数形结合思想在二次函数中的应用

张丽华

摘要：《数学课程标准》明确提出数学教育要面向全体学生，实现“人人学有价值的数学;人人都能获得必须的数学;不同的人在数学上得到不同的发展”。标准强调在数学教学中要加强学生能力与思想方法的培养，数学是研究数量关系和空间形式的科学.数能精确地揭示研究对象的数量特征，形能直观地刻画研究对象的空间结构，因此数形结合思想被广泛运用于数学的解题过程中。

著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”寥寥数语把数形结合说得淋漓尽致。数形结合是数学解题中常用一种数学思想方法，可以使抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题中的本质。二次函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点，同时又是“数形结合”思想方法体现的很充分的一個章节。在此特对数形结合解决二次函数的问题进行简单的归纳分析。

一、如何解决一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题

解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据题意逐一讨论解析，即可解决问题.

在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（）

A. B.

C. D.

A.对于直线 来说，由图象可以判断，α>0，b>0;而对于抛物线 来说，对称轴 ，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误;

B.对于直线 来说，由图象可以判断，α<0，b>0;而对于抛物线 来说，对称轴 ，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误;

C.对于直线 来说，由图象可以判断，α>0，b>0;而对于抛物线 来说，图象开口向上，对称轴 ，应在y轴的右侧，故符合题意;

D.对于直线 来说，由图象可以判断，α>0，b>0，;而对于抛物线 来说，图象开口向下，α<0，故不合题意，图形错误;

二、二次函数与一元二次方程的关系

以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系，有前面的知识做铺垫，下面我就从二次函数的角度看一元二次方程认识二次函数与一元二次方程的联系。

1、从形式上看：二次函数：y=ax?+bx+c（a≠0）

一元二次方程：ax?+bx+c=0（a≠0）

2、从内容上看：二次函数表示的是一对（x，y）之间的关系，它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值

3、相互关系：二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根

我们要掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根;理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。

下面我就结合具体的题目分析二次函数的图象和性质与一元二次方程的联系。

⑴求这个二次函数的解析式;⑵是否存在点P，使 是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标;若不存在，请说明理由;⑶动点P运动到什么位置时， 的面积最大，求出此时P点坐标和 的最大面积.本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识.在⑴中注意待定系数法的应用，在⑵中确定出P点的位置是解题的关键，在⑶中用P点坐标表示出 的面积是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中。

⑴由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式;

⑵由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标;

⑶过P作 轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出 的面积，利用二次函数的性质可求得 面积的最大值及P点的坐标。

总之，二次函数在初中教学过程中是我们教学的重点也是学生学习的难点，作为教师的我们应该从教会学生把握基础知识为根本，让学生掌握各种有关二次函数的题的解题关键和解题步骤以及解题技巧，只有这样才能达到活学活用，解决问题的最终目的。

参考文献：

[1] 《数形结合思想在二次函数中的应用》    作者：陈元云

（作者单位：北京景山学校四川广安实验学校）