197-221.

[5] MINGERS J，STANDING C. What is information？ Toward a theory of information as objective and veridical [J]. Journal of Information Technology，2018，33（2）：85-104.

[6] FRESCO N，MICHAEL M. Information and Veridicality：Information Processing and the Bar-Hillel/ Carnap Paradox [J]. Philosophy of Science，2016，83（1）：131-151.

[7] BJ?RN L. The Information Liar Paradox：A Problem for Floridis RSDI Definition [J]. Philosophy & Technology，2015，28 （2）：323-327.

[8] BJ?RN L. Does semantic information need to be truthful？ [J]. Synthese，2019，196（7）：2885-2906.

[9] FERGUSON T. Two paradoxes of semantic information [J]. Synthese，2015，192（11）：3719-3730.

作者简介：陈智斌（1980-），男，汉族，广东广州人，讲师，博士研究生，研究方向：数理逻辑、语义信息论、人工智能逻辑等。